河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

(5) (A)( 5,10) ( B)( 10,5)
已知甲：x y 5，乙：x
(0( , 5)U(1°,
3，则
(D)( , 10巾(5,
(A)
(C)
甲是乙的充分不必要条件
甲是乙的充要条件
x [丄,2],使得2x2
2
(B)
(D)
0成
甲是乙的必要不充分条件
甲是乙的既不充分也不必要条件
是真命题，则实数取值范
(8)若x(02）,则y
1
.2
sin
4
2
cos 的取值范围为（
(A) [4
(B)[9,+ )
(C) [6,) (D) (9,
数学（文科）试卷
第I卷（选择题，共60分）
、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）不等式x2 x 6 0的解集为（）|| ||（A）（ 2,3）（B）（ 3,2）（C）（, 3）（2, ）（D）（ , 2）
（3,
（2）若数列｛a n｝是等比数列，a4a5a6 27,则印比（）
（A）3 （B）6 （C）9 （D）27
（3）已知点（1,3）和点（-4,-2）在直线2x y m的两侧，则实数m的取值范围为（
(A) [4,5] ( B) [5,+ )(C) [4, ) (D) (4,
(6
)
已知双曲线的渐近线方程为y 2x ,则双曲线的离心率为（）
(A) -、5 ( B)(C)5或5 (D 3
2 2
(7
)
给出下列命题：
① x R,| x | x.:② x 0, x
si
n
x.；
③ x R, x2+x 1 0 :④ x (0, ),(1)x (1)x.
2 3
正确命题的个数为（）
(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4
① f(0)■2f(；)‘② f(0)
(A) ①(B '②(C)③
（9）已知函数y f （x）对任意的x （,）满足f （x）cos x f （x）sin x 0 （其中
2 2
f （x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是_______ .
2f (亍)；③ ' 2f(?) f (：);④ 2f (
(10 )已知抛物线y 2
2px 的焦点F , ABC 的顶点都在抛物线上，且满足
FA FB F C 0，
(A) 2p
(A) 22017
1
则 |FA | |FB | |FC|
(B ) 3p
(C ) 4p (D ) p
,a 1
1,a n a
2n
(n N
),则 S 2017 =
/ 、 J010
一、亠 1008
(B ) 2
3
(C ) 3 2
1009 c
(D) 2 3
(12)设直线卜J 分别是函数f (x)
|ln x |图像上点
F 2处的切线,
^与12垂直相交于点
(A)(0,1)
(B)(0,2)
(C )(0, (D)(1,
卷(非选择题，共 注意事项：1 •
答题前将密封线内的项目及座号填写清楚； 2•考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效. 二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分
第
90分)
(13) 若变量x, y 满足约束条件
x 2y 2,
x 1, ，则z 2x y 的最大值为
(14)
2x 1
函数 f(X)—厂在x
1处的切线方程为
(15) 若数列｛a n
｝是等比数列,
a
4
a
7
2, a
5a
6
2
(16)已知A,B 椭圆C:笃 a
2
y b 2
1和双曲线 2 2
工1
2 ‘ 2
a b
(a b 0)的左右顶点,
P 、Q 分别为双曲线和
圆上不
同于A, B
的动点，且满足
PA PB (OA QB) (
R,
1)，设直线PA 、PB 、 QA 、QB 的斜率分别为
F ，则点F 横坐标的取值范围为(
k 1
> k 2
、k 3
、k 4
，贝U k-! +k 2
+k 3
+k 4
= _________ .
三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分10分)
(11 )已知数列｛a n ｝，
在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方
A, B两
(19)(本小题满分12分)
设F1, F2分别是椭圆C
1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上
点且
且函数
已知点F(1,0)，点P为平面上动点，过点P作直线l : x 1的垂线，垂足为
H，且
程为4sin ，直线l的参数方程为占
八、、-
(I)求圆心C的极坐标；
(H)直线I与y轴的交点为P,求|PA| |PB|.
(18)(本小题满分12分)
设数列3的前n项和S n满足S n 2a n 4且印盘1月3成等差数列。

(I)求｛ a n｝的通项公式a n
, 2
(n)若b n ，求d+b2 b3 …b n.
Iog2 a n log2a n 1
MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
3
(1)若直线MN的斜率为4,求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|= 5|F1N|,求a, b.
(20)(本小题满分12分)
设a,b R，函数f(x) x3 ax2 bx 1,g(x) e x(e为自然对数的底数), f (x)的图象与函数g(x)的图象在x 0处有公共的切线.
(I ) 求b的值；
(n)讨论函数f (x)的单调性；
(21)(本小题满分12分)
直线I与圆C交于
H P|H F F P|FH.
(I)求动点P的轨迹方程;
(II)过点G(2,0)的直线与轨迹C交于A, B两点，在A, B处分别作轨迹C的切线交于点N，设直线GN、AB的斜率分别为k GN、k AB.求证:
(22)(本小题满分12分)
已知函数f(x) (x 1)ln x，g(x) ax 2(a R)
(1)若f (x) g(x)对任意的x [1, )恒成立,求实数
(II)求证：In 2|l n3»
n4 ...In
2n2,n
n
n(n
(n
1)
k GN | k AB为定值.
a的取值范围；
N ).
1 .
所以点 代B 对应的参数分别为
t 1 2, t 2
2
直线l 与y 轴的交点为P ，即点P
对应的坐标为（0,2）.所以| PA | |PB|=
|t t | 4 ....
2a n 1 n 2,n
即a n 2a
n n N 则a 2
2印a 3
a 成
所以&
421
..所以数列a 是2故
,
(n)
解
b n
的极坐标方程为
4si
，直线I 的参数方程为
2
（t 为参数），直线l 与圆C 交
2 -
2
(I)由 4sin 得 2
sin ，所以x 2
4y
故圆的普通方程为 x 2
y 2
4x 0 .所以圆心坐标为（0,1），圆心的极坐标为（2,，）
x
(n)把
2
代入x
y 2 1
2
2
4x 0 得 t 4
答案
一、选择题
1. B
2.C
3.B
4. D
5. D
6. C
7. A
8. B
9. D 10. B 11. B 12. A 二•填空题
1
13. 4 14. y —x
15. 7 16. 0
e
三、解答题：
（17）解：由在直角坐标系xoy 中，以0为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆
C
于A, B 两点.
(18) ai a 3 2 a 2
解：(I)
)由已知 S n 2a n
a 1，可得 a n S n S n 1 2a n
d+b2 b3 ... b n 2(1 11111 1 1 •……10分2 2 3 3 4 ... n 齐)
1 =2(1冷
2n
n 1
12
19解：(1)根据c a2b2及题设知M (c,—)，
a
b2
3—
直线MN的斜率为4,所以一」
4 c ( c)
b2
2ac
-即2b2 3ac
4
将b2 a2 c2代入2b2 3ac 得2c23ac 2a20
即b2 4a ，① 由
则2( c x1) c x1 、2y1 2
y1 3
2c代入C的方程,
1
9c2
4a2
将①及c a2b2代入②得9(a24a)
4a2
1
1
4a
解得c丄或2，因为0 e 1故C的离心率为夕
a 2 2
⑵由题意，知原点0为F1F2的中点，MF2//y轴，所以直线MF i与y轴的交点
b2
D(0,2)是线段MF1的中点，故一=2 ，
2a
|MN |=5|F1N |得| DF1|=2|F1N |
设N(x1, y1)，由题意知y1
解得 a 7,b2 4a 28，故 a 7,b=2、7.
20 解：(I )由已知得f (x) 3x2 2ax b, g (x) e x，
函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x 0处有公共的切线.
f (0) b=
g (0) e0=1，所以b 1
(n )由第一问得
当a 2
当a 2
3,即a .3或a
'、3时，f (x) 0的两根为
X i
a .a 3
3
，X
2
a a 3 口
,且X i X 2，此时
3
(X
0,得x X i 或x X 2 ;令 f (x) 0,得X 2 x x i
所以函数f (x)的单增区间为(，一？
a
一
3
),(—
? ' a
一 ,)
3
3
函数f(x)的单增区间为(一？
a
一，一？
-一 )
3 3
(21)解：
(1)
从贡可帚动点P 的轨址C 的方程为屮=4丄
....... ............................................
证审』设点为轨症(:上一点，
2 4
设 Ad ，%), B(X 2，y 2),AB:y k(x @垄联立有
y X
直蠱如+”为轨itc 的切乩初 厂 y k (x 2)
島(H —工。

)+加t
4 渚去工得爲*▼幻一
得 ky 2 4y 8k 0,所以 .、
.齐”厢丸用-:占一* ::-咲卫；「冬肉-y y ^? ：8_* •氐童忠裁二吕土「守：*
y
i y
2
= k 根据 * 式有 N 代 y=2x /,NB:y —x 上；解得 N(2,2
) y i 2 y 2
2 k
2
f (x) 3x 2 2ax 1=3(x —)2
1 —,
3
3
3 f (x)
0恒成立所以函数f (x )在定义域内单调递增
,
(22)解：(I) h(x) f (x) g(x) (x i)ln x ax+2
因为f(x) g(x)对任意的x [1,)恒成立,
设h(x) f (x) g(x) (x 1)1 nx ax+2，所以a _1)ln X
_2在x [1,)恒成立
x
、几(x 1)ln x 2 x 1 ln x 人
设m(x) , m (x) 2,令(x) x 1 In x
x x
x 1
(x) 0在x [1,)恒成立，所以(x) x 1 In x在[1,+ )为增函数x
所以(x) 0即m(x) 0在x [1,)恒成立，所以函数m(x)在[1,+ )为增函数；
所以a m(1) 2，所以a的取值范围为(-,2]
(H)由(I)知，令a=2,( x+1)Inx >2( x - 1),
当x 1时，Inx 臂x＞，且当且仅当X1时，Inx二坐◎
x+1
令x n(n N , n 2),得In n 2(n 1) n+1
即In 2 In
3 In
4 In(
n
2)
2(n 3)
n 1
In(
n
1)
2(n 2)
n
In n 2(n 1) n+1
将上述n 1个式子相乘得: In 2”n 3》n
4...In n
2n
n(n 1)
•原命题得证。