贵州省兴义市清华实验学校2020届高三数学9月月考

贵州省兴义市清华实验学校2020届高三9月月考
数 学 试 题
一、选择题： 1．已知集合{}
72≤≤-=x x A ，
{}
121-<<+=m x m x B ，且Φ≠B ，若A B A =⋃，
则
（ ）
A ．43≤≤-m
B ．43<<-m
C ．42<<m
D ．42≤<m
2．函数
962
+-=kx kx y 的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ ）
A ．0≤k 或1≥k
B ．1≥k
C ．10≤≤k
D ．10≤<k
3．若0lg lg =+b a )1,1(≠≠b a 其中，则函数x a x f =)(与x
b x g =)(的图象
（ ）
A ．关于y 轴对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于直线x y =对称
D ．关于原点对称
4．对于10<<a ，给出下列四个不等式
①
)11(log )1(log a a a a +<+ ②)
1
1(log )1(log a a a a +>+ ③a
a
a
a
1
11+
+<
④a
a
a
a
111+
+>
其中成立的是 （ ） A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④ 5．f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝ （ ） A ．3－cos2x B ．3＋cos2x C ．3－sin2x D ．3＋sin2x
6．若函数f (x)满足1
(1)()
f x f x +=
，且
(1,1]时,(),
x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数
3log y x
=的图象的交点的个数为 （ ）
A ． 3
B ． 4
C ． 6
D ． 8
7．若四面体的六条棱中有五条长为a ，则该四面体体积的最大值为 （ ）
A ．318a
B ．3
C ．3112a
D ．3
8．已知偶函数y=f(x)在[－1，0]上为单调递，又α、β为锐角三角形的两内角，则
（ ）
A ．(sin )(cos )f f αβ>
B ．(sin )(cos )f f αβ<
C ．
(sin )(sin )f f αβ> D ．(cos )(cos )f f αβ>
9．菱形ABCD 的边长为0
,60,,,a A E F G ∠=，H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且
3a
BE BF DG DH ====
，沿EH 与FG 把菱形的两个锐角对折起来，使A 、C 两点重合，这
时A 点到平面EFGH 的距离为 （ ）
A ．2a
B ．2a
C ．
D ．
)
1a
10．已知定义在R 上的奇函数()满足()
2y f x y f x π
==+
为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种
描述，
（1）()y f x =是周期函数 （2）x π=是它的一条对称轴 （3）(,0)π-是它图象的一个对称中心 （4）当
2x π
=
时，它一定取最大值
其中描述正确的是
（ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（4）
D ．（2）（3）
理科学生做（选择填空题每题4分）
1．矩阵0110-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦的逆矩阵是 （ ）
A ．0110⎡⎤
⎢⎥-⎣
⎦ B ． 1001-⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ C ．1001⎡⎤
⎢⎥-⎣
⎦ D ． 0110-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
2．表示x 轴的反射变换的矩阵是
（ ）
A ．1001⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦ B ．1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．0110⎡⎤
⎢⎥-⎣
⎦ D ．1001⎡⎤
⎢⎥-⎣
⎦ 3．极坐标方程cos 2sin2ρθθ=表示的曲线为 （ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
4．若曲线22
421x xy y ++= 在矩阵11a b ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦的作用下变换成曲线
2221x y -= ，则a b + 的值为____ __。

5．点
()
,P x y 是椭圆
22
2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。

6．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θ
θ
=+⎧ ⎨
=⎩（θ 为参数），P 是圆C 与y 轴的交点，若以圆
心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P 圆C 的切线的极坐标方程是 .
7．（本题6
分）过点P 作倾斜角为α的直线与曲线
22
21x y +=交于点,M N ，求
PM PN
⋅的最小值及相应的α的值。

8．（本题10分）当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n 年时，兔子数量用n R 表示，狐狸数量用n F 表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有0100R =
只，狐狸数量有030F = 只。

请用所学知识解决如下
问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型（
n R
、n F 的关系式）；
（2）求出n R 、n F 关于n 的关系式；
（3）讨论当n 越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。

二、填空题： 11．若函数2(1)
f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为 ； 12
．
4y x =+的值域为 ；
13．y=f(x)是关于x=3对称的奇函数，f （1）
=1,
cos sin x x -=
，则
15sin 2[
]cos()
4
x f x π
+
= ；
14．已知方程2(1)40x a x a ++++=的两根为12,x x ，且12
01x x <<<，则a 的取值范围
是 ；
15．在△ABC 中，A ．B ．c 分别为∠A ．∠B ．∠C 的对边，若A ．B ．c 成等差数列，sinB=4
5
且△ABC 的面积为32 ，则b = .
16．若对终边不在坐标轴上的任意角x ，不等式sin cos x x +22
tan cot m x x ≤≤+恒成立，则实数m
的取值范围是 ； 三、解答题：
17
．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦． （1）求
()f x 的最大值和最小值；
（2）若不等式()2f x m -<在
ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．
18
．已知函数
21()2sin 1[]2f x x x x θ=+- ∈。

（1）当
6πθ=
时，求()f x 的最大值和最小值。

（2）若()f x 在31[]
2x ∈上是单调函数，且[0,2)θπ∈，求θ的取值范围。

19．已知命题:p 1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实
数[1,1]m ∈-恒成立；命题:q 只有一个实数x 满足不等式2
22110x ax a ++≤，若命题p 是假命
题，命题q 是真命题，求a 的取值范围。

20．设()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足(4)1f =，12,(0,)x x ∀∈+∞，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，当
(0,1)x ∈时，()0f x <。

（1）求(1)f 的值；
（2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式(31)(26)3f x f x ++-≤。

21．在五棱锥P-ABCDE 中，PA=AB=AE=2a ，PB=PE=22，BC=DE=a ，∠EAB=∠ABC= ∠DEA=90°．
（1）求证：PA ⊥平面ABCDE ；
（2）若G 为PE 中点，求证：AG ⊥平面PDE （3）求二面角A-PD-E 的正弦值； （4）求点C 到平面PDE 的距离
22．设函数()log (3)(0且1)a f x x a a a =->≠，当点(,)P x y 是函数()y f x =的图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点。

（1）求出函数()y g x =的解析式； （2）若当
[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -≤，试确定a 的取值范围。

参考答案 一、选择题：
1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．A 8．A 9．A 10．B 二、填空题：
11． [1,5] 12．
4] 13． －1 14． (4,3)-- 15． 2 16．
2] 三、解答题：
17． 解：（1
）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．
又ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦∵，
ππ2π
2633x -∴≤≤，即
π212sin 23
3x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，
max min ()3,()2f x f x ==∴．
（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．
18． 解：（1）
6π
θ=时，2215()1()24f x x x x =+-=+-。

由1[]2x ∈，当12x =-时，()f x 有最小值为54-
，当
12x =时，()f x 有最大值为14-。

（2）2
()2sin 1f x x x θ=+-的图象的对称轴为sin x θ=-，由于()f x
在
1
[]
2x ∈上是单调函
数，所
以
sin θ-≤或
1sin 2θ-≥
，
即sin θ≥
或1sin 2θ≤-，所求θ的取值范围是
2711[,][,]3366ππππ
U
19．解：（1）:
p 1
x 和
2
x 是2
20x mx --=的两根，所以
121212||2x x m
x x x x +=⎧⇒-==⎨
⋅=-⎩
又[1,1]m ∈-，
则有12||x x -∈。

因为不等式2
1253||a a x x --≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成
立，所以
212max 53||3
a a x x --≥-=，所以
2533(,1][6,)
a a a --≥⇒∈-∞-+∞U
:q
由题意有
211()41100或2a a a ∆=--⨯=⇒==
由命题“p 或q ”是假命题，命题“p 且q ”是假命题，有p 假q 假，所以
11{}
2a ∈。

20．解：（1）令
121x x ==，则(1)0f =
（2）12,(0,)x x ∀∈+∞且12x x <时，
1
122
()()(
)x f x f x f x -=，因为
1
122
001x x x x <<∴<
<，
又当(0,1)x ∈时，()0f x <，所以
1
122
()()(
)0x f x f x f x -=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调增。

（3）令124x x ==，则
(16)(4)(4)2f f f =+=；令124,16x x ==，
则
(64)(4)(16)3f f f =+=
所以(31)(26)3(64)f x f x f ++-≤=，所以310260
(3,5](31)(26)64
x x x x x +>⎧⎪
->⇒∈⎨⎪+-≤⎩
21． 解：（1）证明∵PA=AB=2a ，
∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，
即PA ⊥AB ．同理PA ⊥AE ． ∵AB∩AE=A ，∴PA ⊥平面ABCDE ． 3分 （2）∵∠AED ＝90°，∴AE ⊥ED ．∵PA ⊥平面ABCDE ，∴PA ⊥ED ．∴ED ⊥平面PAE ，
所以DE ⊥AG 。

PA AE =Q ，G 为PE 中点，所以AG ⊥PE ，∴AG ⊥平面PDE 6分
（3）∵∠AED ＝90°，∴AE ⊥ED ．∵PA ⊥平面ABCDE ，
∴PA ⊥ED ．∴ED ⊥平面PAE ．过A 作AG ⊥PE 于G ，过DE ⊥AG ，
∴AG ⊥平面PDE ．过G 作GH ⊥PD 于H ，连AH ，由三垂线定理得AH ⊥PD ． ∴∠AHG 为二面角A-PD-E 的平面角． 8分
在直角△PAE 中，AG
．在直角△PAD 中，AH
＝3a ，
∴在直角△AHG 中，sin ∠AHG ＝AG AH
＝．
∴二面角A-PD-E
的正弦值为．
10分
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE 中点F ，连CF ， ∵AF ∥=BC,∴四边形ABCF 为平行四边形．
∴CF ∥AB ，而AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，而DE ⊂平面PDE ，CF ⊄平面PDE ， ∴CF ∥平面PDE ．∴点C 到平面PDE 的距离等于F 到平面PDE 的距离． ∵PA ⊥平面ABCDE ，∴PA ⊥DE ．又∵DE ⊥AE ， ∴DE ⊥平面PAE ．∴平面PAE ⊥平面PDE ． ∴过F 作FG ⊥PE 于G ，则FG ⊥平面PDE ． ∴FG 的长即F 点到平面PDE 的距离． 13分
在△PAE 中，PA=AE=2a ，F 为AE 中点，FG ⊥PE ， ∴
FG=2a ．
∴点C 到平面PDE
的距离为a ．（或用等体积法求）
22． 解：
（1）设''
(,)Q x y ，则''''
22x x a x x a y y y y ⎧⎧=-=+⎪⎪
⇒⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩
，又
log (3)a y x a =-，
则
''log (23)
a y x a a -=+-，所以
()log ()a g x x a =--。

（2）|()()||log (3)log ()|1a a f x g x x a x a -=-+-≤，定义域为30
(3,)0x a x a x a ->⎧⇒∈+∞⎨
->⎩，
又[2,3]x a a ∈++，则有23101a a a a +>⇒<⇒<<， 所以
|()()||log (3)()|1a f x g x x a x a -=--≤
1log (3)()1,[2,3]a x a x a x a a ⇒-≤--≤ ∈++，
令
2222
()(3)()43(2)u x x a x a x ax a x a a =--=-+=--
22()a a u x <+ ∴Q 在区间[2,3]a a ++上单调增，
1
()a u x a ∴≤≤
2222
430143x ax a a
a x ax a a ⎧-+≥⎪
∴⇒<≤⎨-+≤⎪
⎩
理科学生做（选择填空题每题4分）
1．A ；2．D ；3．C ；4．2； 5
；6．
2cos()23π
ρθ-
=
或 2cos()23πρθ+= ；
7
．解：设直线为
cos (为参数)sin x t t y t αα⎧=
+⎪⎨⎪=⎩
，（1分）
代入曲线并整理得
223(1sin ))02t t αα+++
= （2分）
则
1223
21sin PM PN t t α⋅==
+ （4分） 所以当2sin 1α=时，即2π
α=，PM PN ⋅的最小值为34，此时
2π
α=。

（6分）
8．解：（1）11
111.10.15(1)0.10.85n n n n n n R R F n F R F ----=-⎧≥⎨
=+⎩ (2)
（2）设n n n R F α⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦u u r ， 1.10.1M ⎡= ⎢⎣
0.150.85-⎤
⎥⎦
∴
12()
n n n M M M ααα--==u u r u u u u r u u u u r
=……=
n M αu u r
又矩阵M 的特征多项式 1.1
()0.1
f λλ-=
-
0.15
0.85
λ
-=
2 1.950.95(1)(0.95)λλλλ-+=-- 令()0f λ= 得：121,0.95λλ== ……………………4’
特征值11λ= 对应的一个特征向量为
132α⎡⎤
=
⎢⎥⎣⎦
u u r
特征值20.95λ= 对应的一个特征向量为211α⎡⎤
=
⎢⎥⎣⎦
u u r
……………………6’
且
0121003170110701103021ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==-=- ⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
u u r
u u r u u r
∴0112270110n n n n M ααλαλα==- u u r u u r u u r =
312101100.95701100.95211401100.95n n n ⎡⎤-•⎡⎤⎡⎤-•= ⎢⎥⎢⎥⎢⎥-•⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ∴2101100.95
1401100.95n
n n
n R F ⎧=-•⎪ ⎨=-•⎪⎩ (8)
（3）当n 越来越大时，0.95n
越来越接近于0，n R ,n F 分别趋向于常量210,140。

即随着时
间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。

(10)。