人教课标版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》名师课件

2
所以双曲线的离心率为e=2.
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
★▲ 重难点
点拨:此题易得出错误答案 e 2 3 或2 ,其原因是未注意到0 a b
3
从而离心率e
2
而2 3
3
2 应舍去.
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探究三:直线与双曲线的位置关系
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探究三:直线与双曲线的位置关系
★▲ 重难点
例4.过点P(8,1)的直线与双曲线 x2 4y2 4 相交于A,B两点,且P是线段AB 的中点,求直线AB的方程.
解法二:设A、B两点坐标分别为 (x, y)、(16 x,2 y) ,
∵A、B为双曲线上的点
∴ x2 4y2 4
(a, 0)
无
有两条
e c 0 e 1
a
e c e 1
a
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重难点突破
1.双曲线的渐进线
（1）对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性质,画双曲线时应 先画出它的渐近线．
（2）要明确双曲线的渐近线是哪两条直线,过双曲线实轴的两个 端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线,它们围成一个矩 形,其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
★▲ 重难点
例3.设双曲线
x2 9
y2 16
1
的半焦距为2c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且
原点到直线l的距离为 3 c ,求双曲线的离心率.
4
解:由直线l过(a,0),(0,b)两点,得直线l方程为bx ay ab 0
由点到l的距离为 3 c ,得
4
ab 3 c a2 b2 4
将 b c2 a2 代入,平方后整理得: 16( a2 )2 16 a2 3 0
令
a2 c2
x
,
解得 x
3或 4
1 4
c2
c2
由 e c 得e a
1 x
,故
e
23 3
或2
因为
0ab
,故 e
c a
a2 b2 a
1
b2 a2
x2 a2
0
为渐近线的双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
(
0)
的渐近线方程为
y2 b2
(
x y 0 ab
.
0)
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
★▲ 重难点
例2.求与双曲线x92
y2 16
1
的有共同的渐近线,且经过点 M (3, 2
3)
的双曲线方程.
顶点 A1 3,0, A2 3,0 ,焦点 F1 13,0 , F2 13,0
实轴上 2a 6 ,虚轴长2b
y2
1中将1换为0,得 x2
y2
a 0
3
94
94
即 x y 0为双曲线的渐进线方程.
32
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
同理可得双曲线为
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的弦长
P1P2
1
1 k2
y1 y2
1
1 k2
y1 y2 2 4 y1 y2 k 0
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探究三:直线与双曲线的位置关系
★▲ 重难点
3.双曲线的通径
过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦长 叫做双曲线的通径,通径长为 2b2 .
求得
a
6, b
8
即双曲线方程为
x2 36
y2 64
1
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
★▲ 重难点
变式引申:已知双曲线的渐近线方程为y 4 x ,并且焦点都在圆
3
x2 y2 100 上,求双曲线方程.
(2)当焦点在y轴上时,设双曲线方程为
a2 b2 c2 100
（2）从数的角度看:利用方程研究,双曲线上的点坐标满足
x2 a2
1
y2 b2
0
故 x2 a2 ,即 x a或x a ;说明双曲线在不等式 x a或x a 所表
示的平面区域内.
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活动二
（1）从形的角度看:双曲线与椭圆一样,既是中心对称图形又是轴对 称图形. （2）从数的角度看:在双曲线方程中,以-x,-y代替x,y方程不变,因此双 曲线是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图象;也是以原点为对称中心的 中心对称图形,这个对称中心叫做双曲线的中心.
知识梳理
标准方程
椭圆
x2 a2
+ y2 b2
1a 0,b 0
双曲线
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b 0
图形
轴长 范围 对称性
顶点 渐近线 离心率
长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a,虚轴长2b
x a, y b
| x | a, y R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点
(a,0),(0, b)
★▲ 重难点
1.设直线方程为
y
kx
m
,双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y kx m
联立方程 x2 a2
y2 b2
1
,消去y得 b2 a2k2
x2 2a2mkx a2m2 a2b2 0
（1）当 b2 a2k2 0 ,即 k b 时,直线与渐近线平行,则直线与
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究一:双曲线的几何性质
活动三
（1）双曲线与它的对称轴的两个交点叫做 双曲线的顶点,双曲线
x2 a2
y2 b2
1 a
0, b
0 的顶点是(a,0)
,这两个顶点之间的线段叫做双
曲线的实轴,它的长等于2a,同时在另一条对称轴上作点 B1 0,b, B2 0,b
y2 a2
x2 b2
1
由题设得
a b
4 3
求得 a 8,b 6 即双曲线方程为
y2 64
x2 36
1
综上所述,所求双曲线方程为
x2 36
y2 64
1
或
y2 64
x2 36
1.
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
★▲ 重难点
解法二
:因为双曲线的渐进线方程为
2k 1 k2
x2
2 1 k2
1
1
S OAB S OAD S OBD 2 ( x1 x2 ) 2 x1 x2 2
即
2k 1 k 2
2
1
8 k
2
8
,解得 k
0或k
6 2
又 2 k 2且k 1
k 0或k 6 , OAB的面积为 2. 2
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a
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探究三:直线与双曲线的位置关系
★▲ 重难点
例4.过点P(8,1)的直线与双曲线 x2 4y2 4 相交于A,B两点,且P是线段AB 的中点,求直线AB的方程.
解法一:设A、B两点坐标分别为 (x1, y1)、(x2, y2 ),则
x12 4 y12 4
解:（1）曲线C与直线l有两个不同的交点.
则方程组
x2 y2 1 y kx 1 有两个不同的解,整理得
(1
k
2
)
x
2
2kx
2
0
此方程必有两个不等的实根 x1、x2
1 k 2
4k
2
0
8(1
k
2
)
0
解得 2 k 2且k 1 ,即曲线C与直线l有两个不同交点.
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★▲ 重难点
2.弦长问题
设直线方程为
y kx m ,双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
则 P1P2 x1 x2 2 y1 y2 2
x1
x2
2
1
y1 x1
y2 x2
2
x1 x2 2 1 k 2
1 k 2 x1 x2
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
★▲ 重难点
变式引申:已知双曲线的渐近线方程为y 4 x ,并且焦点都在圆
3
x2 y2 100 上,求双曲线方程.
解法一 : (1)当焦点在x轴上时,设双曲线方程为
而渐近线方程为y
4 3
x
,则
b a
4 3
.
x2 a2
y2 b2
1
又由焦点在圆 x2 y2 100上知c=10,所以a2 b2 c2 100
y
b a
x
（3）双曲线的半焦距c与实半轴长a的比叫做双曲线的离心率,它的范围
是 (1, ) .
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
★▲ 重难点
例1.求双曲线 x2 y2 1 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
94
离心率和渐近线方程.
解: a2 9,b2 4, c2 a2 b2 13, a 3,b 2, c 13
（3）“渐近”两字的含义:当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直 线逐渐接近,接近的程度是无限的．
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（4）根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法:把标准方程中
线段B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,a,b分别是双曲线的实半轴 长和虚半轴长.
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活动三
（2）双曲线
x2 a2
y2 b2
1 a
0, b
0各支向外延伸时,与两条直线逐渐接近,
但用不相交,我们把这两条直线称为双曲新的渐近线,方程为
探究三:直线与双曲线的位置关系
★▲ 重难点
例5.已知曲线 C:x2 y2 1 及直线l: y kx 1
（2）若l与C交于A、B两点,O是原点,且△OAB的面积为 2 ,求实数k的
取值.
解:（2）设交点A(x1, y1)、B(x2, y2) ,直线l与y轴交于点D(0,-1).
x1 x1
x2
a
双曲线只有一个公共点.
（2）当 b2 a2k2 0 ,即k b 时
a
0 直线与双曲线相交 直线与双曲线有两个公共点
=0 直线与双曲线相切 直线与双曲线有一个公共点 0 直线与双曲线相离 直线与双曲线没有公共点
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探究三:直线与双曲线的位置关系
①
x22 4 y22 4
②
①－②得:(x1 x2 )(x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
∵P是线段AB的中点
∴ x1 x2 16, y1 y2 2
∴
y1 x1
y2 x2
x1 x2 4( y1 y2 )
2
即直线AB的斜率为2
∴直线的方程为 2x y 15 0
2.2.2 双曲线的简单几何性质
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1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1 a
0, b
0
焦点 F1 c,0, F2 c,0 ,其中c2 a2 b2
2.
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1 a
0, b
0
焦点F1 0, c, F2 0,c ,其中c2 a2 b2
①
(16 x)2 4(2 y)2 4 ②
①－②得: 32x 162 16 y 16 0 整理得:2x y 15 0 所以直线AB的方程为 2x y 15 0
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探究三:直线与双曲线的位置关系
★▲ 重难点
例5.已知曲线C: x2 y2 1 及直线l: y kx 1 （1）若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
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3.直线 l : y kx b与圆锥曲线C : F x, y 0 相交于
A(x1,y1),B(x2,y2 ) 两点,则:
AB 1 k2 x1 x2 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
或 AB
1
1 k2
y1 y2
1
1 k2
y1 y2 2 4 y1 y2
y
4 3
x
所以设双曲线方程为
x2 32
y2 42
(
0)
又焦点在圆 x2 y2 100 上,所以 c2 100
则 (3 )2 (4 )2 100 .解得 4
所以双曲线方程为
x2 32
y2 42
4,即 x2 y2 1 36 64
.
点拨:双曲线与其渐近线的关系是:
以 x
a
双曲线
y b
解:设所求双曲线方程为 x2 y2 ( 0),且过点M,即
(3)2 (2
3)2
9 1
16
9
16 4
x2
故双曲线方程为
y2
1
9 16 4
点拨:与双曲线
x2 a2
y2 b2
1 有共同渐近线的双曲线方程可设为
x2 a2
y2 b2
( 0)
的形式.当
的值为正时,焦点在x轴上;为
负数时,焦点在y轴上.
检测下预习效果:
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探究一:双曲线的几何性质
活动一
根据双曲线的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0,研究它的性质:
（1）从形的角度看:双曲线位于直线 x a 和 x a 的外侧,即在不
等式 x a 与 x a 所表示的平面区域内.