数学理科卷·2013届浙江省余姚五中(金兰合作组织)高三上学期期中考试试题(2012.11)

一、选择题：（本大题共10小题，每小题
5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为 （ ）
()A 3 ()B 6
()C 8 ()D 10
2、已知ln x π=，5log 2y =，1
2
z e
-=，则 （ ）
()A x y z << ()B z x y << ()C z y x << ()D y z x <<
3、任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆22
2
=+y x 的位置关系一定是 （ ）
()A 相离 ()B 相切 ()C 相交但直线不过圆心 ()D 相交且直线过圆心
4、函数()sin cos()6
f x x x π
=-+
的值域为 ( )
()A []2,2- ()B 3,3⎡⎤-⎣⎦
()C []1,1- ()D 33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
5、函数1
(0,1)x y a a a a
=-
>≠的图象可能是 （ ）
6、设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且//,⊥，则a b +=r r
（ ） ()A 5 ()B 10 ()C 5 ()D 10
7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前100项和
为 （ ）
()
A 100101 ()
B 99101
()C 99100 ()D 101
100
8、设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32
a
x =上一点，
12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为 （ ）
()
A 12 ()
B 23 ()
C 34 ()
D 4
5
9、设点P 在曲线1
2
x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为 （ ）
()A 1ln 2- ()B
ln 2)- ()C 1ln 2+ ()
D ln 2)+
10、过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为 （ ）
()
A 2
()B
()C
2
()
D 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共计28分。

） 11、曲线3
3y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ．
12、已知集合},32|{<+∈=x R x A 集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且
),,1(n B A -=I 则m =__________，n =__________.
13、设α为锐角，若4cos 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则)122sin(π+a 的值为 ．
14、在ABC ∆中，2AB =，3AC =，1AB BC ⋅=u u u r u u u r
，则BC = .
15、已知函数1
12--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值
范围是_________.
16、椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。

17、数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为
三、解答题：（本大题共5小题，共计72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 18．（本题12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边
，
cos sin 0a C C b c --=，（1）求A ； （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .
19．（本题14分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，}{n b 是等比数列，且
27,24411=+==b a b a ，1044=-b S .
（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=-Λ，*N n ∈，求n T （*
N n ∈）.
20．（本题14分）已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，
设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1
(,1)2
ω∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π
(,0)4，求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.
21．（本题16分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为
3
4
. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M 直线1
:4
l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当
122
k ≤≤时， 22
AB DE +的最小值. 22．（本题16分）已知函数()f x 满足满足121
()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+；
（1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2
1()2
f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.
金兰合作组织2012学年第一学期高三数学（理）期中答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中。

）
19．（本题满分14分）
20．（本题满分14分）
（Ⅰ）因为22()sin cos 23cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+
cos 232x x ωωλ=-++π
2sin(2)6
x ωλ=-+.
由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得π
sin(2π)16
ω-=±，
所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1
()23
k k ω=+∈Z ．
又1
(,1)2
ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.
所以()f x 的最小正周期是6π
5.
（Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π
()04
f =，
即5πππ
2sin()2sin 26264λ=-⨯-=-=-，即2λ=-
故5π
()2sin()236f x x =--
由3π05x ≤≤，有π5π5π
6366x -≤-≤，
所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π
122sin()22236x --
故函数()f x 在3π
[0,
]5
上的取值范围为[12,22]---. 21．（本题满分16分）
2221(1)0416k x x +--=，2
22222222727225184(1)(1)8(1)8(1)4k k DE k k k k +
+=+==++++ 2
2
222
251(1)(42)8(1)4AB DE k k k +=+++
++，令2
1t k =+，122k ≤≤，554
t ≤≤， 2251251()(42)428484f t t t t t t t =-+
+=-++，5
54
t ≤≤ 225'()828f t t t =--
，当554t ≤≤时，5'()'()64f t f ≥=，()f t 在5,54⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
递增，故当54t =，即12k =
时，有最小值13
2
当x e =max ()2
e F x =
当1,a e b e ==(1)a b +的最大值为
2
e。