中考7.黄冈市近五年中考函数与几何综合压轴题

§7.黄冈市五年中考压轴题
（函数与几何的动态综合应用）
24．（14分）（2017•黄冈）已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，四边形OABC 是矩形，OA ＝4，
OC ＝3．动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P 、点Q 的运动时间为t （s ）． （1）当t ＝1 s 时，求经过点O 、P 、A 三点的抛物线的解析式； （2）当t ＝2 s 时，求tan ∠QPA 的值；
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，且BM ＝2AM 时，求t （s ）的值；
（4）连接CQ ，当点P 、Q 在运动过程中，记△CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的
函数关系式．
24.（14分）（2016•黄冈）如图，抛物线y=-21x 2+23x+2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点. 设点P 的坐标为(m, 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q.
(1)求点A ，点B ，点C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；
(3)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形； (4)在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
24．（14分）（2015•黄冈）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在边OA 上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE 的长及经过O ，D ，C 三点抛物线的解析式；
（2）一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，DP=DQ ；
（3）若点N 在（1）中抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．
25．（13分）（2014•黄冈）已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
24．（15分）（2013•黄冈）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，
），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O 的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．
参考答案2017年：
2016年：
24. 解：（1）当x=0时，y=-21x 2+23x+2=2, ∴C （0，2）. ………………………………………1分 当y=0时，－x 2+x+2=0 解得x 1=－1，x 2=4.
∴A(-1, 0)，B(4, 0). ………………………………………………3分
（2）∵点D 与点C 关于x 轴对称，
∴D(0, -2). ……………………………………………………….4分 设直线BD 为y=kx-2,
把B(4, 0)代入，得0=4k-2
∴k=21. ∴BD 的解析式为：y=2
1x-2. ………………………………………6分 （3）∵P(m, 0),
∴M(m, m-2)，Q(-2
1m 2+23m+2) 若四边形CQMD 为平行四边形，∵QM ∥CD ， ∴QM=CD=4 当P 在线段OB 上运动时，
QM=(-21m 2+23m+2)-（21m-2）= -21m 2+m+4=4, ………………….8分 解得 m=0（不合题意，舍去），m=2.
∴m=2. ………………………………………………………………10分 （4）设点Q 的坐标为（m, -21m 2+2
3m +2）， BQ 2
=(m-4)2
+( -21
m 2+23m +2)2, BQ 2=m 2+［(-21m 2+2
3m +2)+2］2, BD 2=20. ①当以点B 为直角顶点时，则有DQ 2
= BQ 2
+ BD 2
.
∴m 2+［(-21m 2+23m +2)+2］2= (m-4)2+( -21
m 2+2
3m +2)2+20 解得m 1=3，m 2=4.
∴点Q 的坐标为（4, 0）（舍去），（3，2）. …………………..11分 ②当以D 点为直角顶点时，则有DQ 2= DQ 2+ BD 2.
∴(m-4)2+( -21m 2+23m +2)2= m 2+［(-21m 2+2
3m +2)+2］2+20 解得m 1= -1，m 2=8.
∴点Q 的坐标为（-1, 0），（8，-18）. 即所求点Q 的坐标为（3，2），（-1, 0），（8，-18）. ……………14分
2015年：
24．解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ∴在Rt △COE 中，OE===3，
设AD=m ，则DE=BD=4﹣m ， ∵OE=3， ∴AE=5﹣3=2，
在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2
+AE 2
=DE 2
，即m 2
+22
=（4﹣m ）2
，解得m=， ∴D （﹣，﹣5），
∵C （﹣4，0），O （0，0）， ∴设过O 、D 、C 三点的抛物线为y=ax （x+4），
∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，
∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；
（2）∵CP=2t，∴BP=5﹣2t，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），∴BP=EQ，
∴5﹣2t=t，∴t=；
（3）∵抛物线的对称为直线x=﹣2，∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为=﹣1，线段CM中点横坐标为，∵EN，CM互相平分，∴=﹣1，解得m=2，
又M点在抛物线上，∴y=×22+×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=﹣3，∵EN，CM互相平分，∴=﹣3，解得m=﹣6，
又∵M点在抛物线上，∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，）．
，解得x﹣
y=﹣x=﹣
，﹣
OP=
×﹣t=
×﹣
t=
S=×
S=×﹣）
S=×；
S=
，，）三点坐解得：
x x+
×
S=×=
PQ=
中考第二轮复习精讲精练
﹣x+（
y=，
，解得：
y=x（
），代入上式，得：×
，
代入上式得：×﹣t=（均不合题意，舍去）
11。