2018年秋浙教版九年级数学上册同步练习：4.3相似三角形

2018 年秋浙教版九年级数学上册同步练习：相像三角形
第 4 章相像三角形
4.3 相像三角形
知识点 1相像三角形的观点
图 4－ 3－1
1．如图 4－3－ 1 所示， D 是△ ABC 的边 AB 上一点，当∠ ADC＝ ________，∠ ACD ＝AC AD DC
________，AB＝AC＝CB时，△ADC ∽△ ACB.
2．以下命题中，是真命题的为()
A ．锐角三角形都相像
B ．直角三角形都相像
C．等腰三角形都相像 D ．等边三角形都相像
3．找出如图4－ 3－ 2 所示相像三角形的对应边和对应角．
图 4－ 3－2
知识点 2相像比
4．已知△ ABC∽△ A′B′C′，且相像比为2，则() A．∠A 是∠ A′的 2 倍B．∠ A′是∠ A 的 2 倍
C．AB 是 A′B′的 2 倍D ．A′ B′是 AB 的 2 倍
5．若△ ABC∽△ A′B′C′，且AB
＝
1
，则△ A′B′C′与△ ABC 的相像比为 ________；若△ ABC ≌
A′B′ 3
△A′ B′ C′，则△ ABC 与△ A′B′C′的相像比为 ________．
图 4－ 3－3
6．如图 4－ 3－3，已知△ ADE ∽△ ABC，若 AD＝ 1， BD ＝2，则△ ADE 与△ ABC 的相
像比是 ________．
知识点 3相像三角形的性质
7．如图 4－ 3－4，△ ABC∽△ DEF ，相像比为1∶ 2，若 BC＝1，则 EF 的长是 ()
图 4－ 3－4
A．1 B．2 C．3D． 4
8． 2017 ·杭州三模图4－ 3－ 5 中的两个三角形相像，则α与β的度数分别为()
图 4－ 3－5
A ．α＝ 30°，β＝ 30°B．α＝ 105°，β＝ 30°
9． 如图 4－ 3－ 6，已知△ ABC 与△ ADE 相像 ，且∠ ADE ＝∠ B ，则以下比率式正确的
是(
)
图 4－ 3－6
A.AE ＝ AD
BE DC
B.AE ＝ AD
AB AC
AD DE C.AC ＝ BC
AE DE D.AC ＝ BC
10．课本课内练习第 2 题变式如图 4－ 3－ 7，已知 AD ，BC 订交于点 O ，△ AOB ∽△ DOC ，相像比是 2∶ 5.
(1)若 AB ＝ 3 cm ，求 CD 的长；
(2)若∠ D ＝ 45° ，∠ AOB ＝ 75° ，求∠ B 的度数．
图 4－ 3－7
11． 如图 4－ 3－ 8，在△ ABC 中， BC ＝ 3， AC ＝ 4，若△ ABC ∽△ BDC ，则 CD ＝ (
)
3
4
9
A ． 2
B.2
C.3
D.4
2018 年秋浙教版九年级数学上册同步练习：相像三角形
图 4－ 3－8
图 4－3－9
12．如图 4－ 3－9，由边长为 1 的正方形构成的网格中，△ ABC 与△ A 1B1C1都是格点三
角形 (极点在网格交点处 )，而且△ ABC ∽△ A 1B 1C1，则△ ABC 与△ A 1B1C1的相像比是
________．
2 13．在△ ABC 中，AB ＝ 9，AC ＝12，BC ＝ 18，D 为 AC 上一点，DC ＝3AC ，在 AB 上取一点 E，获得△ ADE ，若两个三角形相像，则 DE 的长为 ________．
14．如图 4－ 3－ 10，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD ，DC 上，△ ABE ∽△ DEF ，AB ＝6，AE＝9，DE＝2，求 EF 的长．
图 4－3－10
15．如图 4－3－11，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，且 CD⊥AB 于点 D，且△ACD ∽△ ABC ∽△ CBD.
求证： (1)CD 2＝ AD·BD；
AC2AD
(2)BC2＝BD .
图 4－3－11
16．从三角形 (不是等腰三角形)一个极点引出一条射线与对边订交，极点与交点之间的线段把这个三角形切割成两个小三角形，假如分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相像，我们把这条线段叫做这个三角形的完满切割线．
(1)如图 4－ 3－ 12①，在△ ABC 中，∠A ＝ 48°， CD 是△ ABC 的完满切割线，且 AD ＝CD ，则∠ ACB ＝ ________° .
(2)如图② ，在△ ABC 中， AC ＝ 2， BC ＝ 2， CD 是△ ABC 的完满切割线，且△ ACD 是以 CD 为底边的等腰三角形，求完满切割线 CD 的长．
图 4－3－12
详解详析
1．∠ ACB∠ B
2． D
3．解：①对应边： AD 与 AB， AE 与 AC ，DE 与 BC；对应角：∠ A 与∠ A，∠ ADE 与
∠B，∠AED 与∠ C.
②对应边： AO 与 BO，CO 与 DO，AC 与 BD；对应角：∠ A 与∠ B，∠ C 与∠ D ，∠ AOC 与∠ BOD .
③对应边： DE 与 DG ，DF 与 DH ，EF 与 GH ；对应角：∠ E 与∠ G，∠ EDF 与∠ GDH ，∠F与∠H.
4． C
5． 3 ∶3
7． B [ 分析 ] 由△ ABC∽△ DEF ，相像比为1∶ 2，可知 BC∶ EF＝ 1∶2.又 BC＝1，所以 EF＝2.应选 B.
8． B
9． D [分析 ] 此题中∠ ADE 与∠ B 是对应角，因此 AE 与 AC ，AD 与 AB ，DE 与 BC 是对应边．
10．解： (1) ∵△ AOB∽△ DOC ，相像比是2∶ 5，
∴
AB＝2，∴3＝2，
CD5CD5
15
∴ CD＝2 (cm) ．
(2)∵△ AOB∽△ DOC，∠ D＝ 45°，
∴∠ A＝ 45.
又∵∠ AOB＝ 75°，
∴∠ B＝ 60° .
11． D [分析 ] ∵△ ABC∽△ BDC,
BC AC
∴
DC ＝
BC
.
∵ BC ＝ 3，AC ＝ 4，
2
BC 9
12． 2∶ 1
[分析 ] △ ABC ∽△ A 1B 1C 1，则 AC 与 A 1C 1 为对应边 ，AC ＝ 2，A 1C 1＝ 1，
∴相像比为
2∶ 1.
13．6 或 8
[分析 ] (1) 当△ AED ∽△ ABC 时，此时图形为图 ? ，可得 DE ＝6； (2) 当△ ADE ∽△ ABC 时，此时图形为图 ? ，可得 DE ＝8.因此 DE 的长为 6 或 8.
14． 解：在 Rt △ABE 中， BE ＝
62＋ 92＝ 117＝ 3 13.
∵△ ABE ∽△ DEF ，∴ EF ＝ DE
，
BE AB
即 EF ＝2
， ∴ EF ＝ 13. 3136
AD ＝CD
， ∴CD 2
＝ AD ·BD.
15． 证明： (1) ∵△ ACD ∽△ CBD ， ∴ CD BD (2)∵△ ACD ∽△ CBD ，
∴
AC ＝ AD ＝CD .
BC CD BD
设 AC ＝ AD ＝CD
＝ k ，
BC CD BD
AC 2 AD CD
AC 2 AD
则 2 ＝ 2＝ . BC 2＝ k · ，即 BC BD CD BD
16． 解： (1)当 AD ＝ CD 时，
如图 ，∠ ACD ＝∠ A ＝ 48° ，
∵△ BDC∽△ BCA，
∴∠ BCD＝∠ A＝ 48°，
∴∠ ACB＝∠ ACD ＋∠ BCD＝ 96° .
故填： 96.
(2)由已知可得AC＝ AD＝ 2，
∵△ BCD∽△ BAC，
BC BD
∴BA＝BC，设 BD ＝ x，则 BA ＝x＋ 2，∴ (2)2＝ x(x＋ 2)．
∵x＞ 0，
∴ x＝ 3－ 1.
即 BD＝ 3－1.
∵△ BCD∽△ BAC，
CD BD3－1
∴＝＝，
AC BC 2
∴CD＝3－1
× 2＝ 6－ 2. 2。