福建省福州市第八中学高三数学第四次质检考试试题 理

福建省福州市第八中学2015届高三数学第四次质检考试试题 理
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2014.12.15
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差
s=
其中x 为样本平均数 锥体体积公式 V =3
1
Sh 其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式V =Sh
其中S 为底面面积，h 为高
球的表面积、体积公式 24S R =π，3
43
V R =
π 其 中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．已知{|10}A x x =+>，{2,1,0,1}B =--,则()R C A B ⋂=（ ） A ．{2,1}-- B ．{2}- C ．{1,0,1}-
D ．{0,1}
2．双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线方程为y =，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B
C D
3．已知命题p ：∃2,log (31)x x R ∈+≤0，则( )
A. p 是假命题；p ⌝：∀2,log (31)x x R ∈+≤0
B. p 是假命题；p ⌝：∀2,log (31)x x R ∈+＞0
C. p 是真命题；p ⌝：∀2,log (31)x x R ∈+≤0
D. p 是真命题；p ⌝：∃2,log (31)x x R ∈+＞0
4．设0ab >，下面四个不等式中，正确的是（ ）
①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||||a b a b +>- A ．①和② B ．①和③ C ．①和④ D ．②和④
5. 已知a 为常数，则使得e
11
d a x x
>⎰
成立的一个充分而不必要条件是 ( ) A ．0>a B ．0<a C ．e >a D ．e <a
6．已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且BA OA OP +=22，则
( )
A ．点P 在线段A
B 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
7. 已知(,)(0)M a b ab ≠是圆O ：2
2
2
x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线l ：2
ax by r +=，则（ ）
A ．//m l ，且l 与圆相交
B ．l m ⊥，且l 与圆相交
C ．//m l ，且l 与圆相离
D ．l m ⊥，且l 与圆相离
8．若平面区域220,20,
(1)x y y y k x -+≥⎧⎪
Ω-≤⎨⎪≥+⎩
：的面积为3，则实数k 的值为 ( ) A. 13 B ．12 C ．45
D ．
3
2
9. 已知函数),1
(2)()(x
f x f x f =满足当][3,1∈x 时，,ln )(x x f =若在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡331，内，函数
ax x f x g -=)()(，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,33ln B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 2,33ln C.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 21,0 D. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛e 1,0 10．已知抛物线21:4C x py =，圆2222:()C x y p p +-=，直线1
:2
l y x p =+，其中0p >，
直线l 与12,C C 的四个交点按横坐标从小到大依次为,,,A B C D ，则AB CD ⋅的值为（ ）
A ．24p
B ．23
p C ．
22
p D ．2
p
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11. 已知两条直线1:(2)453++=-l m x y m ，2:2(5)8l x m y +-=互相垂直，
则m =_________. 12. 已知,31)3cos(-=+
π
α则=-)6
sin(π
α_________. 13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =-,466a a +=-,当n S 取最小值时,n 等
__________.
14.若函数1,0,
()(021,0
x
x
a x f x a
b x ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=>⎨⎝⎭
⎪-<⎩且2a ≠，0b >且1)b ≠的图象关于y 轴对称，则b a 8+的最小值为__________.
15．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。

若映射:f V V →满足：对所有,a b V ∈及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。

现有下列命题：
①设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =; ②对,()2a V f a a ∈=设，则f 是平面M 上的线性变换；
③设f 是平面M 上的线性变换，,a b V ∈，若,a b 共线，则(),()f a f b 也共线； ④若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换。

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）
在数列{}n a 中，11a =，
11
112(*)n n n n n N a a a a ++-=∈ （Ⅰ）求证数列{}n a 为等差数列，并求它的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得
2
321(1)2014232
n S S S n S n -+
++
-=成立？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由. 17. (本小题满分13分)
已知函数22()sin cos 3cos ()f x x x x x m m R =+++∈．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程； （Ⅱ）当[0,
]3
x π
∈时，()f x 的最大值为9，求实数m 的值．
18. (本小题满分13分)
已知()2sin(
)36
f x x π
π
=+
，集合{|()2,0}M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依
次排成一列，得到数列*{}.()n a n N ∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 满足：11b =，1
2n n n b b a +=+，求{}n b 的通项公式。

19．(本小题满分13分)
某港湾的平面示意图如图所示， O ，A ，B 分别是海岸线12,l l 上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6km 处，B 位于O 的北偏东060方向10km 处．
（Ⅰ）求集镇A ，B 间的距离；
（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线12,l l 上分别修建码头,M N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头,M N 的位置，使得,
M N 之间的直线航线最短．
20.（本小题满分14分）
第19题图
如图，正方形CDEF 内接于椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，且它的四条边与坐标轴平行，正
方形GHPQ 的顶点G 、H 在椭圆上，顶点P 、Q 在正方形的边EF 上．且
2CD PQ ==
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点(2,1)M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于A 、
B 两个不同点，求证：直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．
21. （本小题满分14分）
福州八中2014—2015学年高三毕业班第四次质量检查
数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． AABCC BCBAD
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分． 11. 12 12.
31
13. 6 14. 8 15．①②③
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 解：（Ⅰ）2
2
()sin cos 3cos f x x x x x m =+++
1cos 21cos 22322
x x
x m -+=++⨯+………………………3分
2cos 22x x m =+++
2sin(2) 2.6
x m π
=+++………………………5分
由222,262k x k k πππ
-+π≤+≤+π∈Z ，………………………6分
得,36
k x k k ππ
-+π≤≤+π∈Z ．
∴函数()f x 的单调增区间为[,](36
k k k ππ
-+π+π∈Z)．………………………7分
由2,62x k k ππ+=+π∈Z 得,62
k x k ππ
=+∈Z ，
∴函数()f x 的对称轴方程是,62
k x k ππ
=+∈Z .………………………8分
（Ⅱ）∵当[0,]3
x π
∈时，2666x ππ5π≤+≤，………………………9分
∴ 1sin(2)126
x π
≤+≤，………………………11分
∴32sin(2)246
m x m m π
+≤+++≤+，……………………12分
∴49m +=，解得5m =．
∴实数m 的值为5.…………………………………………13分
（由2666x ππ5π≤+≤
得出sin(2)6
x π
+的最大值为1，得2分；正确推出()f x 的最大值为4m +，再得1分；正确求出m 的值得1分）
18.解：（Ⅰ）由()2sin 236f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，
得sin 13
6x π
π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，即362x k ππππ+=+，其中k Z ∈，31,x k k Z ∴=+∈，………………3分
又
0x >，{}31,M x x k k N ∴==+∈，依题意，可得数列{}n a 是首项为1，公差为3的
等差数列，………………5分
∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，*n N ∈………………6分
（Ⅱ）当2n ≥时，
112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+
+-+………………7分
=1211222n n a a a b --++++=()()123222211n n n --++
+--+………………9分
=()
()12123
211 3.22312
n n n n ----+=---…………11分
当1n =时，上式也成立，………………12分
∴n b =3.223n n --（*n N ∈）………………13分
19． 解法一：（Ⅰ）在△ABO 中，6OA =，10OB =，120AOB ∠= ，…1分 根据余弦定理得，2222cos120AB OA OB OA OB =+-⋅⋅⋅
22161026101962⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，…………………4分
所以14AB =．
故A ，B 两集镇间的距离为14km ．………………6分
（Ⅱ）依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连接OC ，则OC MN ⊥．………………7分 设OM x =，ON y =，MN c =， 在△OMN 中，由11
sin12022
MN OC OM ON ⋅=⋅⋅， 得
11
3sin12022
c xy ⨯=
，即xy =， …………………………… …9分 由余弦定理得，22222
2cos1203c x y xy x y xy xy =+-=++≥， …………11分
所以2
c ≥
，解得c ≥ …………………12分 当且仅当6x y ==时，c
取得最小值．
所以码头,M N 与集镇O 的距离均为6km 时，,M N
之间的直线航线最短，最短距离为
．…13分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连接OC ，则MN OC ⊥．
设OMN α∠=，则(0,)3πα∈，3ONM π
α∠=- ，……………………………7分
在Rt OCM ∆中，tan OC CM α=，所以3cos tan sin OC CM α
αα
==
， ………………8分
在Rt OCN ∆中，CN
OC
=
-)3
tan(
απ
，所以3cos 3tan sin 33OC CN παππαα⎛⎫
- ⎪
⎝⎭==
⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
……………9分
所以3cos()
3cos 3sin sin()3MN CM CN π
ααπαα-=+=+
- 3cos sin()sin cos()33sin sin()
3
ππααααπ
αα⎡⎤
-+-⎢⎥
⎣⎦=
-
=
62=． ……………………11分
因为(0,)3πα∈，所以26πα+)65,6(ππ∈，因此当262ππα+=，即6π
α=时，
1
sin(2)
62
πα+-有最大值21，故MN 有最小值，此时6OM ON ==．
所以码头
,M N 与集镇O 的距离均为6km 时，,M N 之间的直线航线最短，最短距离为
． …13分
20.解：（Ⅰ）∵CD ＝4105，∴点E (2105，210
5
)，…………………1分
又∵PQ ＝2105，∴点G (4105，10
5)，………………………2分
则⎩
⎪⎨⎪⎧85a 2＋85b 2＝1，325a 2＋25b
2＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2， ………………………4分
∴椭圆方程x 28＋y 2
2
＝1. ………………………5分
（Ⅱ）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1＋k 2＝0即可，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，直线l 方程为y ＝1
2x ＋m ，代入椭圆方
程x 28＋y 2
2
＝1消去y ，
得x 2＋2mx ＋2m 2
－4＝0
可得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2
－4. ………………………9分
而k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）
（x 1－2）（x 2－2）
＝（
1
2
x1＋m－1）（x2－2）＋（
1
2
x2＋m－1）（x1－2）
（x1－2）（x2－2）
＝x1x2＋（m－2）（x1＋x2）－4（m－1）（x1－2）（x2－2）
＝2m2－4＋（m－2）（－2m）－4（m－1）
（x1－2）（x2－2）
＝2m2－4－2m2＋4m－4m＋4
（x1－2）（x2－2）
＝0，………………………13分
∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. …………14分
9分
11分
13分。