2025届新疆昌吉市玛纳斯县第一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2025届新疆昌吉市玛纳斯县第一中学高三二诊模拟考试数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16
B ．λ＝﹣16
C ．﹣12＜λ＜0
D ．λ＝﹣12
2．已知全集为R ，集合1
2
2(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则()
A B =R （ ）
A ．(0,2)
B ．(1,2]
C ．[0,1]
D ．(0,1]
3．已知函数()sin()(0,0)3
f x x π
ωφωφ=+><<
满足()(),()12
f x f x f π
π+==1，则()12
f π
-
等于（ ）
A ．-
22
B ．
22
C ．-
1
2
D ．
12
4．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）
A ．
22
B 2
C 3
D ．2
5．设02x π≤≤1sin 2sin cos x x x -=-，则（ ） A ．0x π≤≤
B ．
74
4
x π
π≤≤
C ．
54
4
x π
π≤≤
D ．
32
2
x π
π≤≤
6．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则
球O 的表面积为（ ） A ．12π
B ．
21π
2
C ．
41π
4
D ．10π
7．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）
A ．2
B ．10
C ．34
D ．98
8．已知0x >，a x =，22
x
b x =-，ln(1)
c x =+，则（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
9．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点
(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数
C ．()y f x =的图像关于直线2
x π=
对称
D ．()y f x =310．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不修要条件
11．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形 B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
12．函数1
()f x ax x
=+
在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B ．1
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．[1,)+∞
D ．1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若复数Z 满足1
(12)(2)2
i Z i -=-
+，其中i 为虚数单位，则Z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____． 14．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0b a >>）的左、右焦点为1F ，2F
，(P 为双曲线C 上一点，且
123PF PF =，若线段1PF 与双曲线C 交于另一点A ，则2PAF ∆的面积为______. 15．已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m =__________. 16．已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，a b ⊥，则a b +=_________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：
注：年返修率=
年返修台数
年生产台数
（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程ˆˆy bx
a =+中，()12
1(ˆ)()n
i i i n
i i x x y y b x x ==--=-∑∑
12
2
1n
i i i n
i
i x y n x y x n x
==-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆa
y bx =-. 18．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、
数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.
举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；
（ii）求物理原始分在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，，
）
19．（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：
（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说
出你的决策方案并说明理由；
（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望. 20．（12分）在四棱椎P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，5PA =，43PB =，6AB =，PO AD ⊥，O ，E
分别为AD ，AB 中点.60BAD ∠=︒.
（1）求证：AC PE ⊥；
（2）求平面POE 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值.
21．（12分）设函数2
()2ln(1)1
x f x x x =++
+. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；
（Ⅲ）已知数列{}n a 中，11a =，且1(1)(1)1n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
-. 22．（10分）已知函数2
1()ln ()2
f x x ax x a R =-+∈，函数()23
g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1
()()()2
F x f x ag x =+
的单调性； （Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，2
4
4AB k =+，然后计算，可得结果. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ， 联立()
22222
12404y k x k x k x k y x
=-⎧⇒-++=⎨
=⎩（
） 则21222
244
2k x x k k ++==+
， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以122
4
4x x k A p B =++=+. 同理可得2
28MN k =+
， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

2、D 【解析】
对于集合A ,求得函数()1
2
1y x -=-的定义域,再求得补集；对于集合B ,解得一元二次不等式,
再由交集的定义求解即可. 【详解】
{}1
2(1)|1,{|1}R A x y x x y x x A x x -⎧⎫⎧
⎫
⎪⎪==-==
=>∴=≤⎨⎬⎨⎪⎪⎩
⎩⎭, 2{|20}{|(2)0}{|02}B x x x x x x x x =-<=-<=<<,()
(0,1]A B ∴=R .
故选:D 【点睛】
本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式. 3、C 【解析】
设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*
2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
得*2,,2
6
k n k Z n N π
π
φπ=
+-⋅
∈∈，又03
π
φ<<
，则可求出122n k -=，进而可得()12
f π
-
.
【详解】
解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，
所以,nT n N π*
=∈，所以*2,T n n
π
π
ω
=
=
∈N ，
所以*
2,n n ω=∈N ， 又112f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,2
6
k n k Z n N π
π
φπ∴=+-⋅∈∈，因为03
π
φ<<
022
6
3
k n π
π
π
π∴<
+-⋅
<
，
整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，
122n k ∴-=，
()22122
6
6
k k π
π
π
φπ∴=+-+⋅
=
，则26
6
2
n k π
π
π
π⋅
+
=
+
263
n k ππ
π∴
=+ 所以()sin 212126sin 66f n n ππ
πππ⎛⎫-
-- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫
=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎭ 1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫
=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 4、D 【解析】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM
AEM ∆≅∆，
可得PM EM =，
当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 2
2
MF MN =
，故()12
2222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
，即可求解. 【详解】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：
则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，
而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．
此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，2
2
MF MN =
， 故()12
2222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
.
故选：D 【点睛】
本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 5、C 【解析】
将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x ，即可求出x 的范围. 【详解】
221sin 2sin cos 2sin cos x x x x x -=+-2(sin cos )x x =- |sin cos |x x =- sin cos x x =-
sin cos 0,x x ∴- 即sin cos x x 02x π
54
4
x
π
π∴
故选：C 【点睛】
此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目. 6、C 【解析】
取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ −ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P −ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【详解】
如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ −ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足22241
()216
AB R r =+=，所以球O 的
表面积S =4πR 2=41π
4
， 故选：C .
【点睛】
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题. 7、C 【解析】
由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【详解】
由题意运行程序可得：
4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=； 4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=； 4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=；
4i <不成立，此时输出34s =.
故选：C. 【点睛】
本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题. 8、D 【解析】
令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭
，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2
ln(1)2x
x x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案.
【详解】
0x >时，22
x x x >-
令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝
⎭，求导2
1()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >=
∴2
ln(1)2
x x x +>-，
当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，
()11011x g x x x
-'∴=
-=<++ ， 又
()00g =，
()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<，
故2
ln(1)2
x x x x >+>-. 故选：D 【点睛】
本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题. 9、D 【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】
解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；
D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]
1,1t ∈-则()322g t t t =-，()2
26g t t '=-，[1t ∈-，1]，则
33t <<时()0g t '>，13t -<<-或13t >>()0g t '<，即()g t 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在
1,⎛- ⎝
⎭和⎫
⎪⎪⎝⎭上单调递减；
且g =⎝⎭
()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题． 10、B 【解析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：
a ，
b ，
c 为正数，
∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，
若222a b c +>，则22
()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，
，即a b c +>，成立，即必要性成立， 则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 11、C 【解析】
试题分析：画出截面图形如图
显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C ． 考点：平面的基本性质及推论． 12、B 【解析】
对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】
当0a ≤时，函数1
()f x ax x
=+
在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1
()f x ax x =+
的递增区间是a ⎫+∞⎪⎭
， 所以2a ≥，即1
4
a ≥. 故选:B. 【点睛】
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 得答案． 【详解】
()()1112i z 2i 1i 22
-=-+=--，()()()
111i 12i 1i 122z i 12i 12i 12i 2⎛⎫--+--
⎪⎝⎭∴===---+， 则1z i 2=
，z ∴的共轭复数在复平面内对应点的坐标为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭， 故答案为10,.2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题． 14
、
4
【解析】
由已知得213PF PF =即2
2
129PF PF =，()2
2
2
22PF c =-+,可解得c ,
由(P 在双曲线C 上,代入即可求得
双曲线方程,然后求得直线1PF 的方程与双曲线方程联立求得点A 坐标,借助21212PAF PF F AF F S S S ∆∆∆=-,即可解得所求. 【详解】
由已知得213PF PF =，又()2
2
122PF c =++，()2
2
2
22PF c =-+，所以()()2222922c c ⎡⎤++=-+⎣⎦
，解得3c =或2c =
，由
(P 在双曲线C 上，所以22224219a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩或22
224214
a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，所以2236a b ⎧=⎨=⎩或2
222a b ⎧=⎨=⎩（舍去），因此双曲线C 的方程为22136x y -=.又()1 3.0F -，所以线段1PF
的方程为)35
y x =+，与双曲线C 的方程联立消去
x
整理得2
840y -+=
，所以1y =
2y =A
坐标为74⎛- ⎝⎭
，所以2121211662244
PAF PF F AF F S S S ∆∆∆=-=⨯⨯⨯=
. 【点睛】
本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难. 15、8. 【解析】
利用a b ⊥转化得到0a b •=加以计算，得到m . 【详解】
向量4,36,a b m a b =-=⊥（），（），， 则•046308a b m m =-⨯+==，，. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 16、2 【解析】
由a b ⊥得0a b ⋅=，算出1k =，再代入算出a b +即可
. 【详解】
(1,1)a =，(1,)b k =-，a b ⊥，10a b k ∴⋅=-+=，解得：1k =，
()0,2a b ∴+=，则2a b +=.
故答案为：2 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）0.4817ˆ.2y
x =+ 【解析】
（1）先判断得到随机变量ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分
布列和期望．（2）由于去掉2015年的数据后不影响ˆb
的值，可根据表中数据求出ˆb ；然后再根据去掉2015年的数据后所剩数据求出ˆa
即可得到回归直线方程． 【详解】
（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀． 由题意ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
()03
533
81
056
C C P C ξ===，
()12533815
156C C P C ξ===，
()2153383015
25628C C P C ξ====，
()30533
8105
35628
C C P C ξ====． 故ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
156
15
56
1528
528
所以115155150123565628288
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=． （2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb
的值， 所以()8
1821()34.50.487ˆ2()
i i i i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑． 又去掉2015年的数据之后68667x ⨯-=
=，48329
77
y ⨯-== 所以2934.ˆˆ5
6 1.27772
a
y bx =-=-⨯≈， 从而回归方程为：0.4817ˆ.2y
x =+． 【点睛】
求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题． 18、 (1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析. 【解析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足
，结合正态分布的对称性即可求得
内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结
合数学期望的公式即可求解。

【详解】
（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
【点睛】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。

19、（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若采用降低夜间温
度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，()3 4
E X=. 【解析】
（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.
（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.
（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望. 【详解】
（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426⨯⨯--⨯=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为
5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.282
5.2220
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤，
∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424⨯⨯--⨯=千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
X 的可能取值有0，1，2，3，
()31532091
0228C C P X ===；
()2115532035
176C C C P X ===；
()121553205
238C C C P X ===；
()353201
3114
C P X C ===.
所以X 的分布列为
所以()12376381144
E X =⨯
+⨯+⨯=.
【点睛】
本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题. 20、（1）证明见解析；（2）891
91
. 【解析】
（1）证明PO AC ⊥，AC OE ⊥得到AC ⊥平面POE ，得到证明.
（2）以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，平面POE 的一个法向量为(3,1,0)m =-，平面PBD 的一个法向量为(43,4,33)n =-，计算夹角得到答案. 【详解】
（1）因为四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，所以ABD ∆是等边三角形，
又因为O 是AD 的中点，所以BO AD ⊥，又因为6AB =，3AO =，所以33BO =， 又4PO =，43PB =
，222BO PO PB +=，所以PO OB ⊥，
又PO AD ⊥，AD OB O ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥， 又因为ABCD 是菱形，//OE BD ，所以AC OE ⊥，又PO OE O =，
所以AC ⊥平面POE ，所以AC PE ⊥.
（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(0,0,4)P ，(0,33,0)B ，(0,0,0)O ，333,022E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(3,0,0)D -， 设平面POE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则：11140
33
3022m OP z m OE x ⎧⋅==⎪
⎨⋅==⎪⎩
， 据此可得平面POE 的一个法向量为(3,1,0)m =-，
设平面PBD 的一个法向量为()222,,n x y z =
，则：222230
340n BD x n PD x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩
，
据此可得平面PBD
的一个法向量为(43,n =-，
16cos ,91|||291
m n m
n m n ⋅-〈〉=
==-，
平面POE 与平面
PBD .
【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
21、（Ⅰ）函数()f x 在(1-2-+，上单调递减，在(-2)++∞单调递增；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析． 【解析】
（Ⅰ）先求出函数f （x ）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设g （x ）＝f （x ）﹣ax ，先求出函数g （x ）的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调性，从而求出a 的最小值；
（Ⅲ）先求出数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以111a =为首项，1为公差的等差数列，1n a n =，111n a n +=+，问题转化为证明：()()11
1
112123
n ln n n n
++
+++
+
+＜，通过换元法或数学归纳法进行证明即可． 【详解】
解：（Ⅰ） f （x ）的定义域为（﹣1，+∞
），()()
22
42
'1x x f x x ++=
+
，
当12x --＜＜f ′（x ）＜2
，当2x -+＞f ′（
x ）＞2，
所以函数f （x ）在(1
2--+，上单调递减，在()
2-++∞单调递增． （Ⅱ）设()()2211
x g x ln x ax x =++-+，
则()()
()()()
2
222
2
1211
42
1
'(
1)21
11x x x x g x a a a x x x +++-++=
-=
-=--+-+++， 因为x ≥2，故21
1(
1)01
x ---≤+＜， （ⅰ）当a ≥1时，1﹣a ≤2，g ′（x ）≤2，所以g （x ）在[2，+∞）单调递减，
而g （2）＝2，所以对所有的x ≥2，g （x ）≤2，即f （x ）≤ax ；
（ⅱ）当1＜a ＜1时，2＜1﹣a ＜1
，若201a x a ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭，，则g ′（x ）＞2，g （x ）单调递增，
而g （2）＝2
，所以当201a x a ⎛-∈ -⎝⎭
，时，g （x ）＞2，即f （x ）＞ax ；
（ⅲ）当a ≤1时，1﹣a ≥1，g ′（x ）＞2，所以g （x ）在[2，+∞）单调递增， 而g （2）＝2，所以对所有的x ＞2，g （x ）＞2，即f （x ）＞ax ； 综上，a 的最小值为1．
（Ⅲ）由（1﹣a n +1）（1+a n ）＝1得，a n ﹣a n +1＝a n •a n +1，由a 1＝1得，a n ≠2，
所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1
11a =为首项，1为公差的等差数列， 故
1
n n a =，1n a n =，111
n a n +=+， 1
12n n n n
a S lna a ++-＞
⇔()()111
112123n ln n n n
++
++++
+＜， 由（Ⅱ）知a ＝1时，()2
2121
x ln x x x ++≤+，x ＞2，
即()()2
121x ln x x x ++
+＜，x ＞2． 法一：令1x n
=，得()11121n ln n n n n +++＜， 即()1111121ln n lnn n n n
⎛⎫+-+
- ⎪+⎝⎭＜ 因为()()()1111 112121n
k n ln k lnk ln n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥
++⎝⎭⎣⎦
∑， 所以()()111
112123
n ln n n n
++
+++
+
+＜， 故1
12n n n n
a S lna a ++-＞
． 法二：1
12n n n n a S lna a ++-＞
⇔()()
111112321n
ln n n n +++
++++＞
下面用数学归纳法证明．
（1）当n ＝1时，令x ＝1代入()()2121x ln x x x +++＜，即得1124
ln +＞，不等式成立 （1）假设n ＝k （k ∈N *，k ≥1）时，不等式成立， 即()()
111112321k ln k k k +++++++＞， 则n ＝k +1时，()()1111111231211
k ln k k k k k +++++++++++＞， 令11x k =+代入()()
2121x ln x x x +++＜， 得()()()()()()()()
1211211111212211211212k k k k ln ln k ln k ln k k k k k k k k k k ++++++++++++++++++++＞＞ ()()()()
()()21
12221222k k k ln k ln k k k k +++=++=+++++， 即：()()
111121223122ln k k k k +++++++++＞， 由（1）（1）可知不等式()()111112321n ln n n n +
++++++＞对任何n ∈N *都成立． 故112n n n n
a S lna a ++-＞． 考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n 项和；5、不等式的证明．
22、 (1) 故函数()y F x =在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)114. 【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数
()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x
'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．
试题解析：
（I ）由题意得()()()()2113ln 1222
F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x
-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；
当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1x a
>. 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；
当0a >时，函数()y F x =在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. （II ）由题意知0t ≥. ()2111ax x f x ax x x
-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增．
不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，
所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤ ()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，
即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()21ln 1232
h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()h x 在[]
1,2上单调递减. 所以()()1120h x ax t x
'=
-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x
=-++-，[]2,1a ∈--， 则()()max 122120H a H x t x =-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立. 故max 1212t x x ⎛⎫-≥+
⎪⎝⎭， 而12y x x
=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92
.
由
9
21
2
t-≥，解得
11
4
t≥.
故实数t的最小值为11 4
．。