椭圆的简单几何性质 课件

=
=
(1 -2 )2 + (1 -2 )2
(1 -2 )2 ·(1 + 2 ) = 1 + 2 ·|x1-x2|
1 + 2 · (1 + 2 )2 -41 2 ,
+
或者|AB|=
1 - 2 -


=
=
(1 -2 )2 + (1 -2 )2
2
+ (1 -2 )2 =
+ 2 = 1( > > 0)
2
2
a
b
a
b
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-b≤x≤b,-a≤y≤a
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
顶点
B1(0,-b),B2(0,b)
B1(-b,0),B2(b,0)
焦点的位置
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
2
解:(1)设椭圆方程为 2

+
2

2
= 1( > >
2
0)或 2

> 0).

2
由已知得 2a=6,则 a=3.∵e= = , ∴ = 2.
∴b2=a2-c2=9-4=5.
2
∴椭圆的标准方程为 9
2
+
5

3
=1
2
或
9
2
+
5
= 1.
+
2

2
= 1( >
(2)由题意知焦点在 x 轴上,
e 越接近 1,c 越接近 a,从而 b=
2 - 2 越小,因此椭圆越扁;反之
e 越接近于 0,c 就越接近于 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近
于圆;当且仅当 a=b 时,c=0,这时椭圆的两个焦点重合,图形变成圆,
方程为 x2+y2=a2.
2.直线与椭圆的位置关系
剖析:(1)直线与椭圆有三种位置关系:
3.弦长公式
剖析:设直线方程为 y=kx+m(k∈R,且
2

2
= 1( > >
2
0)或 2

+
2

2
2
k≠0),椭圆方程为 2

= 1( > > 0),
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=
=
(1 -2 )2 + (1 + -2 -)2
椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的范围、对称性、离心率等简单几何性质.
2.会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形,并能根据几何性质
解决一些简单问题.
3.理解直线与椭圆的位置关系.
椭圆的简单几何性质
焦点的位
焦点在 x 轴上
置
焦点在 y 轴上
图形
x2 y2
y2 x2
标准方程
+ 2 = 1( > > 0)
(组),再求解.注意e的取值范围:0<e<1.
直线与椭圆的位置关系
【例4】 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)
为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直
线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理
2
解:设椭圆的方程为 2

+
2

2
= 1( > > 0).
如题图所示,则有 F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0),直线 PF1 的方程
为 x=-c,
2
代入方程 2

+
2

2
= 1, 得y=±
2


∵PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB.
, 故
2

-,

2
.
由.
解:(1)依题意,可设椭圆 C
2
的方程为 2

+
2

且可知其左焦点为F'(-2,0),
= 2,
从而有
2 = || + |'| = 3 + 5 = 8,
= 2,
解得
又因为a2=b2+c2,所以 b2=12.
= 4.
2
2
故椭圆 C 的方程为 + = 1.
16
12
2
= 1( > > 0),
可得
||
9
4+1
= 4, 从而t=±2 13.
由于±2 13∉[-4 3, 4 3],
故不存在符合题意的直线 l.
反思直线与椭圆之间有相交、相切、相离三种位置关系,即直线与
椭圆有两个不同的公共点、唯一一个公共点、没有公共点.相应地,
直线方程与椭圆方程联立组成的方程组有两组解、一组解、无解,
消元后的一元二次方程对应的有Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况.
因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10 和 2b=2,两个焦点坐
标分别是 F1(0,-2 6), 2(0,2 6), 椭圆的四个顶点坐标分别是
A1(0,-5),A2(0,5),B1(-1,0)和 B2(1,0).
反思已知椭圆的方程讨论其几何性质时,应先把椭圆的方程化成标
准形式,找准a与b,然后正确地写出其相关性质.在求顶点坐标和焦
18
9
= 1.
反思利用性质求椭圆的标准方程,通常采用待定系数法,而其关键
是根据已知条件去构造关于参数的方程(组),利用解方程(组)求得
参数.
求椭圆的离心率
【例3】 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭
圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率.
长轴长=|A1A2|,短轴长=|B1B2|
F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
2c
对称轴:坐标轴,对称中心:原点(0,0)
c
e= (0 < < 1)
a
【做一做1】 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2
倍,则m的值为(
)
1
2
1
4
A. B. 2C. D. 4
易错点 忽视焦点位置的不确定性致错
【例
2
2
5】 若椭圆
+
+8
9
= 1 的离心率 =
错解:由已知 a =k+8,b =9,又 e=
2
故e =
2
2
2
=
2 -
2
2
2
=
-1
+8
1
4


=
1
,
2
1
, 则的值为______.
2
= , 解得k=4.
错因分析:错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性,应分焦点
2
2
解得
=
1
4
5
4
综上所述,k=4 或 k=− .
答案:4 或−
5
4
-1
+8
1
4
= ,
由方程求椭圆的几何性质
【例1】 求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长及其焦点和顶点
坐标.
分析:本题可先把椭圆方程化成标准方程,再确定a,b,c的值,从而
求得椭圆的几何性质.
2
解:把已知方程化成标准方程为 + 2
25
a=5,b=1,故 c=
= 1, 焦点在y 轴上,则
25-1 = 2 6.
|1 | ||


∴
=
,∴
= , ∴ = 2.
|1 2 | || 2
∴b =4c ,∴a -c =4c ,∴
2
2
1
2
∴e2= 5 , 即e=
2
2
2
2
1
5
= .
5
5
, 故椭圆的离心率为 .
5
5
反思求椭圆的离心率的常见思路:一是先求a,c,再计算e;二是依据
条件中的关系,结合有关知识和a,b,c的关系,先构造关于e的方程
点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴.
利用椭圆的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
2
(1)长轴长是6, 离心率是 ;
3
(2)焦点在x轴上,且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,
焦距为6.
分析:因为要求的是椭圆的标准方程,所以可以先设出椭圆的标
准方程,再利用待定系数法求参数a,b,c.
①相交——直线与椭圆有两个不同的公共点;
②相切——直线与椭圆有且只有一个公共点;
③相离——直线与椭圆没有公共点.
(2)直线与椭圆的位置关系的判断:
我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与椭圆的公共点
问题,而直线与椭圆的公共点问题,又可以转化为它们的方程所组
成的方程组的解的问题,而它们的方程所组成的方程组的解的问题
3
2
(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y= + .
由
3
2
2
2
+
16 12
= + ,
= 1,
得3x2+3tx+t2-12=0.
因为直线 l 与椭圆 C 有公共点,
所以 Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0.
解得-4 3≤t≤4 3.
由直线 OA 与 l 的距离 d=4,
又可以转化为一元二次方程解的问题,一元二次方程解的问题可以
通过判别式来判断,因此,直线和椭圆的位置关系,可由相应的一元
二次方程的判别式来判断.判断方法:将直线方程和椭圆的方程联
立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若Δ>0,则直线与椭圆
相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
1+
1
|y1-y2|
2·

1
1 + 2 · (1 + 2 )2 -41 2 .

当 k=0 时,直线平行于 x 轴,
所以|AB|=|x1-x2|.
知识拓展由弦长公式可知,求弦长时可以不求出交点坐标,只需先
将方程联立,整理成关于x(或y)的一元二次方程,再根据一元二次方
程根与系数的关系求出x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2),代入弦长公式即可.
解析:椭圆 x +my =1 的标准形式为 x +
2
2
2
2
1

= 1.
1
1
∵焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍,∴ = 4, ∴ = 4.
答案:C
【做一做2】 椭圆x2+4y2=1的离心率为(
A.
3 3
2 2
B. C. D.
2
4
2
3
解析:化为标准形式 x +
2
则 a =1,b =
在 x 轴和 y 轴上两种情况进行讨论.
正解:(1)若焦点在 x 轴上,即 k+8>9 时,
a =k+8,b =9,e =2222
2
2 -
2
=
1-
9
= ,
2
=
解得 k=4.
(2)若焦点在 y 轴上,
即 0<k+8<9 时,a2=9,b2=k+8,
e2=
2 -2
= 2

5
k=− .
4
2
2
1
3
= ,∴ =
3
.
3
答案:B
【做一做4】 椭圆16x2+9y2=144的焦点坐标是
坐标是
.
答案:(0,± 7) (3,0), (−3,0), (0,4), (0, −4)
,顶点
2
2
1.椭圆的离心率
剖析:椭圆的焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率.记作 e=

= . 由a>c>0,知 0<e<1.
2
答案:A
2
1 2
,
4
=
2
1
4
= 1,
3

, 故e=
4

=
3
.
2
)
【做一做3】 已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离
心率为(
)
1
3
A. B.
3
2 1
C. D.
3
2
2
解析:化为标准方程为
∵a =
2

, 2
2
=

,∴
3
2

2
2 =
+
2

3

.∴
6
= 1( > 0).
2
则可设椭圆的标准方程为 2

+
2

2
= 1( > > 0),
且两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).
如图所示,△A1F2A2 为等腰直角三角形,OF2 为斜边 A1A2 的中线,
且|OF2|=c,|A1A2|=2b,
故 c=b=3.
于是 a2=b2+c2=18.
2
2
因此,所求椭圆的标准方程为 +