2024年湘教版八年级上册数学期末培优训练第7招等腰三角形中作辅助线的七种常用方法
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湘教版 八年级上
第7招
等腰三角形中作辅助线的
七种常用方法
CONTENTS
目
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01
分类训练
教你一招
几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使
隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”
中的“一线”或平行线证线段相等，利用截长补短法证线段
和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关
∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABG ＝∠ CBG . ∴∠ ABG ＝∠ G .
∴ AB ＝ AG . ∴ AB ＝ EF .
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分类训练
3. 如图，点 E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上，点 D 在 AB 边
上， DE 交 BC 于点 F ， DF ＝ EF ， BD ＝ CE . 求证：
∵ DG ∥ AC ，∴∠ DGB ＝∠ ACB . ∴∠ B ＝∠ ACB .
∴ AB ＝ AC . ∴△ ABC 是等腰三角形.
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分类训练
等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的垂线
(或平行线)
4. 如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB ＝90°，点 D
是 AC 的中点，连接 BD ，作∠ ADF ＝∠ CDB ，连接 CF
∠ EDA ＝90°.∴∠ EDF ＝90°，即 ED ⊥ DF .
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分类训练
作平行线构造等腰三角形
2. 如图， BD 平分∠ ABC 交 AC 于 D ， E 为 CD 上一点，且
AD ＝ DE ， EF ∥ BC 交 BD 于点 F . 求证： AB ＝ EF .
【证明】如图，过点 A 作 AG ∥ EF ，交 BD 的延长线于点
△ ABC 是等腰三角形.
【证明】如图，过点 D 作 DG ∥ AE 交 BC 于点 G ，
则∠ E ＝∠ FDG .
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分类训练
∠＝∠，
在△ ECF 和△ DGF 中，ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ ECF ≌△ DGF (ASA).∴ CE ＝ GD .
∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＝ GD . ∴∠ B ＝∠ DGB .
F . ∵△ ABC 是等边三角形， DF ∥ BE ，∴ AB ＝ AC ，
∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ AFD ＝∠ ADF ＝∠ A ＝60°.
∴△ ADF 是等边三角形.∴ AD ＝ DF ＝ AF . ∴ CD ＝ BF .
∵ AD ＝ CE ，
∴ FD ＝ CE . ∵∠ DCE ＝∠ ACB ＝60°，
＝，
在△ BED 和△ AFD 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ BED ≌△ AFD (SAS).∴ ED ＝ DF .
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分类训练
(2) ED ⊥ DF .
【证明】∵△ BED ≌△ AFD ，∴∠ BDE ＝∠ ADF .
又∵∠ ADB ＝90°，∴∠ BDE ＋∠ EDA ＝∠ ADF ＋
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分类训练
截长补短法构造等腰三角形
6. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝2∠ B ， CD 平分∠ ACB 交
AB 于点 D . 求证： AC ＋ AD ＝ BC .
系等，将不在同一个三角形中的线段转移到同一个三角形
(或两个全等三角形)中，然后运用等腰(或全等)三角形的性
质来解决问题.
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分类训练
构造“三线合一”图形
1. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝90°， AB ＝ AC ， D 为 BC
的中点， E ， F 分别是 AB ， AC 上的点，且 BE ＝ AF .
∠＝∠，
∴△ ADG ≌△ CDB (ASA).∴ AG ＝ BC ，∠ G ＝∠ DBC .
∵△ ABC 是等腰直角三角形，∴ AC ＝ BC ，∠ CAB ＝45°.
∴ AG ＝ AC ，∠ GAB ＝90°－45°＝45°＝∠ CAB .
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分类训练
＝，
求证：
(1) ED ＝ DF ；
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分类训练
【证明】如图，连接 AD .
∵ AB ＝ AC ， D 为 BC 的中点，
∴ AD ⊥ BC ，∠ BAD ＝∠ CAD ，∠ B ＝∠ C .
∴∠ ADB ＝90°.又∵∠ BAC ＝90°，
∴∠ B ＝∠ BAD ＝∠ CAD ＝45°.∴ AD ＝ BD .
在△ AGF 和△ ACF 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ AGF ≌△ ACF (SAS).
∴∠ G ＝∠ ACF . ∴∠ ACF ＝∠ DBC .
又∵∠ ACF ＋∠ BCF ＝90°，
∴∠ DBC ＋∠ BCF ＝90°.
∴∠ BEC ＝90°，即 BD ⊥ CF .
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交 BD 于点 E .
求证： BD ⊥ CF .
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分类训练
【证明】如图，过点 A 作 GA ⊥ AC 交 DF 的延长线于点
G ，则∠ GAD ＝90°＝∠ ACB . ∵点 D 是 AC 的中点，
∴ AD ＝ CD .
∠＝∠，
在△ ADG 和△ CDB 中，ቐ＝，
G ，则∠ G ＝∠ EFD .
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分类训练
∠＝∠，
在△ ADG 和△ EDF 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ADG ≌△ EDF (AAS).∴ AG ＝ EF .
∵ AG ∥ EF ， BC ∥ EF ，∴ AG ∥ BC . ∴∠ G ＝∠ CBD .
∴∠ DFB ＝∠ DCE .
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分类训练
＝，
在△ FBD 和△ CDE 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ FBD ≌△ CDE (SAS).∴ DB ＝ DE ，即△ BDE 是等
腰三角形.又∵ DG ⊥ BE 于 G ，
∴ G 为 BE 的中点.∴ BG ＝ EG .
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分类训练
等腰三角形中证与底有关联的线段时常作底的平行线
5. 如图，在等边三角形 ABC 中， D 是边 AC 延长线上一点，
延长 BC 至 E ，使 CE ＝ AD ， DG ⊥ BE 于 G . 求证： BG
＝ EG .
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分类训练
【证明】如图，过点 D 作 DF ∥ BE ，交 AB 的延长线于
第7招
等腰三角形中作辅助线的
七种常用方法
CONTENTS
目
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01
分类训练
教你一招
几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使
隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”
中的“一线”或平行线证线段相等，利用截长补短法证线段
和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关
∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABG ＝∠ CBG . ∴∠ ABG ＝∠ G .
∴ AB ＝ AG . ∴ AB ＝ EF .
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分类训练
3. 如图，点 E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上，点 D 在 AB 边
上， DE 交 BC 于点 F ， DF ＝ EF ， BD ＝ CE . 求证：
∵ DG ∥ AC ，∴∠ DGB ＝∠ ACB . ∴∠ B ＝∠ ACB .
∴ AB ＝ AC . ∴△ ABC 是等腰三角形.
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分类训练
等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的垂线
(或平行线)
4. 如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB ＝90°，点 D
是 AC 的中点，连接 BD ，作∠ ADF ＝∠ CDB ，连接 CF
∠ EDA ＝90°.∴∠ EDF ＝90°，即 ED ⊥ DF .
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作平行线构造等腰三角形
2. 如图， BD 平分∠ ABC 交 AC 于 D ， E 为 CD 上一点，且
AD ＝ DE ， EF ∥ BC 交 BD 于点 F . 求证： AB ＝ EF .
【证明】如图，过点 A 作 AG ∥ EF ，交 BD 的延长线于点
△ ABC 是等腰三角形.
【证明】如图，过点 D 作 DG ∥ AE 交 BC 于点 G ，
则∠ E ＝∠ FDG .
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∠＝∠，
在△ ECF 和△ DGF 中，ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ ECF ≌△ DGF (ASA).∴ CE ＝ GD .
∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＝ GD . ∴∠ B ＝∠ DGB .
F . ∵△ ABC 是等边三角形， DF ∥ BE ，∴ AB ＝ AC ，
∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ AFD ＝∠ ADF ＝∠ A ＝60°.
∴△ ADF 是等边三角形.∴ AD ＝ DF ＝ AF . ∴ CD ＝ BF .
∵ AD ＝ CE ，
∴ FD ＝ CE . ∵∠ DCE ＝∠ ACB ＝60°，
＝，
在△ BED 和△ AFD 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ BED ≌△ AFD (SAS).∴ ED ＝ DF .
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(2) ED ⊥ DF .
【证明】∵△ BED ≌△ AFD ，∴∠ BDE ＝∠ ADF .
又∵∠ ADB ＝90°，∴∠ BDE ＋∠ EDA ＝∠ ADF ＋
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截长补短法构造等腰三角形
6. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝2∠ B ， CD 平分∠ ACB 交
AB 于点 D . 求证： AC ＋ AD ＝ BC .
系等，将不在同一个三角形中的线段转移到同一个三角形
(或两个全等三角形)中，然后运用等腰(或全等)三角形的性
质来解决问题.
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分类训练
构造“三线合一”图形
1. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝90°， AB ＝ AC ， D 为 BC
的中点， E ， F 分别是 AB ， AC 上的点，且 BE ＝ AF .
∠＝∠，
∴△ ADG ≌△ CDB (ASA).∴ AG ＝ BC ，∠ G ＝∠ DBC .
∵△ ABC 是等腰直角三角形，∴ AC ＝ BC ，∠ CAB ＝45°.
∴ AG ＝ AC ，∠ GAB ＝90°－45°＝45°＝∠ CAB .
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求证：
(1) ED ＝ DF ；
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分类训练
【证明】如图，连接 AD .
∵ AB ＝ AC ， D 为 BC 的中点，
∴ AD ⊥ BC ，∠ BAD ＝∠ CAD ，∠ B ＝∠ C .
∴∠ ADB ＝90°.又∵∠ BAC ＝90°，
∴∠ B ＝∠ BAD ＝∠ CAD ＝45°.∴ AD ＝ BD .
在△ AGF 和△ ACF 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ AGF ≌△ ACF (SAS).
∴∠ G ＝∠ ACF . ∴∠ ACF ＝∠ DBC .
又∵∠ ACF ＋∠ BCF ＝90°，
∴∠ DBC ＋∠ BCF ＝90°.
∴∠ BEC ＝90°，即 BD ⊥ CF .
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交 BD 于点 E .
求证： BD ⊥ CF .
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【证明】如图，过点 A 作 GA ⊥ AC 交 DF 的延长线于点
G ，则∠ GAD ＝90°＝∠ ACB . ∵点 D 是 AC 的中点，
∴ AD ＝ CD .
∠＝∠，
在△ ADG 和△ CDB 中，ቐ＝，
G ，则∠ G ＝∠ EFD .
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∠＝∠，
在△ ADG 和△ EDF 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ADG ≌△ EDF (AAS).∴ AG ＝ EF .
∵ AG ∥ EF ， BC ∥ EF ，∴ AG ∥ BC . ∴∠ G ＝∠ CBD .
∴∠ DFB ＝∠ DCE .
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＝，
在△ FBD 和△ CDE 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ FBD ≌△ CDE (SAS).∴ DB ＝ DE ，即△ BDE 是等
腰三角形.又∵ DG ⊥ BE 于 G ，
∴ G 为 BE 的中点.∴ BG ＝ EG .
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分类训练
等腰三角形中证与底有关联的线段时常作底的平行线
5. 如图，在等边三角形 ABC 中， D 是边 AC 延长线上一点，
延长 BC 至 E ，使 CE ＝ AD ， DG ⊥ BE 于 G . 求证： BG
＝ EG .
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【证明】如图，过点 D 作 DF ∥ BE ，交 AB 的延长线于