16.1二次根式(第2课时)课件人教版数学八年级下册

导入新知
思考：二次根式 a 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么 a 的取值范围是什么？
当a≥0时， a 是非负数，即 a ≥0.
合作探究
性质一 二次根式的性质
性质1：二次根式的双重非负性.
表示： a （a≥0），二次根式的被开方数非负 a ≥0，二次根式的值非负
目前已经学习过的非负数有以下3种形式： a2 、∣a∣、 a .
（3）数字因数是 1 或 -1 时，“1”常省略不写.
目前已经学习过的非负数有以下3种形式：
x-2≠0
3．计算：(黄冈中考)( 3 ) ＋1＝_4___； （1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.
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2
（2）公式法：根据数学相关的公式（面积或体积等）列出代数式.
了解并掌握二次根式的性质。
5．(临安区中考)化简 （－2）2 的结果是( C ) A．－2 B．±2 C．2 D．4
6．若 （3－b）2 ＝b－3，则 b 的取值范围为( C ) A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
7．若 a＜1，化简 （a－1）2 －1＝( D ) A．a－2 B．2－a
C．a D．－a
8．计算：
4 解：原式＝2
了解并掌握二次根式的性质。
平方等于 4 的非负数，所以 ( 4 ) =4. 同理 ( 2 ) 、 、( 0 ) 性质一 二次根式的性质
（5）除法运算通常用分数线.
2
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
2 ( 1 )2
2
（1）代数式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等关系符号，单独一个数或者字母也是代数式； 当a≥0时， 是非负数，即 ≥0.
(1) 25 ＝__5__；
(2)
（－53）2
5 ＝__3_______；
(3) （－π）2 ＝__π__．
9．化简：
(1) （－301）2 － （－300）2 ；
解：原式＝1
(2)(－ 6 )2－ 36 ＋ （－0.01）2 .
解：原式＝0.01
知识点3：代数式
10．下列式子中，属于代数式的有( A ) ①0；②x；③x＋2；④2x；⑤x＝2；⑥x＞2；⑦ x2＋1 ；⑧x≠2. A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
( 4 ) = 4 ( 2 ) = 2 3 = （a≥0）
( 0 )=2 0
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数化成假分数.
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
的取值范围是什么？
目前已经学习过的非负数有以下3种形式：
4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个 （1）数与字母相乘或字母与字母相乘时，通常将乘号写 作“ · ”或者省略不写.
2.代数式的书写规定： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘时，通常将乘号写 作“ · ”或者省略不写. （2）数与字母相乘时，通常把数写在前面. （3）数字因数是 1 或 -1 时，“1”常省略不写. （4）带分数与字母相乘时，要将带分数化成假分数. （5）除法运算通常用分数线.
3.列代数式的常用方法： （1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.
利用二次根式的性质3：
利用二次根式的性质解决具体问题 。
判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号下的数（式子）满足≥0的条件，本题还要注意分式分母不为0这个条件.
根据算术平方根的意义填空：
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数化成假分数.
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.
（3）数字因数是 1 或 -1 时，“1”常省略不写.
解：（1）设圆的半径为 r，则
2.用代数式表示： （1）面积为 S 的圆的半径； （2）面积为 S 且两条邻边的比为 3：2 的长方形的长和宽.
解：（2）设长方形的长为 3x，则宽为 2x.
归纳新知
性质
二次根式的双重非负性
( a )2 a （a≥0）
二次 根式
代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、 乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字 母连接起来的式子叫做代数式.
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计算：（1）
（2）
（1）面积为 S 的圆的半径；
性质一 二次根式的性质
4．计算下列各题：
(1)2( 7 )2; (2)(3 3 )2；
解：原式＝14 解：原式＝27
(3)(－ 0.4 )2;
(4)(－2
1 2
)2.
解：原式＝0.4 解：原式＝2
知识点 2： a2 ＝|a|＝a－（aa（≥a0＜）0）
（1）代数式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等关系符号，单独一个数或者字母也是代数式；
1 （2）二次根式有意义的条件是什么？ 2
( 2x－1 ) ＝____2_x_－___1_____(x≥ ). （1）
=
2 利用二次根式的性质解决具体问题 。
计算：（1）
（2）
利用二次根式的性质解决具体问题 。
1 x-2≠0
分别是2、 、0的算术平方根，所以 ( 解：（2）设长方形的长为 3x，则宽为 2x.
3 （2）同时利用二次根式的性质2和(ab)2=a2b2
第2课时 二次根式的性质
2 ) 2=2，(
3
1 3
)
2=
1 3
，(
0)2
=0. 4 解：原式＝2
(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)
性质2：( a )2 a （a≥0）. 文字表述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数 本身.
（2）
2.计算：（1） (3)2 解：（1）
（2）(3 1 )2
3
（2）
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新知二 代数式
1.定义：用基本运算Βιβλιοθήκη 号把数或表示数的字母连接起来的式子
叫做代数式.
(基本运算包括加、减、 乘、除、乘方和开方)
（1）代数式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等关 系符号，单独一个数或者字母也是代数式； （2）将两个代数式用以上关系符号连接起来的式子叫做关 系式，等式和不等式都是关系式.
解：原式＝ （a－1a）2 ＋ （a＋1a）2 ，∵0 ＜a＜1，∴a－1a ＜0，a＋1a ＞0，∴原式＝1a － a＋a＋1a ＝2a
根据算术平方根的意义填空： 表示： （a≥0），二次根式的被开方数非负
x-2≠0 （2）二次根式有意义的条件是什么？ 解：（1）设圆的半径为 r，则
( 1 ) 2 2 判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号下的数（式子）满足≥0的条件，本题还要注意分式分母不为0这个2条件.
定义：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
课堂练习
知识点 1：( a )2＝a(a≥0)
1．计算( 15 )2 的结果是( B
)
A．225 B．15
C．±15 D．－15
2．把
1 44
写成一个正数的平方的形式是(
A．(212 )2
B．(
17 4
)2
C．(±212 )2
D．(±
17 4
)2
B)
（1）数与字母相乘或字母与字母相乘时，通常将乘号写 作“ · ”或者省略不写.
17．化简下列各式：
(1)(－13 3 )2＋ （－53）2 ；
解：原式＝2
(2) 42 － （－2）2 ＋(－3 5 )2－(－ 7 )2.
解：原式＝40
18．已知 a＋b＝－ 2 ，求代数式(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a 的值．
解：当 a＋b＝－ 2 时，原式＝a2－2a＋1＋2ab＋b2＋2a＝a2＋2ab＋ b2＋1＝(a＋b)2＋1＝(－ 2 )2＋1＝3
＋ （b－1）2 － （a－b）2 的结果是( A )
A．－2 B．0 C．－2a D．2b
14．在实数范围内分解因式：x3－2x＝x_(_x_－___2__)_(_x_＋___2__)______．
15．已知 3＜x＜5，则化简 （x－3）2 ＋ （x－5）2 的结果是_2___．
16．规定一种新运算：a※b＝a2－2b，如 1※2 ＝－3，则 2 ※(－2)＝__6__．
例 化简：
（1） 16 = 4 （2） (5)2 = 5
利用二次根式的性质3：
-a（a<0） a（a≥0）
巩固新知
1.计算：（1） ( 5 )2
3
（2） (2 3)2
x-2≠0
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.
=
=
=
=
利用二次根式的性质解决具体问题 。
根据算术平方根的意义填空：
4 解：原式＝2
的数或式子大于等于 0.
C. x 3 中被开方的式子在实数范围内不能总是满足大
于等于 0.
2.当 x 为何值时， x 3 在实数范围内有意义？ x2
解：由题意可知： x+3≥0 ，解得 x≥-3且x≠2
x-2≠0
当x≥-3且x≠2时，
在实数范围内有意义.
判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号下 的数（式子）满足≥0的条件，本题还要注意分式分 母不为0这个条件.
性质3：
-a（a<0）
a（a≥0）
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
例2 计算： ( a )2 a （a≥0）
（1）( 1.5)2 = 1.5 （2）(2 5)2 = 22× =4×5=20
(ab)2=a2b2
（1）利用二次根式的性质2：( a )2 a（a≥0） （2）同时利用二次根式的性质2和(ab)2=a2b2
（2）公式法：根据数学相关的公式（面积或体积等）列 出代数式. （3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律 用代数式表示出来.
巩固新知
1.列代数式：一个三角形的面积为 S，底边长为 a，则底边上 的高为多少？
2.用代数式表示： （1）面积为 S 的圆的半径； （2）面积为 S 且两条邻边的比为 2：3 的长方形的长和宽.
11．下列计算正确的是( D )
A． a2 ＝a B．－ （a－2）2 ＝a－2 C．( 6 )2＝±6 D．( x＋y )2＝x＋y
12．下列式子：①a＋b＝c；②5 2 ；③a＞0；
④an.其中属于代数式的是( B )
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
13．(2020·攀枝花)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简 （a＋1）2
是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 4 的非负数，所以 =4.
性质2：
（a≥0）.
目前已经学习过的非负数有以下3种形式：
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
计算：（1）
（2）
判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号下的数（式子）满足≥0的条件，本题还要注意分式分母不为0这个条件.
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第16章 二次根式 16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
学习目标
1.了解并掌握二次根式的性质。 2.利用二次根式的性质解决具体问题 。
回顾旧知
（1）什么叫二次根式？如何表示？
（2）二次根式有意义的条件是什么？
D
21
x3
21
B. 21 中被开方的数小于 0，不满足二次根式中被开方
19．已知 a，b，c 为△ ABC 的三边长，试化简： （a＋b＋c）2 ＋ （a－b－c）2 ＋ （b－a－c）2 .
解：由题意得 a＋b＋c＞0，a－b－c＜0，b－a－c＜0，∴原式＝a＋b ＋c－(a－b－c)－(b－a－c)＝a＋b＋3c
20．已知 0＜a＜1，化简下列代数式 （a＋a1）2－4 ＋ （a－a1）2＋4 .