陕西省安康市2023-2024学年高二下学期期末质量联考数学试卷(含解析)

2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（
）
A.4种
B.8种
C.12种
D.16种
2.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.C.
D.3.曲线在点处的切线的方程为（ ）A.
B.C.
D.4.已知两个变量与的对应关系如下表：
1
35796
18
39
53
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A.29
B.30
C.31
D.32
5.的展开式中含有项的系数为（
）
A.10
B.-10
C.20
D.-20
6.某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对米试题的概率为
，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为22
136x y m m
-=y =y x =2y x =±12
y x =±
()3
1
3f x x x
=-()()1,1f 1080x y +-=1080x y --=860x y --=860
x y +-=y x x y
m
y x ˆ 5.750.25y
x =+m =()
5
2x x -7x ,A B A B A 12B 2
3
（ ）
A.
B. C. D.7.3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ）
A.332
B.360
C.432
D.488
8.已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ）
A.1
B.
C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.有最小值但没有最大值
B.对于任意的，恒有
C.仅有一个零点
D.有两个极值点
10.已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）A.数列可能为常数列B.数列可能为等比数列C.若，则
D.若，记是数列的前项积，则的最大值为11.袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（
）
A.若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B.若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C.若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
29495979
l 2:2(0)C y px p =>l x ,M A C AM 12p 2
p
()3
e
x x f x =()f x (),0x ∞∈-()0f x <()f x ()f x {}n a 1n a ≠±112
2,1
n n n n n n a a a a b a ++++==-{}n a {}n b 12a =20
21
1
2
2
i i b ==-∑15
2a =-n S 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n n S 3
S 216
625
X ()125
D X =
23
D.若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角
的正弦值为__________.
13.已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为
__________，内切圆的半径为__________.
14.设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列是等差数列，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.（15分）
某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表：年龄
5
2
3
6
9141120
33343025
2123
把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意.
（1）完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？
k ()010,k P k k ∈Z ……6k =k P l ()1,2,1n = α()1,1,1m =
l α12,F F 22
2:1(0)9x y C b b +=>52,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C C 12PF F P e x a y -=Q ln y x a =+PQ a ={}n a 1352118,2a a a a a ++=={}n a 1
4
n n n b a a +={}n b n n S [)
20,30[)
30,40[)
40,50[]
50,60(]0,70(]70,80(]80,90(]
90,100[)20,40[]40,600.1α=2
χ
满意
不满意合计
青年中年合计
（2）从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望.
附：.0.10.050.010.0050.0012.706
3.841
6.635
7.879
10.828
17.（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有两个零点，求的取值范围.18.（17分）
学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为
.（1）求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率.
（2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：
分值
10
20
20
20
30
答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对
题的概率为
，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率.19.（17分）
若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”.（1）若是“反转函数”，求的取值范围.X X ()()()()
2
2
(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-=
=+++++++α
x α
()e 3x
f x a x =-()f x ()f x a 12
,,,,A B C D E A
B
C
D
E
A 23,,
B
C
D 12
E 1
3
()f x ()()()()10,11,,10x x f x f x ∞⎡⎤
⎛⎫∈⋃+--<
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()f x ()2
1
f x ax x
=-
a
（2）（i ）证明：为“反转函数”.（ii ）设，证明：.()1
ln g x x x =+
*n ∈N ()11112
ln 123413
n n ++++
>++
2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考
数学参考答案
1.B 共有种不同的选法.
2.A 由题可知双曲线的渐近线方程为.
3.B 由题可知，所以，又，所以切线的方程为，即.
4.A 由表格数据及回归方程易知，解得.
5.B
，故的展开式中含有项的系数为-10.
6.C 设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，则
，
所以.7.C 先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空，则不同的排法种数为.8.A 易知，当直线与相切时，设的方程为，与联立，
可得，则，解得，故直线的斜
率的最大值为1.
9.BC ，当时，单调递增，当，时，单调递减，故有最大值但没有最小值，错误.当时，
，令，得，所以函数仅有一个零点，仅有一个极值点，B ，C 正
确，D 错误.
10.AB D 由，可得，则.若448+=22
136x y m m
-=y =()2
21
9f x x x
=+
'()110f '=()1312f =-=()2101y x -=-1080x y --=1165, 5.7550.255
m
x y +==⨯+=
29m =()
2
3
2
375C ()10x
x x -=-()
5
2x x -7x A 1A B 2A B ()()()()12122112
,,,3323
P A P A P B A P B A ====∣∣()()()()()112221125
32339
P B P B
A P A P
B A P A =+=⨯+⨯=∣∣2
3A 3
3A 2
3
2
334A A A 432=,02p M ⎛⎫-
⎪⎝⎭AM C AM 2p y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭22y px =(
)
2222
2
204
k p k x p k x +-+=()22
24Δ20p k p k ⎡⎤=--=⎣⎦1k =±AM ()()2
2333e e
x x
x x x x f x '--==(),3x ∞∈-()()0,f x f x '…(3x ∈)∞+()()0,f x f x '<()f x A (),0x ∞∈-()0f x <()0f x =0x =()f x ()f x 112n n n a a a +++=121n n a a +=+1112
2
2124
221111
n n n n n n n n a a a b b a a a +++++++=
===---+
，则，所以，故数列可能为常数列，若，则数列为等比数列，故A，B正确；若，则，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，故
，故C错误；若，则，故当时，，当时，，故的最大值为，D正确.
11.BCD每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为
，故A错误；，则，故B正确；记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则，
，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
与平面
. 13.；将的坐标代入，可得，所以
.因为
的周长为，设内切圆的半径为，所
以，解得.
1
2
a=-
1
0,0
n
b b
==2
n
a=-{}n a12
a≠-{}n b
1
2
a=
1
4
b={}n b
()20
20
22
1
412
24
12
i
i
b
=
-
==-
-
∑15
2
a=-
1
1
7
b=3
n…
1
1
n
b
>3
n>
1
1
n
b
<
n
S
3
S
3
5
3
2
3
32162
C
55625
⎛⎫
⨯=
⎪
⎝⎭
3
10,
5
X B⎛⎫
~ ⎪
⎝⎭
()3312
101
555
D X⎛⎫
=⨯⨯-=
⎪
⎝⎭
A B()
3
2
3
32
C
55
P A⎛⎫
=⨯
⎪
⎝⎭
()3
1
2
32
C
55
P AB⎛⎫
=⨯
⎪
⎝⎭
()()
()
2
3
P AB
P B A
P A
==
∣
10
10
32
C
55
k k
k
k
P
-
⎛⎫⎛⎫
=⋅
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭k
P1
1
,
,
k k
k k
P P
P P
+
-
⎧
⎨
⎩
…
…
1019
1
1010
10111
1
1010
3232
C C,
5555
3232
C C,
5555
k k k k
k k
k k k k
k k
-+-
+
---
-
⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅⋅
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎨
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⋅⋅
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎩
…
…
()()()
()()()
10!10!
23,
!10!1!9!
10!10!
32,
!10!1!11!
k k k k
k k k k
⎧
⋅⋅
⎪-+-
⎪
⎨
⎪⋅⋅
⎪---
⎩
…
…
()()
()
21310,
3112,
k k
k k
⎧+-
⎪
⎨
-
⎪⎩
…
…
2833
55
k
……
k∈Z6
k=k k P
cos,
n m
n m
n m
⋅
===
lα
2
3
2
3
5
2,
3
P⎛⎫
⎪
⎝⎭
22
2
1
9
x y
b
+=25
b=C
2
3
= 12
12
1510
,
233
PF F
S PF F
=⨯⨯=
2310
⨯+=12
PF F
r
110
10
23
r⨯⨯=
2
3
r=
14.-1 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，所以曲线上的点到直线
.
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点.
，解得，所以.
得到切点，点到直线的距离，解得或3.
当时，与相交，不符合题意.当时，与不相交，符合题意.
15.解：（1）设等差数列的公差为，解得.
，可得，解得.
所以.（2）
，
所以.16.解：（1）
满意
不满意合计青年7030100中年6040100合计
130
70
200
零假设为：消费者对新产品的满意度与年龄无关.
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可以认为成立，即认为消费者对新产品的满意度与年龄无关.
（2）的所有可能取值为服从超几何分布，
e x a y -=ln y x a =+y x =e
x a
y -=y x =y x =e x a
y -=()00,P x y 0e ,e 1x a x a y --=='0x a =0e 1a a y -+==(),1P a P y x =d 1a =-3a =3
e
x y -=y x =1a =-1
e
x y +=y x ={}n a 1353,318d a a a a ++==36a =212a a =()3322a d a d -=-2d =()3232n a a n n =+-=()14111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++12311111111223111n n n S b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
0H 2
2
0.1200(70403060) 2.198 2.70610010013070
x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯0.1α=0H 0H X 0,1,2,3,X
则.，
，
所以的分布列为
0123
.17.解：（1）由题意知函数的定义域为.当时，恒成立，在上单调递减；当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题可知，则，
又因为时，时，恰有两个零点，所以，解得，故的取值范围为（）.18.解：（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，
则，()()335
3
8
C C 0,1,2,3C k k P X k k -===()()03123535
3388C C C C 5150,1C 28C 28P X P X ======()()21303535
3388C C C C 1512,3C 56C 56
P X P X ======X X P
52815281556156
()51515190123282856568
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=()f x (),e 3x
f x a ='-R 0a …()0f x '<()f x R 0a >()0f x '<3
ln x a
<()0f x '>3ln x a
>()f x 3,ln
a ∞⎛⎫- ⎪⎝
⎭3ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
0a …()f x R 0a >()f x 3,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭3ln ,a ∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
0a >3ln min
333()ln e 3ln 33ln a f x f a a a a ⎛⎫
==-=- ⎪⎝⎭
x ∞→+(),f x x ∞∞→+→-()(),f x f x ∞→+3
33ln
0a
-<3e a <
a 30,e
A B ()2
3
23
1111C 12222
P A ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，
所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为.（2）若乙在中只抽到了一题，则获得一等奖的概率；若乙在中抽到了两题，则获得一等奖的概率若乙在中抽到了三题，则获得一等奖的概率故乙获得一等奖的概率.19.（1）解：当时，则，即，则，所以
，故.当时，则，即则，所以
，故.综上，的取值范围为.
（2）证明：（i ）令，，故在上单调递减，所以当时，，所以，故，当时，，所以，故，()1111
12228
P AB ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭()()()1
1
8142
P AB P B
A P A ===∣,,
B
C
D 1313
5C 2111C 32330
P =⨯⨯⨯=,,B C D 23235C 1111
;C 22340
P =⨯⨯⨯=
,,B C D 3333
5C 1111,C 22280
P =⨯⨯⨯=12317
240
P P P P =++=
()0,1x ∈()1f x f x ⎛⎫>
⎪
⎝⎭
2
21a ax x x x ->-2211a x x x x ⎛⎫⎛
⎫->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1
1a x x
<-+12a -…()1,x ∞∈+()1f x f x ⎛⎫<
⎪
⎝⎭
221,a ax x x x -<-2211a x x x x ⎛⎫⎛
⎫-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1
1a x x
<-+12a -…a 1,2
∞⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
()()()1111ln ln 2ln ,0,h x g x g x x x x x x x x x ∞⎛⎫=-=+--=-+∈+
⎪
⎝⎭
()2
22
21(1)10x h x x x x
--=--='…()h x ()0,∞+()0,1x ∈()()10h x h >=()10g x g x ⎛⎫->
⎪⎝⎭()()110x g x g x ⎡⎤
⎛⎫--< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦()1,x ∞∈+()()10h x h <=()10g x g x ⎛⎫-<
⎪⎝⎭()()110x g x g x ⎡⎤⎛⎫--< ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣
⎦
所以为“反转函数”.（ii ）由（i ）可知，当时，，即，所以，则对任意的.故，化简可得.()1ln g x x x
=+()1,x ∞∈+12ln 0x x x -+<12ln x x x
<-221121232ln 11
n n n n n n n n n n n n n n ++++<-=<=++++()*21,ln 1ln 31n n n n ⎡⎤∈+-<⎣
⎦+N ()11112ln2ln1ln3ln2ln 1ln 23413
n n n ⎡⎤++++>-+-+++-⎣⎦+ ()11112ln 123413n n ++++>++。