等价无穷小的替换公式大全

等价无穷小的替换公式大全
1.当x→0时，有以下等价无穷小替换公式：
(a) sinx ≈ x；
(b) tanx ≈ x；
(c) arcsinx ≈ x；
(d) arctanx ≈ x；
(e)e^x-1≈x；
(f) ln(1+x) ≈ x；
(g) (1+ x)^n - 1 ≈ nx；
(h) 1 - cosx ≈ 1/2 x^2；
(i) ln(1- x) ≈ -x；
(j) sqrt(1+x) ≈ 1/2 x；
(k) sqrt(1-x) ≈ 1/2 x；
(l) 1 - sqrt(1- x) ≈ 1/4 x^2
2.当x→∞时，有以下等价无穷小替换公式：
(a)e^x≈1+x；
(b) ln(1+x) ≈ x；
(c) sinx ≈ x；
(d) tanx ≈ x；
(e) arcsinx ≈ x；
(f) arctanx ≈ x；
(g) sqrt(x^2 + a^2) ≈ x；
(h) sqrt(x^2 - a^2) ≈ x；
(i)x^(1/n)≈1；
(j) ln(x + sqrt(x^2 + a^2)) ≈ ln(2x)
3.当x→a时，以下是一些常用的等价无穷小替换公式：
(a) sinx ≈ sin(a) + (x-a)cos(a)；
(b) cosx ≈ cos(a) - (x-a)sin(a)；
(c) tanx ≈ tan(a) + (x-a)sec^2(a)；
(d) cotx ≈ cot(a) - (x-a)csc^2(a)；
(e) arctanx ≈ arctan(a) + (x-a)/(1+a^2)；
(f) arcsinx ≈ arcsin(a) + (x-a)/sqrt(1-a^2)；
(g) arccosx ≈ arccos(a) - (x-a)/sqrt(1-a^2)；
(h) ln(x) ≈ ln(a) + (x-a)/a；
(i)e^x≈e^a+(x-a)e^a
这些等价无穷小替换公式在求解极限问题中非常有用，可以将原来难以处理的表达式转化为更简单的形式。

但需要注意的是，这些等价无穷小替换公式并非绝对准确，只是一个近似。

在具体应用中，需要根据具体情况灵活运用，并注意误差的控制。