张家港市人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案

张家港市人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案
一、压轴题
1．如图，已知数轴上有三点 A ，B ，C ，若用 AB 表示 A ，B 两点的距离，AC 表示 A ，C 两点的 距离，且 BC = 2 AB ，点 A 、点C 对应的数分别是a 、c ，且| a - 20 | + | c +10 |= 0 .
（1）若点 P ，Q 分别从 A ，C 两点同时出发向右运动，速度分别为 2 个单位长度/秒、5个单位长度/ 秒，则运动了多少秒时，Q 到 B 的距离与 P 到 B 的距离相等？
（2）若点 P ，Q 仍然以（1）中的速度分别从 A ，C 两点同时出发向右运动，2 秒后，动点 R 从 A 点出发向左运动，点 R 的速度为1个单位长度/秒，点 M 为线段 PR 的中点，点 N 为线段 RQ 的中点，点R 运动了x 秒时恰好满足 MN + AQ = 25，请直接写出x 的值.
2．已知AOD α∠=，OB 、OC 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线．
(1)如图1，当160α=︒，若OM 平分AOB ∠，ON 平分BOD ∠，求MON ∠的大小；
(2)如图2，若OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，20BOC ∠=︒，60MON ∠=︒，求α．
3．已知120AOB ∠︒＝ (本题中的角均大于0︒且小于180︒)
(1)如图1，在AOB ∠内部作COD ∠，若160AOD BOC ∠∠︒＋＝，求COD 的度数；
(2)如图2，在AOB ∠内部作COD ∠，OE 在AOD ∠内，OF 在BOC ∠内，且
3DOE AOE ∠∠＝，3COF BOF ∠=∠，72
EOF COD ∠=∠，求EOF ∠的度数；
(3)射线OI 从OA 的位置出发绕点O 顺时针以每秒6︒的速度旋转，时间为t 秒(050t <<且30t ≠)．射线OM 平分AOI ∠，射线ON 平分BOI ∠，射线OP 平分MON ∠．若3MOI POI ∠=∠，则t = 秒．
4．已知∠AOB ＝110°，∠COD ＝40°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ．
（1）如图1，当OB 、OC 重合时，求∠AOE ﹣∠BOF 的值；
（2）如图2，当∠COD 从图1所示位置绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t ＜10），在旋转过程中∠AOE ﹣∠BOF 的值是否会因t 的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠COF ＝14°时，t ＝ 秒．
5．已知数轴上两点A 、B ，其中A 表示的数为-2，B 表示的数为2，若在数轴上存在一点C ，使得AC+BC=n ，则称点C 叫做点A 、B 的“n 节点”．例如图1所示：若点C 表示的数为0，有AC+BC=2+2=4，则称点C 为点A 、B 的“4节点”．
请根据上述规定回答下列问题：
（1）若点C 为点A 、B 的“n 节点”，且点C 在数轴上表示的数为-4，求n 的值；
（2）若点D 是数轴上点A 、B 的“5节点”，请你直接写出点D 表示的数为______； （3）若点E 在数轴上（不与A 、B 重合），满足BE=
12
AE ，且此时点E 为点A 、B 的“n 节点”，求n 的值．
6．观察下列等式：
11
1
122
=-
⨯
，
111
2323
=-
⨯
，
111
3434
=-
⨯
，则以上三个等式两边分别相加得：
111111113
1
122334223344
++=-+-+-=
⨯⨯⨯
．
()1观察发现
()
1
n n1
=
+______；()
1111
122334n n1
+++⋯+=
⨯⨯⨯+______．
()2拓展应用
有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆(如图1)，在每个分点标上质数m，记2个数的和为1a；第二次再将两个半圆周都分成
1
4
圆周(如图2)，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的
1
2
，记4个数的和为2a；第三次将四个
1
4
圆周分成
1
8
圆周(如图3)，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的
1
3
，记8个数的和为3a；第四次将八个1
8
圆周分成
1
16
圆周，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的
1
4
，记16个数的和为4a；⋯⋯如此进行了n次．
n
a=
①______(用含m、n的代数式表示)；
②当
n
a6188
=时，求
123n
1111
a a a a
+++⋯⋯+的值．
7．某商场在黄金周促销期间规定：商场内所有商品按标价的50%打折出售；同时，当顾客在该商场消费打折后的金额满一定数额，还可按如下方案抵扣相应金额：
说明：[
)a,b 表示在范围a b ～中，可以取到a ，不能取到b ．
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠：打折优惠与抵扣优惠． 例如：购买标价为900元的商品，则打折后消费金额为450元，获得的抵扣金额为30元，总优惠额为：()900150%30480⨯-+=元，实际付款420元． (购买商品得到的优惠率100%)=
⨯购买商品获得的总优惠额商品的标价
， 请问： ()1购买一件标价为500元的商品，顾客的实际付款是多少元？
()2购买一件商品，实际付款375元，那么它的标价为多少元？
()3请直接写出，当顾客购买标价为______元的商品，可以得到最高优惠率为______．
8．如图，数轴上点A 表示的数为4-，点B 表示的数为16，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t 秒(t 0)>．
()1A ，B 两点间的距离等于______，线段AB 的中点表示的数为______；
()2用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为______，点Q 表示的数为______； ()3求当t 为何值时，1PQ AB 2
=？ ()4若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN 的长．
9．已知线段30AB cm =
（1）如图1，点P 沿线段AB 自点A 向点B 以2/cm s 的速度运动，同时点Q 沿线段点B 向点A 以3/cm s 的速度运动，几秒钟后，P Q 、两点相遇？
（2）如图1，几秒后，点P Q 、两点相距10cm ？
（3）如图2，4AO cm =，2PO cm =，当点P 在AB 的上方，且060=∠POB 时，点P
绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向、两点能相遇，求点Q的运动速度．
A点运动，假若点P Q
10．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数.
（分析思路）
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．
如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)
（解决问题）
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.
S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:
_______ ____________ _______________ _______________
(3)用含n 的式子列式，并计算第n 个图的钢管总数.
11．射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 有公共端点O ．
（1）若OA 与OE 在同一直线上（如图1），试写出图中小于平角的角；
（2）若∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n ＜72），OB 平分∠AOE，OD 平分∠COE（如图
2），求∠BOD 的度数；
（3）如图3，若∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，射OC 绕点O 在∠AOD 内部旋转（不与OA 、OD 重合）．探求：射线OC 从OA 转到OD 的过程中，图中所有锐角的和的情况，并说明理由．
12．如图，在数轴上从左往右依次有四个点,,,A B C D ，其中点,,A B C 表示的数分别是0,3,10，且2CD AB =.
(1)点D 表示的数是 ；（直接写出结果）
(2)线段AB 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是t （秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求t 的值;
②线段AB 上是否存在一点P ，满足3BD PA PC -=?若存在，求出点P 表示的数x ；若不存在，请说明理由.
13．（阅读理解）
若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离的2倍，我们就称点C 是（A ，B ）的优点．
例如，如图①，点A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是（A ，B ）的优点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是（A ，B ）的优点，但点D 是（B ，A ）的优点． （知识运用）
如图②，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为﹣2，点N 所表示的数为4．
（1）数 所表示的点是（M ，N ）的优点；
（2）如图③，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为﹣20，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A 停止．当t 为何值时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点？
14．如图,在数轴上点A表示数a,点B表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a,b满足|a+2|+(b+3a)2=0.
(1)求A,B两点之间的距离;
(2)若在线段AB上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;
(3)若在原点O处放一个挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动,同时,另一个小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略小球的大小,可看做一个点)以原来的速度向相反的方向运动.
设运动时间为t秒.
①甲球到原点的距离为_____,乙球到原点的距离为_________;(用含t的代数式表示)
②求甲乙两小球到原点距离相等时经历的时间.
15．如图，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC=4cm，求DE的长；
（2）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB=α，过点O画射线OC，使∠AOB:∠BOC=3:1若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试探究∠DOE与∠AOB的数量关系．
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一、压轴题
1．（1）10
7
秒或10秒；（2）
14
13
或
114
13
．
【解析】
【分析】
（1）由绝对值的非负性可求出a，c的值，设点B对应的数为b，结合BC = 2 AB，求出b 的值，当运动时间为t秒时，分别表示出点P、点Q对应的数，根据“Q到B的距离与P 到B的距离相等”列方程求解即可；
（2）当点R运动了x秒时，分别表示出点P、点Q、点R对应的数为，得出AQ的长，
由中点的定义表示出点M、点N对应的数，求出MN的长．根据MN+AQ=25列方程，分三种情况讨论即可．
【详解】
（1）∵|a-20|+|c+10|=0，
∴a-20=0，c+10=0，
∴a=20，c=﹣10．
设点B对应的数为b．
∵BC=2AB，∴b﹣（﹣10）=2（20﹣b）．
解得：b=10．
当运动时间为t秒时，点P对应的数为20+2t，点Q对应的数为﹣10+5t．
∵Q到B的距离与P到B的距离相等，
∴|﹣10+5t﹣10|=|20+2t﹣10|，
即5t﹣20=10+2t或20﹣5t=10+2t，
解得：t=10或t=10
7
．
答：运动了10
7
秒或10秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等．
（2）当点R运动了x秒时，点P对应的数为20+2（x+2）=2x+24，点Q对应的数为﹣10+5（x+2）=5x，点R对应的数为20﹣x，∴AQ=|5x﹣20|．
∵点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，
∴点M对应的数为22420
2
x x
++-
=
44
2
x
+
，
点N对应的数为205
2
x x
-+
=2x+10，
∴MN=|44
2
x
+
﹣（2x+10）|=|12﹣1.5x|．
∵MN+AQ=25，∴|12﹣1.5x|+|5x﹣20|=25．分三种情况讨论：
①当0＜x＜4时，12﹣1.5x+20﹣5x=25，
解得：x =1413
； 当4≤x ≤8时，12﹣1.5x +5x ﹣20=25，
解得：x =
667
＞8，不合题意，舍去； 当x ＞8时，1.5x ﹣12+5x ﹣20=25， 解得：x 3
1141 ． 综上所述：x 的值为
1413或11413． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（1）80°；（2）140°
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义得∠BOM=12∠AOB ，∠BON=12
∠BOD ，再根据角的和差得∠AOD=∠AOB+∠BOD ，∠MON=∠BOM+∠BON ，结合三式求解；（2）根据角平分线的定
义∠MOC=
12∠AOC ，∠BON=12
∠BOD ，再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC ，∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC 结合三式求解.
【详解】
解：（1）∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，
∴∠BOM=12∠AOB ，∠BON=12∠BOD ， ∴∠MON=∠BOM+∠BON=
12∠AOB+12∠BOD=12
(∠AOB+∠BOD). ∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°，
∴∠MON=12
×160°=80°； （2）∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，
∴∠MOC=12∠AOC ，∠BON=12
∠BOD ， ∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC ，
∴∠MON=12∠AOC+12∠BOD -∠BOC=12
(∠AOC+∠BOD )-∠BOC. ∵∠AOD=∠AOB+∠BOD ，∠AOC=∠AOB+∠BOC,
∴∠MON=
12(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=12
(∠AOD+∠BOC )-∠BOC ， ∵∠AOD=α，∠MON=60°,∠BOC=20°, ∴60°=
12
(α+20°)-20°, ∴α=140°.
【点睛】 本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，明确角之间的关系是解答此题的关键.
3．（1）40º；（2）84º；（3）7.5或15或45
【解析】
【分析】
（1）利用角的和差进行计算便可；
（2）设AOE x ∠=︒，则3EOD x ∠=︒，BOF y ∠=︒，通过角的和差列出方程解答便可；
（3）分情况讨论，确定∠MON 在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t 的不同方程进行解答便可．
【详解】
解：（1））∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°
∴COD AOD BOC AOB ∠=∠+∠-∠
160120=︒-︒
40=︒
（2）3DOE AOE ∠=∠，3COF BOF ∠=∠
∴设AOE x ∠=︒，则3EOD x ∠=︒，BOF y ∠=︒
则3COF y ∠=︒，
44120COD AQD BOC AOB x y ∴∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒
EOF EOD FOC COD ∠=∠+∠-∠
()()3344120120x y x y x y =︒+︒-︒+︒-︒=︒-︒+︒
72
EOF COD ∠=∠ 7120()(44120)2
x y x y ∴-+=+- 36x y ∴+=
120()84EOF x y ∴︒+︒︒∠=-=
（3）当OI 在直线OA 的上方时，
有∠MON=∠MOI+∠NOI=1
2
（∠AOI+∠BOI））=
1
2
∠AOB=
1
2
×120°=60°，
∠PON=1
2
×60°=30°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30），
解得t=15
2
或15；
当OI在直线AO的下方时，
∠MON═1
2
（360°-∠AOB）═
1
2
×240°=120°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴180°-3t=3（60°-6120
2
t-
）或180°-3t=3（
6120
2
t-
-60°），
解得t=30或45，
综上所述，满足条件的t的值为15
2
s或15s或30s或45s．
【点睛】
此是角的和差的综合题，考查了角平分线的性质，角的和差计算，一元一次方程（组）的应用，旋转的性质，有一定的难度，体现了用方程思想解决几何问题，分情况讨论是本题的难点，要充分考虑全面，不要漏掉解．
4．（1）35°；（2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，理由详见解析；（3）4．
【解析】
【分析】
（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE 和∠BOF 的度数，然后根据∠AOE ﹣∠BOF 求解；
（2）首先由题意得∠BOC ＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC ＝∠AOB+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可；
（3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°，故3314202t t +=+
，解方程即可求出t 的值． 【详解】
解：（1）∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ， ∴11AOE AOC 11022︒∠=∠=⨯＝55°，11AOF BOD 402022
︒︒∠=∠=⨯=， ∴∠AOE ﹣∠BOF ＝55°﹣20°＝35°；
（2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值
由题意∠BOC ＝3t°，
则∠AOC ＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°＝40°+3t°，
∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，
()11AOE AOC 1103t =22︒︒∴∠=
∠=⨯+3552t ︒︒+ ∴()
113BOF BOD 403t 20t 222︒︒︒︒∠=∠=+=+， ∴33AOE BOF 55t 20t 3522︒︒︒︒︒⎛
⎫⎛⎫∠-∠=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，定值为35°；
（3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°， ∴3314202t t +=+
， 解得4t =．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
5．（1）n= 8；（2）-2.5或2.5；（3）n=4或n=12．
【解析】
【分析】
（1）根据“n 节点”的概念解答；
（2）设点D 表示的数为x ，根据“5节点”的定义列出方程分情况，并解答；
（3）需要分类讨论：①当点E 在BA 延长线上时，②当点E 在线段AB 上时，③当点E 在
AB延长线上时，根据BE=1
2
AE，先求点E表示的数，再根据AC+BC=n，列方程可得结论．
【详解】
（1）∵A表示的数为-2，B表示的数为2，点C在数轴上表示的数为-4，∴AC=2，BC=6，
∴n=AC+BC=2+6=8．
（2）如图所示：
∵点D是数轴上点A、B的“5节点”，
∴AC+BC=5，
∵AB=4，
∴C在点A的左侧或在点A的右侧，
设点D表示的数为x，则AC+BC=5，
∴-2-x+2-x=5或x-2+x-（-2）=5，
x=-2.5或2.5，
∴点D表示的数为2.5或-2.5；
故答案为-2.5或2.5；
（3）分三种情况：
①当点E在BA延长线上时，
∵不能满足BE=1
2 AE，
∴该情况不符合题意，舍去；
②当点E在线段AB上时，可以满足BE=1
2
AE，如下图，
n=AE+BE=AB=4；
③当点E在AB延长线上时，
∵BE=1
2 AE，
∴BE=AB=4，
∴点E表示的数为6，
∴n=AE+BE=8+4=12，
综上所述：n=4或n=12．
【点睛】
本题考查数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握“n节点”的概念和运算法则，找
出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般．
6．（1）
11n n 1-+，n n 1+（2）①()()n 1n 2m 3
++②75364 【解析】
【分析】 ()1观察发现：先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；根据第一空中的猜想计算出结果；
()2①由16a 2m m 3==，212a 4m m 3==，320a m 3=，430a 10m m 3
==，找规律可得结论；
②由()()n 1n 2m 22713173
++=⨯⨯⨯⨯知()()m n 1n 22237131775152++=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，据此可得m 7=，n 50=，再进一步求解可得．
【详解】
()1观察发现：
()111n n 1n n 1
=-++； ()
1111122334n n 1+++⋯+⨯⨯⨯+， 1111111122334n n 1
=-+-+-+⋯+-+， 11n 1
=-+， n 11n 1+-=
+， n n 1
=+； 故答案为
11n n 1-+，n n 1+． ()2拓展应用
16a 2m m 3①==，212a 4m m 3==，320a m 3=，430a 10m m 3
==， ⋯⋯
()()n n 1n 2a m 3++∴=，
故答案为()()n 1n 2m.3
++ ()()n n 1n 2a m 61883
②++==，且m 为质数， 对6188分解质因数可知61882271317=⨯⨯⨯⨯，
()()n 1n 2m 22713173
++∴=⨯⨯⨯⨯， ()()m n 1n 22237131775152∴++=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，
m 7∴=，n 50=，
()()n 7a n 1n 23
∴=++， ()()
n 131a 7n 1n 2=⋅++， 123n
1111a a a a ∴+++⋯+ ()()33336m 12m 20m n 1n 2m =+++⋯+++
()()311172334n 1n 2⎡⎤=++⋯+⎢⎥⨯⨯++⎢⎥⎣⎦
31131172n 27252⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 75364
=
． 【点睛】 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握并熟练运用所得规律：
()111n n 1n n 1
=-++． 7．(1)230元;(2) 790元或者810元;(3) 400，55%.
【解析】
【分析】
()1可对照表格计算，500元的商品打折后为250元，再享受20元抵扣金额，即可得出实际付款；
()2实际付款375元时，应考虑到20037520400≤+<与40037530600≤+<这两种情况的存在，所以分这两种情况讨论；
()3根据优惠率的定义表示出四个范围的数据，进行比较即可得结果．
【详解】
解：()1由题意可得：顾客的实际付款()500500150%20230⎡⎤=-⨯-+=⎣⎦
故购买一件标价为500元的商品，顾客的实际付款是230元．
()2设商品标价为x 元．
20037520400≤+<与40037530600≤+<两种情况都成立，于是分类讨论
①抵扣金额为20元时，1x 203752
-=，则x 790= ②抵扣金额为30元时，1x 303752
-=，则x 810= 故当实际付款375元，那么它的标价为790元或者810元．
()3设商品标价为x 元，抵扣金额为b 元，则 优惠率1x b 1b 2100%x 2x
+=⨯=+ 为了得到最高优惠率，则在每一范围内x 均取最小值，可以得到
2030405040080012001600
>>> ∴当商品标价为400元时，享受到最高的优惠率1155%220
=
+= 故答案为400，55%
【点睛】
本题考查的是日常生活中的打折销售问题，运用一元一次方程解决问题时要抓住未知量，明确等量关系列出方程是关键．
8．（1）20,6；（2）43t -+，162t -；（3）t 2=或6时；（4）不变，10，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由数轴上两点距离先求得A ，B 两点间的距离，由中点公式可求线段AB 的中点表示的数；
（2）点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发，向右为正，所以-4+3t ；
Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，16-2t. （3）由题意,1PQ AB 2
=
表示出线段长度，可列方程求t 的值； （4）由线段中点的性质可求MN 的值不变．
【详解】 解：()1点A 表示的数为4-，点B 表示的数为16，
A ∴，
B 两点间的距离等于41620--=，线段AB 的中点表示的数为41662
-+=
故答案为20，6
()2点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点P 表示的数为：43t -+，
点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
∴点Q 表示的数为：162t -，
故答案为43t -+，162t -
()13PQ AB 2= ()43t 162t 10∴-+--=
t 2∴=或6
答：t 2=或6时，1PQ AB 2
= ()4线段MN 的长度不会变化，
点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，
1PM PA 2∴=，1PN PB 2
= ()1MN PM PN PA PB 2∴=-=
- 1MN AB 102
∴== 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到正确的等量关系列出方程是本题的关键．
9．（1）6秒钟;（2）4秒钟或8秒钟；（3）点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s ．
【解析】
【分析】
（1）设经过ts 后，点P Q 、相遇，根据题意可得方程2330t t +=，解方程即可求得t 值；（2）设经过xs ，P Q 、两点相距10cm ，分相遇前相距10cm 和相遇后相距10cm 两种情况求解即可；（3）由题意可知点P Q 、只能在直线AB 上相遇，由此求得点Q 的速度即可.
【详解】
解：（1）设经过ts 后，点P Q 、相遇．
依题意，有2330t t +=，
解得：6t =．
答：经过6秒钟后，点P Q 、相遇；
（2）设经过xs ，P Q 、两点相距10cm ，由题意得
231030x x ++=或231030x x +-=，
解得：4
x=或8
x=．
答：经过4秒钟或8秒钟后，P Q
、两点相距10cm；
（3）点P Q
、只能在直线AB上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为：()
120
4
30
s
=或()
120180
10
30
s
+
=，
设点Q的速度为/
ycm s，则有4302
y=-，
解得：7
y=；
或10306
y=-，
解得 2.4
y=，
答：点Q的速度为7/
cm s或2.4/
cm s．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的综合应用解决第（2）（3）问都要分两种情况进行讨论，注意不要漏解.
10．（1）3456;45678
S S
=+++=++++ ;(2) 方法不唯一，见解析；（3）方法不唯一，见解析
【解析】
【分析】
先找出前几项的钢管数，在推出第n项的钢管数.
【详解】
（1）3456;45678
S S
=+++=++++
（2）方法不唯一，例如：
12
S=+1233
S=+++123444
S=+++++12345555
S=+++++++（3）方法不唯一，例如：
()()
12 (2)
S n n n n
=++++++
()()
()()
=.....12.....
1
11
2
n n n n
n n n n
+++++++
=+++
()
3
1
2
n n
=+
【点睛】
此题主要考察代数式的规律探索及求和，需要仔细分析找到规律.
11．（1）图1中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，
∠COD，∠DOE；（2）∠BOD＝54°；（3）
∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE＝412°．理由见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据角的定义即可解决；
（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=1
2∠AOC+1
2
∠COE，进而求出即可；
（3）将图中所有锐角求和即可求得所有锐角的和与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系，即可解题．
【详解】
（1）如图1中小于平角的角
∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，∠COD，∠DOE．
（2）如图2，
∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），
∴∠BOD＝1
2
∠AOD﹣
1
2
∠COE+
1
2
∠COE＝
1
2
×108°＝54°；
（3）如图3，
∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，
图中所有锐角和为
∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE ＝4∠AOB+4∠DOE＝6∠BOC+6∠COD
＝4（∠AOE﹣∠BOD）+6∠BOD
＝412°．
【点睛】
本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，
12．（1）16；（2）①t 的值为3或
143秒；②存在，P 表示的数为314. 【解析】
【分析】
（1）由数轴可知，AB=3,则CD=6,所以D 表示的数为16，
（2）①当运动时间是t 秒时，在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t, C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t ，分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可；②分情况讨论当t=3秒, t=
143秒时，满足3BD PA PC -=的点P , 注意P 为线段AB 上的点对x 的值的限制.
【详解】
（1）16
（2）①在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t,C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t.
当BC ＝2，点B 在点C 的右边时，
由题意得：32-10-2BC t t =+=（），
解得：t ＝3，
当AD=2，点A 在点D 的左边时，
由题意得：16--22AD t t ==，
解得：t ＝143
． 综上，t 的值为3或
143
秒 ②存在，理由如下: 当t=3时，A 点表示的数为6，B 点表示的数为9，C 点表示的数为7，D 点表示的数为13. 则13-94-6|-7|BD PA x PC x ====，，，
-3BD PA PC =，
()4--6|-7|x x ∴=， 解得：314x =或112， 又P 点在线段AB 上，则69x ≤≤
314
x ∴=. 当143t =时，A 点表示的数为283，B 点表示的数为373，C 点表示的数为163
，D 点表示的数为343
.
则37343816-1-|-|3333
BD PA x PC x ====，，， -3BD PA PC =， ∴ 28161--|-|33x x ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭， 解得：7912x =或176， 又283733
x ≤≤， x ∴无解
综上，P 表示的数为
314
. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t 秒时点A 、B 、C 、D 所表示的数,(2)根据3BD PA PC -=列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程．
13．（1）2或10；（2）当t 为5秒、10秒或7.5秒时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点．
【解析】
【分析】
（1）设所求数为x ，根据优点的定义分优点在M 、N 之间和优点在点N 右边，列出方程解方程即可；（2）根据优点的定义可知分三种情况：①P 为（A ，B ）的优点；②P 为（B ，A ）的优点；③B 为（A ，P ）的优点．设点P 表示的数为x ，根据优点的定义列出方程，进而得出t 的值．
【详解】
解：（1）设所求数为x ，
当优点在M 、N 之间时，由题意得x ﹣（﹣2）=2（4﹣x ），解得x=2；
当优点在点N 右边时，由题意得x ﹣（﹣2）=2（x ﹣4），解得：x=10；
故答案为：2或10；
（2）设点P 表示的数为x ，则PA=x+20，PB=40﹣x ，AB=40﹣（﹣20）=60，
分三种情况：
①P 为（A ，B ）的优点．
由题意，得PA=2PB ，即x ﹣（﹣20）=2（40﹣x ），
解得x=20，
∴t=（40﹣20）÷4=5（秒）；
②P 为（B ，A ）的优点．
由题意，得PB=2PA ，即40﹣x=2（x+20），
解得x=0，
∴t=（40﹣0）÷4=10（秒）；
③B 为（A ，P ）的优点．
由题意，得AB=2PA ，即60=2（x+20）
解得x=10，
此时，点P 为AB 的中点，即A 也为（B ，P ）的优点，
∴t=30÷4=7.5（秒）；
综上可知，当t 为5秒、10秒或7.5秒时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解优点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
14．2+t 6-2t 或2t-6
【解析】
分析：(1)、先根据非负数的性质求出a 、b 的值，再根据两点间的距离公式即可求得A 、B 两点之间的距离；(2)、设BC 的长为x ，则AC=2x ，根据AB 的长度得出x 的值，从而得出点C 所表示的数；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA 的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B 处开始向左运动，一直到原点O ，此时OB 的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t ＞3时，乙球从原点O 处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB 的长度即为乙球到原点的距离；②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t ＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t 的方程，解方程即可．
详解：(1)、由题意知a=-2,b=6,故AB=8.
(2)、设BC 的长为x,则AC=2x, ∵BC+AC=AB,∴x+2x=8,解得x=83
， ∴C 点表示的数为6-83=103
． (3)①2+t;6-2t 或2t-6.
②当2+t=6-2t 时,解得t=43， 当2+t=2t-6时, 解得t=8. ∴t=43
或8. 点睛：本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
15．(1)DE=6;(2) DE=
2a ,理由见解析；（3）∠DOE=12∠AOB ，理由见解析 【解析】
试题分析：（1）由AC=4cm ，AB=12cm ，即可推出BC=8cm ，然后根据点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，即可推出AD=DC=2cm ，BE=EC=4cm ，即可推出DE 的长度，
（2）设AC=acm ，然后通过点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，即可推出DE=
12（AC+BC ）=12AB=2
a cm ，即可推出结论，
（3）分两种情况，OC在∠AOB内部和外部结果都是∠DOE=1
2
∠AOB
试题解析：
（1））∵AB=12cm，
∴AC=4cm，
∴BC=8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=2cm，CE=4cm，
∴DE=6cm;
(2) 设AC=acm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE=CD+CE=1
2
（AC+BC）=
1
2
AB=6cm，
∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变;
(3)①当OC在∠AOB内部时，如图所示：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠NOC=1
2
∠BOC，∠COM=
1
2
∠COA．
∵∠CON+∠COM=∠MON，
∴∠MON=1
2
（∠BOC+∠AOC）=
1
2
α；
②当OC在∠AOB外部时，如图所示：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=1
2
（∠AOB+∠BOC），∠CON=
1
2
∠BOC．
∵∠MON+∠CON=∠MOC，
∴∠MON=∠MOC-∠CON=1
2
（AOB+∠BOC）-
1
2
∠BOC=
1
2
∠AOB=
1
2
α．
【点睛】本题主要考察角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运
用相关的性质定理．。