佛山市2012届高三教学质量检测(二)(数学理)

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数 学 (理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1．设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则()U A B =ð（ ）
A ．{}4,5
B ．{}2,3
C ．{}1
D ．{}1 2．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（ ）
A ．30︒
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒ 3．若0,0x y ≥≥,且21x y +=,则223x y +的最小值是（ ）
A ．2
B ．
34 C ．2
3
D ．0 4．已知,a b 为实数,则“||||1a b +<”是“1||2a <且1
||2
b <”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．函数x
y =,()(),00,x ππ∈-的图像可能是下列图像中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ=,//l α,m α⊂,m γ⊥,则下列命题一定
正确的是（ ）
A ．αγ⊥且 l m ⊥
B ．αγ⊥且//m β
C ．//m β且l m ⊥
D ．//αβ且αγ⊥ 7．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤)的部 分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ ） A ．2 B C ． D ．2- 8．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x M
f x x M
∈⎧=⎨
∉⎩(M 是R 的非空真子
2012年4月18日
F
A
E
D
B
C
集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅,则()()()()1
1
A B A B f x F x f x f x +=
++的值
域为（ ）
A ．20,3⎛
⎤ ⎥⎝
⎦ B ．{}1 C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭
D ．1,13
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)
9. 设i 为虚数单位,则()5
1i +的虚部为 ．
10. 设,x y 满足约束条件0
201x x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
,则2z x y =+的最大值是 ．
11. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =,令事件
{}2,3,5A =,事件{}1,2,4,5,6B =,则()|P A B 的值为 ．
12. 直线2y x =和圆221x y +=交于,A B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别
为,αβ,则()sin αβ+的值为 ． 13. 已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则
1
123n n
a a a a a a a a a a +=⋅⋅⋅
⋅ ．
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线()03
π
θρ=
≥与曲线1C :4sin ρθ=的
异于极点的交点为A ,与曲线2C :8sin ρθ=的异于极点的交点为B ,则
||AB =________.
15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是
AB 延长线上一点,
且DF CF ==:::4:2:1AF FB BE ,若CE
与圆相切,则线段CE 的长为 ．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）
在四边形ABCD 中,2AB =,4BC CD ==,6AD =,A C π∠+∠=.
P
C E
F
B
A
（Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.
17．（本题满分12分）
空气质量指数PM2.5(单位:3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
PM2.5
日均浓度 0
35 3575
75115
115150
150250250>
空气质量级别 一级
二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严
重污染
某市2012年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测,获得数据后得到如下条形图:
（Ⅰ）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（Ⅱ）在上述30个监测数据中任取2个,设X 为空气 质量类别为优的天数,求X 的分布列.
18．（本题满分14分）
如图所示四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 中,AB AD ⊥,//BC AD ,2PA AB BC ===,4AD =,E 为PD 的中 点,F 为PC 中点.
（Ⅰ）求证:CD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求证://BF 平面ACE ；
（Ⅲ）求直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值；
19．（本题满分14分）
已知椭圆E :()22
2210x y a b a b
+=>>
的一个交点为()
1F ,
而且过点
12H ⎫⎪⎭.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,
P 是椭圆上异于 12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线
OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长
为定值,并求出该定值.
20．（本题满分14分）
记函数()()(
)*
112,n
n f x x n n =+-≥∈N
的导函数为()n
f x ',函数
()()n g x f x nx =-.
（Ⅰ）讨论函数()g x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若实数0x 和正数k 满足：()()()()
0101n n
n n f x f k f x f k ++'='，求证：00x k <<.
21．（本题满分14分）
设曲线C ：2
2
1x y -=上的点P 到点()0,n n A a 的距离的最小值为n d ,若
00a =
,1n n a -,*n ∈N
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证:
3
212124
35
2146
22
n n
n n a a a a a a a a a a a a -+++++
<+++
；
A
B
C
D
（Ⅲ）是否存在常数M ,使得对*
n ∀∈N ,都有不等式:33312
111
n
M a a a +++
<成立?请说明理由.
2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）参考
答案
数 学 (理科)
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分
9．4-； 10．5； 11．
25； 12．45-； 13.4；
三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤
16．【解析】（Ⅰ）如图,连结AC ,依题意可知,B D π+=, 在ABC ∆中,由余弦定理得2
2
2
24224cos AC B =+-⨯⨯ 2016cos B =-
在ACD ∆中,由余弦定理得2
2
2
64264cos AC D =+-⨯⨯ 5248cos 5248cos D B =-=+
由2016cos 5248cos B B -=+,解得1
cos 2
B =-
从而2
2016cos 28AC B =-=,即AC =6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin sin 2
B D ==, 所
以
11
sin sin 22
ABCD ABC ACD S S S AB BC B AD CD D ∆∆=+=
⋅+⋅==
.………
12分
17．【解析】（Ⅰ）由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为16天,
2012年4月18日
P
C
E
F B A O
G
P C
D E F B A
O G H 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 168
3015
=.…………………4分 （Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0,1,2,则
()2
222302310435C P X C ===,()118222301761435C C P X C ===,()282
3028
2435
C P X C === 所以X 的分布列为:
X 0
1 2 P
231
435
176
435
28435
18．【解析】（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂面ABCD ,
所以PA CD ⊥,又因为直角梯形面ABCD 中,AC CD == 所以222
AC CD AD +=,即AC CD ⊥,又PA
AC A =,所以CD ⊥平面
PAC ；………4分
（Ⅱ）解法一:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , 连接,,BG FG EO ,则在PCE ∆中,//FG CE ,
又EC ⊂平面ACE ,FG ⊄平面ACE ,所以//FG 平面ACE , 因为//BC AD ,所以
BO GE OD ED =,则//OE BG , 又OE ⊂平面ACE ,BG ⊄平面ACE ,所以//BG 平面ACE ,
又BG FG G =,所以平面//BFG 平面ACE , 因为BF ⊂平面BFG ,所以//BF 平面ACE .………10分
解法二:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , 连接FD 交CE 于H ,连接OH ,则//FG CE ,
在DFG ∆中,//HE FG ,则
1
2GE FH ED HD ==, 在底面ABCD 中,//BC AD ,所以1
2BO BC OD AD ==, 所以
1
2
FH BO HD OD ==,故//BF OH ,又OH ⊂平面ACE ,BF ⊄平面ACE ,
所以//BF 平面ACE
.………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,CD ⊥平面PAC ,所以DPC ∠为直线PD 与平面PAC 所成的角,
在Rt PCD ∆
中
,CD PD ==
=
所以
sin 5
CD DPC PD ∠=
==
, 所以直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值为
5.………14分 19．【解析】（Ⅰ）解法一:由题意得223a b -=,223114a b
+=,解得22
4,1a b ==,
……12分
所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=.………………………………………………4分 解法二:
椭圆的两个交点分别为(
))
12,F F ,
由椭圆的定义可得1271
2||||422
a PF PF =+=
+=,所以2a =,21b =, 所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=.………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知()()120,1,0,1A A -,设()00,P x y , 直线1PA :0011y y x x --=,令0y =,得0
01
N x x y -=
-; 直线2PA :0011y y x x ++=
,令0y =,得001
M x
x y =+; 设圆G 的圆心为000
01,211x x h y y ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭,
则
2r =22
220000000000112111411x x x x
x h h y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=++⎢⎥ ⎪ ⎪+-++-⎝⎭⎝⎭⎣⎦,
2
2200001411x
x OG h y y ⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭
22
222222
000002
00000114114111x x x x x OT OG r h h y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-=++---=
⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ 而220014
x y +=,所以()22
0041x y =-,所以()2
02204141y OT y -==-, 所以||2OT =,即线段OT 的长度为定值2.…………………………………………14分 解法二:由（Ⅰ）可知()()120,1,0,1A A -,设()00,P x y , 直线1PA :0011y y x x --=,令0y =,得0
01N x x y -=
-; 直线2PA :0011y y x x ++=
,令0y =,得001
M x
x y =+; 则20002000||||111
x x x OM ON y y y -⋅=⋅=-+-,而220014x y +=,所以()22
0041x y =-, 所以202
0||||41
x OM ON y ⋅==-,由切割线定理得2
||||4OT OM ON =⋅= 所以||2OT =,即线段OT 的长度为定值2.…………………………………………14分
20．【解析】（Ⅰ）由已知得()()11n
g x x nx =+--,所以
()()1
11n g x n x -⎡⎤'=+-⎣
⎦
.………………2分
① 当2n ≥且n 为偶数时,1n -是奇数,由()0g x '>得0x >;由()0g x '<得0x <. 所以()g x 的递减区间为(),0-∞,递增区间为()0,+∞,极小值为
()00g =.……………5分
② 当2n ≥且n 为奇数时,1n -是偶数,
由()0g x '>得2x <-或0x >;由()0g x '<得20x -<<. 所以()g x 的递减区间为()2,0-,递增区间为(),2-∞-和()0,+∞,
此时()g x 的极大值为()222g n -=-,极小值为()00g =.……………8分
（Ⅱ）由()()()()0101n n
n n f x f k f x f k ++'='得()()()()()10101111111
n n
n n n x k n x k -+++-=+++-,
所以()()()10111111n n n k x n k +⎡⎤+-⎣⎦+=⎡⎤++-⎣⎦,()()()()0111111n
n
nk k x n k -++=⎡⎤++-⎣⎦
……………10分 显然分母()()1110n n k ⎡⎤++->⎣⎦
,设分子为()()()()1110n
h k nk k k =-++>
则()()()
()()()
1
1
111110n n n h k n k n k nk n n k k --'=+++-=++>
所以()h k 是()0,+∞上的增函数,所以()()00h k h >=,故00x >……………12分 又()()()(
)1
0111111n n
k n k x k n k +++-+-=⎡⎤
++-⎣⎦
,由（Ⅰ）知,()()11n
g x x nx =+-- 是()0,+∞上
的增函数,
故当0x >时,()()00g x g >=,即()11n
x nx +>+,所以()()1
111n k n k +++>+
所以00x k -<,从而0x k <. 综上,可知00x k <<.……………14分 21．【解析】（Ⅰ）设点(),P x y ,则221x y -=,所以
||n PA == 因为y R ∈,所以当2n a y =时,||n PA 取得最小值n d ,
且n d =
又1n n a -
,所以1n n a +=,
即1n n d +=
将1n n d +
=代入n d
=
1n +=
两边平方得2212n n a a +-=,又00a =,2
12a =
故数列{}
2n a 是首项2
12a =,公差为2的等差数列,所以22n
a n =,
因为1n n a -0>,
所以n a =………………………………………6分
（Ⅱ）因为()()()222122120n n n n +--+=-<,所以()()()2221221n n n n +-<+
所以2221212n n n n a a a a +-+<
所以
2122122
n n n n a a a a -++<,所以321212434562122
,,
,
n n n n a a a
a a a
a a a a a a -++<<< 以上n 个不等式相加得3
212124
35
2146
22
n n
n n a a a a
a a a a a a a a -+++++
<+++
.…………………10分
（Ⅲ）因为
31k a
=当2k
≥时,
<=
=,
=<=
<=
<
2
211
n
n
k
k =
=<
=<
∑
所以3121114
2n
n i k i
a ===<=+∑. 故存在常数142
M =+
对*
n ∀∈N ,都有不等式:33312111
n
M a a a +++
<成立. …………14分。