高中数学 1.1.1变化率问题课时作业含解析新人教A版选修2

第一章 1.1 1.1.1
请同学们认真完成练案[1]
A 级 基础巩固
一、选择题
1.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( B )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
[解析] 平均变化率为1－3
3－1
＝－1.
2．函数y ＝2x 在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为( D ) A ．x 0＋Δx B ．1＋Δx C ．2＋Δx
D ．2
[解析] 由题意，可得平均变化率 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2(x 0＋Δx )－2x 0
Δx ＝2，
故选D ．
3．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上的点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则Δy
Δx
的值为( D )
A ．4
B ．4x
C ．4＋2(Δx )2
D ．4＋2Δx
[解析] Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2×1
2Δx
＝4＋2Δx .
4．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( B )
A ．v 1>v 2>v 3
B ．v 3>v 2>v 1
C ．v 2>v 1>v 3
D ．v 2>v 3>v 1 [解析] v 1＝
s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0
＝k OA ，v 2＝
s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1
＝k AB ，v 3＝
s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2
＝k BC ，由图象知
k OA <k AB <k BC ，选B ．
二、填空题
5．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为__2__. [解析] 函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为 f (m )－f (1)m －1＝m 2－1
m －1
＝m ＋1＝3，∴m ＝2.
6．(2020·阿拉善左旗校级期末)若函数y ＝x 2－1的图象上的点A (1,0)，则当Δx ＝0.1时的平均变化率是__2.1__.
[解析] Δy ＝(1＋Δx )2－1－(12－1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy
Δx
＝2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，平均变化率为2.1. 三、解答题
7．已知某质点的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)存在函数关系s ＝2t 2＋2t ，求： (1)该质点在前3 s 内的平均速度； (2)该质点在2 s 到3 s 内的平均速度． [解析] (1)∵Δs ＝s (3)－s (0)＝24，Δt ＝3， ∴Δs Δt ＝24
3
＝8(m/s)． (2)∵Δs ＝s (3)－s (2)＝12，Δt ＝1， ∴Δs Δt ＝12
1
＝12(m/s)． B 级 素养提升
一、选择题
1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1
x 中，平均变
化率不是最大的是( ACD )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平
均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx
＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选ACD ． 2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则对Δy
Δx
下述表达式错误的是( ACD )
A ．4
B ．4＋2Δx
C ．4＋2(Δx )2
D ．4x
[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2＋4·Δx ，所以Δy
Δx ＝2Δx ＋4.
二、填空题
3．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是__11.93__米/秒．(最后结果精确到0.01)
[解析] Δs ＝100－50＝50，Δt ＝9.69－5.50＝4.19，v ＝
Δs
Δt
≈11.93米/秒． 4．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s ＝s 1(t )，s ＝s 2(t )，图象如图，则在时间段[0，t 0]内甲的平均速度__小于__乙的平均速度．(填“大于”“小于”或“等于”)
[解析] 由图象知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，
即v
甲<
v 乙．
三、解答题
5．求出函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，若Δx 都为1
3，则在哪一点附近平均
变化率最大？
[解析] 在x ＝1附近的平均变化率 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；
在x ＝2附近的平均变化率
k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22
Δx
＝4＋Δx ；
在x ＝3附近的平均变化率
k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .
若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝13
3，
k 3＝6＋13＝19
3
.
∵k 1＜k 2＜k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．
6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？
[解析] 山路从A 到B 高度的平均变化率为k AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝1
5，山路从B 到C 高度的平
均变化率为k BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝1
2
，∴k BC >k AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。