等比数列经典例题 百度文库

一、等比数列选择题
1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=，245
4a a +=，则n n S =a （ ）
A ．14n -
B ．41n -
C ．12n -
D ．21n -
2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．
50
3
B ．
507
C ．
100
7
D ．
200
7
3．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1
B ．2±
C ．2
D ．2-
4．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}
2
n a 的前n 项和为n T ，若2
(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．()3,+∞
B ．()1,3-
C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．91,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
5．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n
a n N n
∈的最小值为（ ） A ．
16
25
B ．
49
C ．
12
D ．1
6．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
7．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）
A ．有最大项，有最小项
B ．有最大项，无最小项
C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项
8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
13a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则
n a 的表达式为（ ）
A ．12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．1
12n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．23n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．1
23n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则2020
2021
ln ln a a =
（ ） A ．1:3
B ．3:1
C ．3:5
D ．5:3
10．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1
4，且a n ＝1n n
b b +，则b 2020＝（ ）
A ．22017
B ．22018
C ．22019
D ．2202011．题目文件丢失！
12．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989
B ．46656
C ．216
D ．36
13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（ ） A ．2-
B ．2-或1
C ．1
D ．2
14．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．2020
15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12
(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于
9
10
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4
2
5S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2
B ．1或2
C ．-2或2
D ．-2或1或2
17．正项等比数列{}n a 的公比是1
3
，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14
B ．13
C ．12
D ．11
18．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则3
3
S a =（ ） A ．2
B ．4
C ．
74 D ．
158
19．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3n
n S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列
B ．{}n a 是等差数列
C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列
D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列
20．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180
B ．160
C ．210
D ．250
二、多选题21．题目文件丢失！
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158
S =
C ．当1
2
p =
时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+
23．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，13511121
4
a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．531
4
S =
C ．公比4q =或
14
D ．14a =或
14
24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *
==∈，数列12(1)n n n n a +⎧
⎫
+⎨
⎬+⎩
⎭的
前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =
B ．2n
n S =
C ．38
n T ≥
D ．1
2
n T <
25．已知集合{
}*
21,A x x n n N
==-∈，{}*
2,n
B x x n N ==∈将A
B 的所有元素从
小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25
B ．26
C ．27
D ．28
26．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正
确的是（ ）
A ．数列{}2n a 是等比数列
B ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增数列
C ．数列{}2log n a 是等差数列
D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比
数列
27．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列{}n S n +为等比数列
B ．数列{}n a 的通项公式为1
21n n a -=-
C ．数列{}1n a +为等比数列
D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---
28．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设213
2
n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若1
4q =-
，则n n T S > D ．若3
4
q =-
，则n n T S > 29．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 30．已知数列{a n }，{
b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1
＜1
B ．1＜b 1
C ．S 2n ＜T 2n
D ．S 2n ≥T 2n
31．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{
}
22
1n n a a ++为等比数列
D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）
32．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，781a a >，
871
01
a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．791a a <
C ．n T 的最大值为7T
D ．n S 的最大值为7S
33．已知等比数列{a n}的公比2 3
q=-，等差数列{b n}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，
则以下结论正确的有（）
A．a9•a10＜0 B．a9＞a10C．b10＞0 D．b9＞b10 34．对于数列{}n a，若存在数列{}n b满足
1
n n
n
b a
a
=-（*
n∈N），则称数列{}n b是
{}
n
a的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）
A．若数列{}n a是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B．若31
n
a n
=-，则其“倒差数列”有最大值；
C．若31
n
a n
=-，则其“倒差数列”有最小值；
D．若
1
1
2
n
n
a
⎛⎫
=-- ⎪
⎝⎭
，则其“倒差数列”有最大值.
35．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（）
A．m＝3 B．7
67
173
a=⨯
C．()1
313j
ij
a i-
=-⨯D．()()
1
3131
4
n
S n n
=+-
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一、等比数列选择题
1．D
【分析】
根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果.
【详解】
因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=
，2454a a +=，
所以2
4135
1
452
2
q a a a a =++==， 因此()()11
1
1111112
21112n n
n
n n n n n n
a q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪
--⎝⎭=
=
==--⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：D. 2．D 【分析】
设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】
5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，
由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则(
)3
11212
a --＝50，
解得a 1＝507
，所以牛主人应偿还粟的量为2
3120027a a ==
故选：D 3．B 【分析】
根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】
由等比中项性质可得：
2144a =⨯=，
所以2a =±， 故选：B 4．D 【分析】
由2n n S a =-利用11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，1
2为公比的等比
数列，进而得到{}
2
n a 是以1为首项，
1
4
为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0n
n n S T λ-->恒成立，转化为(
)
()
321(1)
2
10n
n
n
λ---+>对
*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.
【详解】
当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，
两式相减得11
2
n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，
1
2
为公比的等比数列. 因为11
2
n n a a -=， 所以22114
n n a a -=.
又2
11a =，所以{}
2
n a 是以1为首项，
1
4
为公比的等比数列， 所以1112211212n
n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414
n
n
n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，
由2(1)0n n n
S T λ-->，得2
14141(1)10234n n
n
λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以2
21131(1)1022n n
n λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 所以2
11131(1)110222n n n n
λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦.
又*n N ∈，所以1102n
⎛⎫-> ⎪⎝⎭
，
所以1131(1)1022n n
n
λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
即(
)
()
321(1)
2
10n
n
n
λ---+>对*n N ∈恒成立，
当n 为偶数时，()()321210n
n
λ--+>，
所以()()3213216
632121
21
n
n
n n n λ-+-<==-
+++， 令6
321
n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，
所以2269
3215
λb <=-
=+； 当n 为奇数时，(
)()
321210n
n
λ-++>，
所以()()3213216
632121
21
n
n
n n n λ-+--<==-
+++，
所以16
332121
λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.
综上，实数λ的取值范围是91,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 5．D 【分析】
首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较
()*n
a n N n
∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】
在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，
所以21344a a a =+，即2
44q q =+，解得2q
，
所以1
2
n n
a ，所以1
2n n a n n
-=
， 1
2111n n a n n a n n
++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*
n a n N n
∈取得最小值1，
故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 6．C
【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则111
11122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭
，
所以121n n a =-，故10
1011
211023
a ==-. 故选：C 【点睛】
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 7．B 【分析】
首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比41
4141328a q a -=
==，所以12
q =， 则其通项公式为：1
16113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪
⎝⎭
，
所以()
()
561154
2
2
12
622
2
22
n
n +n n n n n T a a
a ---==⨯==，
令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 8．D 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a a
S a q a q q
-=-
⋅+---，若是等比数列,则
11301a a q -=-，可得2
3
q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q
当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-， 当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，(
)1111111n n
n a q a a
q S q
q q
-==-
⋅+---， 所以11113311n n a a
S a q a q q
-=-
⋅+---， 要使数列{}13n S a -为等比数列，则需
11301a a q -=-，解得2
3
q =. 21
3a a =，2
123a ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
，
故2
1
1
11222333n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
.
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-⋅+---是等比数列，则11301a
a q
-=-，即可求得q 的值，通项即可求出. 9．A 【分析】
由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得2020
2021
ln ln a a ． 【详解】
{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，
所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，
22021201820213()1a a a q ==，2
202020192020()1a a a q
==，即322021a q =，122020a q =，
所以
12
20203
2021
2
1ln ln ln 123ln 3ln ln 2
q
a q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．A 【分析】
根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为
2020
1
b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1
n n n
b a b +=
，所以3201920202020
24
12320182019123
201820191
b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()
()123
201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
22
22019
201910101010
1010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==
所以20192020
12b b =，又114
b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】
结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，
（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.
11．无
12．B 【分析】
第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】
设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q =
所以{}n a 的通项公式：1
66
6n n n a -=⨯=
到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 13．A 【分析】
由416a =-，314S a =+列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案. 【详解】 因为314S a =+， 所以234+=a a ，
所以()2
13
1416
a q q a q ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 解得2q =-， 故选：A . 14．C 【分析】
根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2
10111a =，再利用
11,01a q ><<求解即可.
【详解】
根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，
因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，
所以2
12021220201011...1a a a a a ====，
因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，
所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关
键是根据定义和等比数列性质得出2
10111a =以及11,01a q ><<进行判断.
15．C 【分析】
依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】
第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19
的区间，长度和为2
9；第
三次操作去掉四个长度为
127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为1
3
n 的区间，长度和为1
23
n n -，
于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1
122213933n
n n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
， 由题意，90
2131n
⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg
1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11
5.679lg3lg 20.47710.3010
n ≥
=≈--，
又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 16．C 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，
41
21
422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()
()4142
422
2111115111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 17．B 【分析】
根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】
解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以2
31a =. 所以31a =，2
11a q ∴=，因为1
3
q =
，所以19a =.
因此()3131131a q S q
-==-.
故选：B 18．C 【分析】
利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】
解：因为等比数列的公比为2，
所以313
12311(12)
7712244
a S a a a a --===⋅， 故选：C 19．D 【分析】
根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】
由题意2n ≥时，11
1(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，
1
3n n
a a +=(2)n ≥， 113a S
b ==+，
若
212333a a b
⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，
11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求
34
23
a a a a ==，还必须满足
3
212
a a a a =． 20．C 【分析】
首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】
因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2
155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C
二、多选题 21．无
22．ABC 【分析】
由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】
由122(2)n n S S p n --=≥，得22
p a =
. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，
又
2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44
1
11521812
S -
==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为212
1122
m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；
38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫
+=+=⋅ ⎪⎝⎭
，
则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能
力. 23．BD 【分析】
设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得11121
14
a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
因为2
153
1a a a ==，2311a a q == ，
所以511151351515111111121
11114
a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1
142.
a q ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩， 当14a =，12q =时，5514131
21412
S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；
当11
4
a =
，2q 时，531
4
S =
，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314
S =. 故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121
14
a a ++=，进而解方程计算. 24．ACD 【分析】
在1+14,()n n a S a n N *
==∈中，令1n =，则A 易判断；由3
2122S a a =+=，B 易判断；
令12(1)n n n b n n a ++=
+，13
8
b =，
2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，裂项求和3182
n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】
解：由1+14,()n n a S a n N *
==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；
32212822S a a =+==≠，故B 错误；
+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，
1
2n n
a a +=， 所以2n ≥时，2422n n
n a -=⋅=，
令12(1)n n n b n n a ++=
+，12123
(11)8
b a +==+，
2n ≥时，()()11
12211
(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，
113
8
T b ==，2n ≥时，
()()2334
113111111111
8223232422122122
n n n n T n n n ++=+-+-+
+
-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，31
82
n T ≤<，故CD 正确；
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n
n a n a S S n -=⎧
=⎨-≥⎩递推数列的通项，注
意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 25．CD 【分析】
由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
，利用列举法，结合等差数列
以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】
由题意，数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
，
利用列举法，可得当25n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,2,4,8,16,32，
可得52520(139)2(12)
40062462212
S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，
不满足112n n S a +>； 当26n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,2,4,8,16,32，
可得52621(141)2(12)
44162503212
S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，
不满足112n n S a +>； 当27n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,2,4,8,16,32，
可得52722(143)2(12)
48462546212
S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，
满足112n n S a +>； 当28n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，
可得52823(145)2(12)
52962591212
S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，
满足112n n S a +>，
所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．AC 【分析】 由已知得1
2
n n
a 可得以21
22
n n a -=，可判断A ；又1
111122n n n a --⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，可判断B ；由
122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.
【详解】
等比数列{}n a 中，满足11a =，2q
，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列
{}2n a 是等比数列，故A 正确；
又1
111122n n n a --⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，所以数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递减数列，故B 不正确； 因为1
22log log 2
1n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；
数列{}n a 中，101010111222
S -==--，202021S =-，30
3021S =-，10S ，20S ，30S 不成
等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】
本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 27．AD 【分析】
由已知可得
11222n n n n S n S n
S n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由
1231,1,3a a a ===可判断C ；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】
因为121n n S S n +=+-，所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++．
又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；
所以2n n S n +=，则2n
n S n =-．
当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11
121a -≠-，故B 错误；
由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即
322111
11
a a a a ++≠++，故C 错； 因为1
222n n S n +=-，所以2
3
1
1222...2221222 (2)
2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-
()()()23122412122...2212 (22412)
2n n n n n n n n n ++--⎡
⎤=+++-+++=
-+=---⎢⎥-⎣
⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选:AD ． 【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前
n 项和，考查了分组求和．
28．BD 【分析】
先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】
由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q
-=
>-，即
101n
q q ->-，上式等价于1010
n q q ⎧->⎨->⎩①或10
10
n q q ⎧-<⎨
-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.
综上所述，q 的取值范围是()
()1,00,-+∞.
2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，所以
()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛
⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.
所以，当1
12
q -<<-
，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错
误. 当1
2(0)2
q q -
<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12
q =-
或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.
综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】
本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 29．ACD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；
对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：
13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+
+-=，故C
正确.
对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，
()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，2
20192019202020192018a a a a a =-，可得222
12201920202019201920202019
a a a a a a a a
+++==，故D 正确；
故选：ACD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 30．ABC 【分析】
利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解. 【详解】
∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ，
∴1223
24a a a a +=⎧⎨+=⎩； ∴12123
212244a a a a a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞ ∴0＜a 1＜1；故A 正确．
∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列；
∴b 1＜b 2＜b 3；
∵b n •b n +1＝2n
∴1223
24b b b b =⎧⎨=⎩； ∴2132
b b b b ⎧⎨⎩＞＞； ∴1＜b
1B 正确．
∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n
＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）
()()()()
12
1212122122n
n n b b b b ⋅--=+=+-
))
2121n n ≥-=-；
∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．
故选：ABC
【点睛】
本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
31．BCD
【分析】
举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可.
【详解】
解：设{}n a 的公比为q ，
A. 设()1n n a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.
B. 2211
n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}
221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列；
当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()22
2112n n n S S n S -+=≥， 即()()()211111111111n
n n a q a q a q q q q -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以1q =，与1q ≠矛盾， 综上，{}n S 不是等比数列.
故选：BCD.
【点睛】
考查等比数列的辨析，基础题.
32．ABC
【分析】
由11a >，781a a >，87101
a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D.
【详解】
11a >，781a a >，87101
a a -<-， 71a ∴>，801a <<，
∴A.01q <<，故正确；
B.2798
1a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．
D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确.
故选：ABC ．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
33．AD
【分析】
设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．
【详解】
数列{a n }是公比q 为23
-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-，
∴a 9•a 10217
12
()3a =-＜0，故A 正确；
∵a 1正负不确定，故B 错误；
∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；
由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23
-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或10
0a <
故 90b <或100b <，且b 1＝12 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，
即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．
故选：AD
【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
34．ACD
【分析】
根据新定义进行判断．
【详解】
A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=-
-+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+
<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确；
B ．31n a n =-，则13131n b n n =--
-，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131
n b n n =--
-，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2
n n n b =-----， 首先函数1y x x
=-在(0,)+∞上是增函数， 当n 为偶数时，1
1()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n n
b a a =-<， 当n 为奇数时，11()2
n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的， 即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236
b =-=>，
∴156
b =
是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．
【点睛】 本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．
35．ACD
【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．
【详解】
∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12
=-
（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1， ∴a 67＝17×36，
∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) 111211313131313
13n n n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=
（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14
=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。