高中数学选修2-1课时作业： 空间角和距离(附解析)

1．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)、(2,2,4)，则二面角的
余弦值为() A．15
6B．－
15
6C．
15
3D．以上都不对
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为
() A．－10
5B．
10
5C．－
15
5D．
15
5
2题 3题 4题
3.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()
A．
10
10B．
1
5C．
310
10D．
3
5
4．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()
A．
3
6B．
6
6C．
3
3 D．
6
3
5．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则P(1,2，－2)到α的距离为()
A．
5
5B．5C．25 D．
5
10
6．如下图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝217cm，则这个二面角的度数为____.
6题 7题
7．如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为____.
8.(2018·全国卷Ⅰ理，18)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
9.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD．
(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
1．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)、(2,2,4)，则二面角的余弦值为( )
A ．156
B ．－156
C ．153
D ．以上都不对 [解析] ∵(0，－1，3)·(2，2，4)1＋94＋4＋16
＝156，∴这个二面角的余弦值为156或－156． 2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A ．－105 B ．105 C ．－155 D ．155
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)、B (2,2,0)、B 1(2,2,2)、E (0,2,1)． ∴BD →＝(－2，－2,0)、BB 1→＝(0,0,2)、BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
∵n ⊥BD →，n ⊥BB 1→，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝02z ＝0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－y z ＝0．令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)． ∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE →|
＝105，设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝105． 2题 3题 4题
3. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 是AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )
A ．1010
B ．15
C ．31010
D ．35
[解析] 如图，连接A 1B ，则A 1B ∥D 1C ，
∴∠A 1BE 为异面直线BE 与CD 1所成的角．在△A 1BE 中，由余弦定理得cos ∠A 1BE ＝
31010
，故选C ． 4．正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝AB ＝2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为( )
A ．36
B ．66
C ．33
D ．63 [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ．由题意得A (1，－1,0)、C (－1,1,0)、B (1,1,0)、S (0,0，2)．∴CA →＝(2，－2,0)，BS →＝(－1，－1，2)，CS →＝(1，－1，2)．设平面SBC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BS →＝0n ·
CS →＝0，∴⎩⎨⎧－x －y ＋2z ＝0x －y ＋2z ＝0，令z ＝2，得x ＝0，y ＝2，∴n ＝(0,2，2)． 设直线AC 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC →〉|＝
4＝33．答案C
5．已知向量n ＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A (－1,2,1)在α内，则 P (1,2，－2)到α的距离为( )
A ．55
B ．5
C ．25
D ．510
[解析] ∵PA →＝(－2,0,3)，∴点P 到平面α的距离为d ＝|PA →·n ||n |＝|－4＋3|5
＝55．答案A 6．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，CD ＝217cm ，则这个二面角的度数为____.
[解析] 设〈AC →，BD →〉＝θ，∵CA ⊥AB ，AB ⊥BD ，∴AC →·AB →＝BD →·AB →＝0，〈CA →，BD →〉＝180°－θ，
∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos(180°－θ)．
∴(217)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos θ)，∴cos θ＝12
，∴θ＝60°．因此，所求二面角的度数为60°． 7．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为____.
[解析] 解法一：取AC 、A 1C 1的中点M 、M 1，连接MM 1、BM .过D 作DN ∥BM ，则容易证明DN ⊥平面AA 1C 1C ．连接AN ，则∠DAN 就是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角．
在Rt △DAN 中，sin ∠DAN ＝ND AD ＝322＝64
． 解法二：取AC 、A 1C 1中点O 、E ，则OB ⊥AC ，OE ⊥平面ABC ，以O 为原点OA 、OB 、OE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 在正三角形ABC 中，BM ＝32AB ＝32，∴A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎫0，32，1，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，1， 又平面AA 1C 1C 的法向量为e ＝(0,1,0)，设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈AD →，e 〉|＝|AD →·e ||AD →|·|e
|
＝64．
解法三：设BA →＝b ，BC →＝a ，BD →＝c ，由条件知a ·b ＝12
，a ·c ＝0，b ·c ＝0，又AD →＝BD →－BA →＝c －b ， 平面AA 1C 1C 的法向量BM →＝12(a ＋b )．设直线AD 与平面AA 1C 1C 成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD →，BM →〉|＝|AD →·BM →||AD →|·|BM →|
， ∵AD →·BM →＝(c －b )·12(a ＋b )＝12a ·c －12a ·b ＋12b ·c －12|b |2＝－34
．|AD →|2＝(c －b )2＝|c |2＋|b |2－2b ·c ＝2，∴|AD →|＝2， |BM →|2＝14(a ＋b )2＝14(|a |2＋|b |2＋2a ·b )＝34，∴|BM →|＝32，∴sin θ＝64
． 8.(2018·全国卷Ⅰ理，18)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .
(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；
(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
[解析] (1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，PF ∩EF ＝F ，所以BF ⊥平面PEF ．
又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ．
(2)解：如图，作PH ⊥EF ，垂足为H ．
由(1)得，PH ⊥平面ABFD ．
以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz ．
由(1)可得，DE ⊥PE ．
又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝3．
又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF ．所以PH ＝
32，EH ＝32． 则H (0,0,0)，P ⎝⎛⎭
⎫0，0，32，D ⎝⎛⎭⎫－1，－32，0， DP →＝⎝⎛⎭⎫1，32，32，HP →＝⎝
⎛⎭⎫0，0，32． 又HP →为平面ABFD 的法向量，
设DP 与平面ABFD 所成角为θ，
则sin θ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪HP →·DP →|HP →||DP →|＝343＝34．所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34．
(1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．
[解析] (1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ＝2，由余弦定理得BD ＝3，
从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD ．
又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ．
所以BD ⊥平面PAD ．故PA ⊥BD ．
(2)如图，以D 为坐标原点，设AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐 标系D －xyz .则A (1,0,0), B (0，3，0)，C (－1 ，3，0)，P (0,0,1)．
AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1,0,0).BC →＝(－1,0,0)，
设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·
PB →＝0.即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0. 因此可取n ＝(3，1，3)．
设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·
BC →＝0. 可取m ＝(0，－1，－3)．
cos 〈m ，n 〉＝－4
27＝－277． 故二面角A －PB －C 的余弦值为－277
．。