2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第一章 集合与常用逻辑用语1

第一章⎪
⎪⎪
集合与常用逻辑用语 第一节 集 合
本节主要包括2个知识点：
集合的概念与集合间的基本关系； 2.集合的基本运算.
突破点(一) 集合的概念与集合间的基本关系
[基本知识]
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．集合间的基本关系
A B 或B A
∅
B 且B ≠∅
[基本能力]
1．判断题
(1)若{x 2，1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( )
(2)已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ＝B ＝C .( ) (3)任何集合都有两个子集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．填空题
(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
答案：1或4
(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．
解析：∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．
答案：5
(3)集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为________．
解析：因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.
答案：7
(4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________.
解析：∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.
答案：－2
[全析考法]
集合的概念与集合间的基本关系
1.
(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．
(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．
(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
2．判断集合间关系的常用方法
[典例](1)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为()
A．5 B．4
C．3 D．2
(2)(2018·兰州模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是
()
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．A⊆B D．B⊆A
(3)(2018·湖南长沙一中月考)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是()
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
[解析](1)因为x∈A，y∈B，所以当x＝－1，y＝0,2时，z＝x＋y＝－1,1；当x＝1，y ＝0,2时，z＝x＋y＝1,3，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，共3个元素，选
C.
(2)A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.
(3)由题意得集合A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，要使得A⊆B，则a≥2.故选A.
[答案](1)C(2)D(3)A
[易错提醒]
(1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．
(2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
[全练题点]
1．(2018·河北邯郸一中调研)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B ＝()
A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2}
C．{0,2,4} D．{1,2}
解析：选A当x＝0，y＝0,1,2时，x＋y＝0,1,2；当x＝1，y＝0,1,2时，x＋y＝1,2,3；当x＝2，y＝0,1,2时，x＋y＝2,3,4.所以B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}＝{0,1,2,3,4}．2．已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，C＝{x|x∈A或x∈B}，则集合C的真子集的个数为()
A．3 B．7
C．8 D．15
解析：选B因为A＝{x∈N|x<2}，所以A＝{0,1}，因为B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，所以B＝{0，lg 2}．因为C＝{x|x∈A或x∈B}，所以C＝{0,1，lg 2}．所以集合C的真子集的
个数为23－1＝7.故选B.
3．(2018·河北衡水中学调研)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
解析：选B 满足条件的集合B 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以满足A ⊆B 的B 的个数是4.故选B.
4．(2018·成都模拟)已知集合A ＝{x ∈N |1<x <log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( )
A ．(8，＋∞)
B ．[8，＋∞)
C ．(16，＋∞)
D ．[16，＋∞)
解析：选C 法一：∵集合A ＝{x ∈N |1<x <log 2k }，集合A 中至少有3个元素，∴log 2k >4，解得k >16.故选C.
法二：取k ＝16，则集合A ＝{x ∈N |1<x <log 2k }＝{x ∈N |1<x <4}＝{2,3}，所以排除A 、B 、D ，故选C.
5．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．
解析：∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪
⎧
2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.
解得2≤m ≤3.
由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3]
突破点(二) 集合的基本运算
[基本知识]
1．集合的三种基本运算
(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .
(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.
[基本能力]
1．判断题
(1)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )
(2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1x >0，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |
1x ≤0.( )
(3)设集合U ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁U B )＝{1}．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．填空题
(1)(2018·浙江模拟)已知集合P ＝{x ∈R |0≤x ≤4}，Q ＝{x ∈R ||x |<3}，则P ∪Q ＝________. 解析：由题意，得P ＝[0,4]，Q ＝(－3,3)，∴P ∪Q ＝(－3，4]． 答案：(－3,4]
(2)(2018·安徽合肥模拟)已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∩B ＝________. 解析：由题意，得A ＝{x |x 2<4}＝(－2,2)，B ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，所以A ∩B ＝[1,2)． 答案：[1,2)
(3)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁
U B )＝________.
解析：因为∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩(∁U B )＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}． 答案：{2,5}
(4)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝________. 解析：∵A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，∴A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U (A ∪B )＝{2,6}．
答案：{2,6}
[全析考法]
[例1] ，则P ∩Q ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{2,3}
D ．{1,2,3}
(2)(2018·山东菏泽模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |
12<x <2，B ＝{x |x 2<1}，则A ∪B ＝( )
A ．{x |1<x <2}
B ．{x |－1<x <2} C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |
12<x <1 D ．{x |－1<x <1}
[解析] (1)P ＝{x |1≤2x <4}＝[0,2)，所以P ∩Q ＝{1}．故选A.
(2)因为B ＝{x |x 2<1}＝{x |－1<x <1}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <2}．故选B. [答案] (1)A (2)B
[方法技巧] 求集合交集或并集的方法步骤
交、并、补的混合运算
[例2] (1)(2018·山东临沂模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x
－2)
<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则
图中阴影部分表示的集合为( )
A ．{x |x ≥1}
B ．{x |1≤x <2}
C ．{x |0<x ≤1}
D ．{x |x ≤1}
(2)(2018·湖北黄冈调研)已知函数f (x )＝1
1－x
2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( )
A ．{x |x >－1}
B ．{x |x ≥1}
C ．∅
D ．{x |－1<x <1}
[解析] (1)A ＝{x |2x (x
－2)
<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}
＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．
(2)依题意得M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |x <1}，∁R N ＝{x |x ≥1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |x >－1}． [答案] (1)B (2)A [方法技巧]
解决交、并、补混合运算的一般思路
(1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn 图法解决，此时要搞清Venn 图中的各部分区域表示的实际意义．
(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．
(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．
集合的新定义问题
[例3] (2018·x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )
A.⎝⎛⎦⎤－9
4，0 B.⎣⎡⎭
⎫－9
4，0 C.⎝
⎛⎭⎫－∞，－9
4∪[0，＋∞) D.⎝
⎛⎦⎤－∞，－9
4∪(0，＋∞) [解析] 因为A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪
⎪
y ≥－94，B ＝{y |y <0}， 所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪
⎪
y <－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫y ⎪
⎪
y ≥0或y <－94. 故选C. [答案] C [方法技巧]
解决集合新定义问题的着手点
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．
[全练题点]
1.[考点一](2018·长春模拟)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
解析：选C ∵A ＝(0，＋∞)，B ＝(－1,1)，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.
2.[考点二](2018·广州模拟)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<2x <4}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∩∁U B ＝( )
A．{x|1<x<2} B．{x|0<x≤1}
C．{x|0<x<1} D．{x|1≤x<2}
解析：选C由题意知，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∁U B＝{x|x<1}，所以A∩∁U B＝{x|0<x<1}．
3.[考点一](2018·潍坊模拟)若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B＝()
A．(2,4] B．[2,4]
C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4]
解析：选A因为A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2<x≤4}＝(2,4]．
4.[考点三](2018·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为() A．15 B．16
C．20 D．21
解析：选D由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.
5.[考点三]如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合
A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B
＝{y|y＝3x，x>0}，则A B为()
A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}
C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1<x≤2}，所以A B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}，故选D.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
解析：选A∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，
∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.
2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()
A ．{1，－3}
B ．{1,0}
C ．{1,3}
D ．{1,5}
解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.
4．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，3
2 C.⎝⎛⎭
⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3
解析：选D ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >3
2
，∴B ＝
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x >32＝⎝⎛⎭⎫3
2
，3.
5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}
D ．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．
6．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( )
A ．{－1,0}
B ．{0,1}
C ．{－1,0,1}
D ．{0,1,2}
解析：选A 由题意知B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1,0}．故选A. [课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A B
D ．B A
解析：选D ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A .
2．(2018·莱州一中模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选C A ＝{x ∈N |(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N |－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C.
3．(2018·广雅中学测试)若全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )
解析：选B 由题意知，N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，所以N M ，故选B.
4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．
解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－3
2，当m ＝1时，m ＋2＝3
且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝1
2，则2m 2
＋m ＝3，故m ＝－3
2
.
答案：－3
2
5．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．
解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
对点练(二) 集合的基本运算
1．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)
D ．(－∞，1]
解析：选A M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 2．若集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0}
B ．{1}
C．{0,1} D．{0，－1}
解析：选C因为B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0,1}，所以A∩B＝{0,1}．
3．(2018·中原名校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝()
A．(2,3]
B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．[1,2)
D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析：选D因为∁U A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
4．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()
A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}
C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}
解析：选B由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．
5．(2018·河北正定中学月考)已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P ∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝()
A．－5 B．5
C．－1 D．1
解析：选A P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q ＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.
6．(2018·唐山统一考试)若全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是()
A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}
C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}
解析：选C由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又题图中阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，∁U B＝{x|x≥0}，所以(∁U B)∩A ＝{x|0≤x<6}，故选C.
7．已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是()
A ．(－4,3)
B ．[－3,4]
C ．(－3,4)
D ．(－∞，4]
解析：选B 集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B. 8．已知全集U ＝{x ∈Z |0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )
A ．M ∩(∁U N )
B ．∁U (M ∩N )
C ．∁U (M ∪N )
D ．(∁U M )∩N
解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁
U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，选
C.
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)因为A ∩B ＝[0,3]，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.
(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，
因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.
因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ＞2m ，2m ≤1，
1－m ≥3，
解得m ≤－2，
即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得
①若2m ≥1－m ，即m ≥1
3时，B ＝∅，符合题意；
②若2m ＜1－m ，即m ＜1
3
时，需⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜13，
2m ≥3，
得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜1
3
.
综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．
3．(2018·江西玉山一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；
(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33， ∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}． ∵log 2x >1，即log 2x >log 22， ∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． ∴∁R B ＝{x |x ≤2}， ∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}．
(2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A . 当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1； 当C 为非空集合时，可得1<a ≤3.
综上所述，a ≤3.实数a 的取值范围是{a |a ≤3}.
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 本节主要包括2个知识点：
1.命题及其关系；
2.充分条件与必要条件.
突破点(一) 命题及其关系
[基本知识]
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
[基本能力]
1．判断题
(1)“x2＋2x－3<0”是命题. ()
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()
答案：(1)×(2) ×
2．填空题
(1)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案：2
(2)命题“若x>1，则x>0”的否命题是______________________________________．
答案：若x≤1，则x≤0
(3)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________________________________________________________________________．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
(4)有下列几个命题：
①“若a>b，则1
a>
1
b”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则1
a≤
1
b”，假命题．②原命题的逆命题为“若
x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：②③
[全析考法]
命题的真假判断[例1]下列命题中为真命题的是()
A．若1
x＝
1
y，则x＝y B．若x
2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则x＝y D．若x<y，则x2<y2
[解析]取x＝－1，排除B；取x＝y＝－1，排除C；取x＝－2，y＝－1，排除D.
[答案] A
[方法技巧]
判断命题真假的思路方法
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；
②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．
四种命题的关系
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
[例2](1)(2018·西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题D．否定
(2)原命题为“若a n＋a n＋1
2<a n，n∈N
*，则{a
n
}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，
逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()
A．真，真，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
[解析](1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
(2)原命题即“若a n＋1<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n}为递减数列，n∈N*，则a n＋1<a n”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案](1)B(2)A
[方法技巧]
1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．
(2)若命题有大前提，需保留大前提．
2．判断四种命题真假的方法
(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．
(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．
[全练题点]
1.[考点一]下列命题中为真命题的是()
A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点
C．互相包含的两个集合相等
D．空集是任何集合的真子集
解析：选C A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．
2.[考点二](2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥
3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③B．②
C．②③D．①②③
解析：选A命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.
3.[考点一、二](2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：选C易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．
4.[考点一、二]有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.
答案：①②③
突破点(二)充分条件与必要条件
[基本知识]
1．充分条件与必要条件的概念
q
2.
A B
B A
[基本能力]
1．判断题
(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )
(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( ) (3)“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的必要不充分条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．填空题
(1)若x ∈R ，则“x >1”是“1
x <1”的____________条件． 答案：充分不必要
(2)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”成立的________条件． 答案：必要不充分
(3)在△ABC 中，A ＝B 是tan A ＝tan B 的________条件． 答案：充要
(4)设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)
解析：由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，故p 是t 的充分条件，r 是t 的充要条件． 答案：充分 充要
[全析考法]
充分条件与必要条件的判断
[例1] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4
＋S 6>2S 5”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 (2)(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.
(2)∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.
反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．
故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A [方法技巧]
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．
(2)集合法：根据p ，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．
根据充分、必要条件求参数范围
[例2] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．
[解析] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，
由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，
解得0≤m ≤3.
所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3] [方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的思路方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[全练题点]
1.[考点一](2018·长沙四校联考)“x >1”是“log 2(x －1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 由log 2(x －1)<0得0<x －1<1，即1<x <2，故“x >1”是“log 2(x －1)<0”的必要不充分条件，选B.
2.[考点二]已知“x >k ”是“3
x ＋1
<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]
解析：选A 由
3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，解得x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3
x ＋1
<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.
3.[考点一](2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<1
2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π
6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<1
2”的充分而不必要条件．
法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π
12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<1
2
”的充分而不必要条件． 4.[考点一](2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选D 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，
而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．
5.[考点二](2018·河北石家庄模拟)已知命题p ：⎪
⎪⎪
⎪
1－
x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．
解析：法一：由⎪
⎪⎪
⎪
1－
x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p ：A ＝{x |x >10或x <－2}． 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，
∴綈q ：B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1－m ≤－2，
1＋m ≥10，
解得m ≥9.
法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件．
由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪
⎪⎪
⎪
1－
x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∴P Q ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1－m ≤－2，
1＋m ≥10，解得m ≥9.
答案：[9，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x ) 在x ＝x 0 处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )
A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件
解析：选C 设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C.
2．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对于p 1，∵1z ＝1
a ＋
b i ＝a －b i a 2＋b 2
∈R ，∴b ＝0，
∴z ∈R ，∴p 1是真命题；
对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题；
对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，
∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题； 对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ， ∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题.
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 命题及其关系
1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数
解析：选C 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.
2．命题“若△ABC 有一内角为π
3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )
A ．与原命题同为假命题
B ．与原命题的否命题同为假命题
C ．与原命题的逆否命题同为假命题
D ．与原命题同为真命题
解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π
3
”，它是真命题．
3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A ．都真
B ．都假
C ．否命题真
D ．逆否命题真
解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________． ①若x ≠0，则x ＋1
x ≥2；
②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 解析：当x <0时，x ＋1
x ≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．
答案：②④
5．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”．
答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
对点练(二)充分条件与必要条件
1．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.
2．(2018·浙江名校联考)一次函数y＝－m
n x＋
1
n的图象同时经过第一、三、四象限的必
要不充分条件是()
A．m>1，且n<1 B．mn<0
C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0
解析：选B因为y＝－m
n x＋
1
n的图象经过第一、三、四象限，故－
m
n>0，
1
n<0，即m>0，
n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.
3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a，b∈R，则“l og2a>log2b”是“2a－b>1”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件．故选A.
4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′，∴f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，∴f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.
5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()
A．a≥4 B．a>4
C．a≥1 D．a>1
解析：选B x 2－a ≤0⇔a ≥x 2.因为x 2∈[1,4)，所以a ≥4.故a >4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.
6．(2018·广东梅州质检)已知命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，且綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(0,1)
解析：选B 命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴綈p 为真命题时，a >4.又∵綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，∴(3m ＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m ＋1>4，解得m >1，故选B.
7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：由|4x －3|≤1，得1
2≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p
是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎡⎦⎤
12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12.且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤1
2.∴实数a 的取值
范围是⎣⎡⎦
⎤0，1
2. 答案：⎣⎡⎦⎤0，1
2
[大题综合练——迁移贯通]
1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．
(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．
2．已知集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫y ⎪
⎪
y ＝x 2－3
2x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．
解：y ＝x 2－32
x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋7
16，
∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴7
16≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y ⎪⎪
716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．
∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤
716，解得m ≥34或m ≤－3
4
， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭
⎫3
4，＋∞. 3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围． (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围． 解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意． 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得4
3≤a ≤2.
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
3a ≤2，
a ≥4，无解． 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅， 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }， 则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤2
3或a ≥4.
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }， 则a ≤2或a ≥4
3，即a <0.
当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.
综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，2
3∪[4，＋∞)．
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
本节主要包括2个知识点： 1.简单的逻辑联结词；
2.全称量词与存在量词.。