四川省内江市威远中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

四川省内江市威远中学校2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量(1,)a m =r ，(,2)b m =r ，若//a b r r
，则实数m 等于（ ）
A B
C D ．0
2．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,105,45a b c a B C ===o o ，则c =（ ）
A ．1
B ．2
C
D 3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，
E 为AD 的中点，则EB =u u u v
A ．3144
AB AC -u u u
v u u u v
B ．1344
AB AC -u u u
v u u u v
C ．3144+AB AC u u u v u u u v
D ．1344
+AB AC u u u v u u u v 4．已知π1cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭（ ）
A ．325-
B ．325
C ．23
25- D ．2325
5．已知非零向量a r ，b r 满足2a b =r r ，向量a r 在向量b r ，则a r 与b r 夹
角的余弦值为（ ）
A B C D ．23
6．把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把所得曲线
向右平移
3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像，则()f x =（ ）
A ．7sin 212x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
C ．7sin 212x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
D ．sin 212x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
7．已知函数()3sin 44sin 436f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，设()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，则
02tan 43x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
等于（ ）
A ．43
-
B ．3
4- C ．34
D ．43
8．在ABC V 中，3BC BD =u u u r u u u r ，2CF FA =u u u r u u u r
，E 是AB 的中点，EF 与AD 交于点P ，若AP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r
，则m n +=（ ） A ．37
B ．47
C ．67
D ．1
二、多选题
9．对于ABC V ，下列说法正确的有（ ）
A ．若81060a c
B ===o ，，，则符合条件的AB
C V 有两个 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形
D ．若sin2sin2A B =，则ABC V 为等腰三角形 10．下列式子化简正确的是（ ）
A ．1sin8sin52sin82cos522
︒︒-︒︒= B
sin15︒-︒=C ．1sin15sin30sin758
︒︒︒=
D
．
1tan151tan15-︒
=+︒
11．点O 在ABC V 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A ．若0BC OA AC O
B AB O
C ++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
，则点O 是ABC V 的重心
B ．若0||||||||A
C AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫
⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是ABC V 的内心 C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则点O 是ABC V 的外心
D ．若O 为三角形ABC 外心，且2BO BA BC =+u u u r u u u r u u u r
，则B 为ABC V 的垂心
12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH
的边长为
P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A ．2BG AH =u u u r u u u r
B ．AD u u u r 在AB u u u r
向量上的投影向量为1AB ⎫⎪⎪⎝⎭
u u u r
C
．若(1OA FC PA ED ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则P 为ED 的中点
D ．若P 在线段BC 上，且AP xAB yAH =+u u u r u u u r u u u r
，则x y +
的取值范围为1,2⎡⎣
三、填空题
13．在ABC V 中，已知2a =，则cos cos b C c B += .
14．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且a r 与b r
的夹角为锐角，则
实数λ的取值范围为 ． 15．已知1
tan 2α=
，则
222cos 23sin cos sin cos ααααα
+=- . 16．已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，点E 是边CD 上的一点，设AE u u u r 在AC u u u
r 上的
投影向量为a r
，且满足34a AC =u u u r r ，则CE u u u r 等于 ；延长线段AE 至点F ，使得2AE EF =，
若点H 在线段BC 上，则FH AH ⋅u u u r u u u r
的最小值为 ．
四、解答题
17．已知向量()2cos ,sin a θθ=r ，()1,2b =-r
(1)若//a b r r ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ
-+的值；
(2)若45θ=︒，2a tb -r
r
b +r
垂直，求实数t 的值；
(3)若90θ=︒，求向量a r 在向量b r
上的投影向量的坐标． 18．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量
()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-v v ，且m n ⊥v v .
（1）求角C 的大小；
（2）若c 2a b +的取值范围.
19．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示.若()f x 的图象
上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x 的图象.
(1)求()g x 的解析式；
(2)求()g x 在[]1,2上的单调递减区间.
20．已知函数()2()cos cos 0ωωωω=⋅>f x x x x ，其相邻两个对称中心之间的距离为π
.2
(1)求实数ω的值；
(2)求函数()f x 在ππ
[,]63
x ∈-上的最大值和最小值；
(3)设()()g x f x m =-，若函数()g x 在ππ
[,]63
x ∈-上有两个不同零点，求实数m 的取值范围.
21．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，BCP α∠=，DCQ β∠=且1tan 2α=
，1tan 3
β=.
(1)求αβ+的值；
(2)若向量14
AM AP mAQ =+u u u u r u u u r u u u r ，点M 在APQ △的内部（不含边界），求AM PM ⋅u u u u r u u u u r
的取值范围.
22．如果存在实数对(),a b 使函数()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，那么我们就称函数()f x 为
实数对(),a b 的“正余弦生成函数”，实数对(),a b 为函数()f x 的“生成数对”； (1)求函数()π4cos sin 1226x x f x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
的“生成数对”；
(2)若实数对(),1k -的“正余弦生成函数”()g x 在0x x =处取最大值，其中23k <<，求0t a
n 2x 的
取值范围；
(3)已知实数对()
为函数()πcos 3h x t x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的“生成数对”，试问：是否存在正实数m 使
得函数2
ππ2326m y h x h x m ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的最大值为4？若存在，求出m 的值；若不存在，说
明理由.。