成都树德中学数学高三上期末提高卷(培优练)

一、选择题
1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+
D
<
a b <
2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
3．已知在ΔABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A 为最小角，且a =√3，b =2，cosA =5
8
，则ΔABC 的面积等于（ ） A ．7√316
B ．√3916
C ．√394
D ．7√34
4．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()2
2
4116x y +++=分成面积相等的两部分，则
12
2a b
+的最小值为( ) A ．10
B ．8
C ．5
D ．4
5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
63
3S S =， 则9
6S S =（ ） A ．2
B ．
73
C ．8
3 D ．3
6．已知函数22
3log ,0
(){1,0
x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-
B ．[]2,4-
C ．(](),20,4-∞-⋃
D ．(][]
,20,4-∞-⋃ 7．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
8．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S
，且
2S =，则A 等于（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 9．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪≥⎩
则实数m 的最大值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．3
10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）
A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
11．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24
B ．48
C ．60
D ．84
12．已知数列{}n a 满足112,0,2
121,1,
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若135a =，则数列的第2018项为
（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
14．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
15．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60β，=30α，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
A ．15
B ．25
C ．40
D ．60
二、填空题
16．已知实数a >b >0，且a +b =2，则
3a−b
a 2+2ab−3
b 2
的最小值为____
17．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
，，，，则22
2x y y ++的取值范围是__________.
18．数列{}n a 满足14a =，12n
n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.
19．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-，其中0x >，若a 与b 共线，则
y
x
的最小值为
__________．
20．已知实数x ，y 满足不等式组2202x y y y x
+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩
，则1y
x +的最大值为_______.
21．已知数列{}n a 的前n 项和为2*
()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式
n a =______．
22．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且13a =，131n n a S +=+，*n ∈N ，则5S =______.
23．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.
24．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =，记数列2n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则使不等式11
2020|1|13n n
T a -->成立的最大正整数n 的值是__________．
25．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则
4
2
S a =______. 三、解答题
26．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD =
=2.3
ADC π∠=
（1）求CAD ∠的正弦值；
（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.
27．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21
n
n n S a S =-．
（1）求证：数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（2）证明：22
2127
4
n S S S ++
+<
． 28．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）令2n
n n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．
29．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+n
n S .
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 30．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和T n ．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．A
13．B
14．A
15．B
二、填空题
16．3+54【解析】【分析】由a+b＝2得出b＝2﹣a代入代数式中化简后换元t＝2a﹣1得2a＝t+1得出1＜t＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t利用基本不等
17．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
18．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题
19．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线
20．2【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域根据目标函数的几何意义结合图象即可求解得到答案【详解】由题意作出不等式组表示的平面区域如图所示又由即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率显然直线的斜率最
21．【解析】【分析】由当n＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1即可得出【详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验
22．853【解析】【分析】由与的关系可得即进而得到是以为首项为公比的等比数列可得令即可得到的值【详解】由题即则是以为首项为公比的等比数列即当时故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项公式考查由与的关
23．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】
24．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考
25．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2得＋1＋q＋q2=
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不
满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0≤
<
，由不等式的平方法则，
2
2
<，即a b <．选D.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线
:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大
值．故选B ．
考点：简单的线性规划问题．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据同角三角函数求出sinA ；利用余弦定理构造关于c 的方程解出c ，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】
cosA =5
8
⇒sinA =√1−cos 2A =√398
由余弦定理得：a 2=c 2+b 2−2bccosA ，即3=c 2+4−5c 2
解得：c =1
2或c =2
∵A 为最小角 ∴c >a ∴c =2
∴S ΔABC =
12bcsinA =12×2×2×√398=
√39
4
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】
圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即
41a b +=，故
()121288444282222b a b a
a b a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅
当
82b a
a b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()2
2
2x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是
()4,1.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3
q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，
则求得答案． 【详解】
设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S q
q
---===+=---， ∴3
2q =，
∴93962611271123
S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.
6．B
解析：B 【解析】
分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．
详解：由于()223log ,0
1,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩
，
当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．
点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的
值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
7．C
解析：C 【解析】 试题分析：∵24354
{10
a a a a +=+=，∴1122{
35
a d a d +=+=，∴14
{
3
a d =-=， ∴101109
1040135952
S a d ⨯=+
⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用三角形面积公式可得
2tan 1acsinB 2bc c B +
=，结合正弦定理及三角恒等变换知识
cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】
∵2
tan bc c B S +=
∴2tan 1
acsinB 2bc c B +=即
c tan asinB a b B +==
()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=+
+ cosA 1-= ∴1sin 62
A π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭， ∴56
6
6
A 或
π
π
π
-=
（舍） ∴3
A π
=
故选C 【点睛】
此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示， 由2230y x x y =⎧⎨
--=⎩，得：1
2x y =-⎧⎨=-⎩
，
即C 点坐标为（－1，－2），
平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.
【点睛】
本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.
10．A
解析：A 【解析】
sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+
所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到
2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 11．C 解析：C 【解析】
试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，
＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=-
-=（），选C .
考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】
11
12,03
21521,12n n n n n a a a a a a +⎧
≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩， 211215a a =-=
，32225a a ==，43425a a ==，5413
215
a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则20184504221
5
a a a ⨯+===
. 故选A . 【点睛】
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
13．B
解析：B 【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
14．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得
AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，
如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB AD
ADB ABD
=∠∠，
即
sin[90(90)]sin(90)
h AD
αβα=︒--︒-︒+，
cos sin()h AD αβα∴=
-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()
h DF AD αβ
ββα==-，
又山高为a ，则灯塔CD 的高度是
3340cos sin 22356035251sin()
2
h CD DF EF a αβ
βα⨯
⨯=-=
-=
-=-=-． 故选B ．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
二、填空题
16．3+54【解析】【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代入代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等
解析：
3+√54
【解析】 【分析】
由a +b ＝2得出b ＝2﹣a ，代入代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜3，再代入代数式化简后得出
2t 6t−(t 2+5)
，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不等式
即可求出该代数式的最小值． 【详解】
解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2，
所以，
3a−b
a 2+2ab−3
b 2
=
3a−b (a−b)(a+3b)
=
3a−(2−a)[a−(2−a)]⋅[a+3(2−a)]
=
4a−2(2a−2)(6−2a)
=
2(2a−1)
(2a−2)(6−2a)
，
令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1， 所以，3a−b a 2+2ab−3b 2=
2(2a−1)(2a−2)(6−2a)=
2t
(t−1)[6−(t+1)]
=
2t (t−1)(5−t)
=
2t 6t−(t 2+5)
=
26−(t+5
t )
≥
26−2√t⋅
5t
=
26−2√5
=
1
3−√5
=
3+√5(3−√5)(3+√5)
=
3+√54
．
当且仅当t =5
t (1＜t ＜3)，即当t =√5时，等号成立． 因此，
3a−b
a 2+2ab−3b
2
的最小值为3+√5
4
．
故答案为：3+√5
4
．
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．
17．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
解析：[]0,9； 【解析】 【分析】 利用
()()
22
01x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点
(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.
【详解】
()()22
222011x y y x y ++=-++-
()()
22
01x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离
1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形
则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110
所以222x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-
故2
2
2x y y ++的取值范围为[]09，
故答案为：[]09，
【点睛】
本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.
18．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +
【解析】 【分析】
由题意得出12n
n n a a +-=，利用累加法可求出n a .
【详解】
数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12n
n n a a +∴-=，
因此，
()()()21
1213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=+++
+()121242212
n n --=+
=+-.
故答案为：22n +. 【点睛】
本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.
19．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线
解析：【解析】 【分析】
根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2
y x x x
=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】
∵()1,a x =， (),2b x y =-，其中0x >，且a 与b 共线 ∴()12y x x ⨯-=⋅，即2
2y x =+
∴222
22y x x x x x
+==+≥，当且仅当2x x =即2x =时取等号
∴
y
x
的最小值为22. 【点睛】
该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
20．2【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域根据目标函数的几何意义结合图象即可求解得到答案【详解】由题意作出不等式组表示的平面区域如图所示又由即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率显然直线的斜率最
解析：2 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示， 又由
()011y y x x -=+--，即1
y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率，
显然直线AD 的斜率最大，
又由2202
x y y +-=⎧⎨=⎩，解得()0,2A ，则02
210AD k -=
=--， 所以1
y x +的最大值为2.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
21．【解析】【分析】由当n ＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1即可得出【详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验
解析：*2)1(n n N +∈
【解析】 【分析】
由2*
2n S n n n N =+∈，，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得出．
【详解】
当2n ≥，且*n N ∈时，
()
()()2
212121n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦
()
2222122n n n n n =+--++-
21n =+，
又2
11123S a ==+=，满足此通项公式，
则数列{}n a 的通项公式(
)*
21n a n n N =+∈．
故答案为：(
)*
21n n N +∈
【点睛】
本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．
22．853【解析】【分析】由与的关系可得即进而得到是以为首项为公比的等比数列可得令即可得到的值【详解】由题即则是以为首项为公比的等比数列即当时故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项公式考查由与的关
解析：853 【解析】 【分析】
由n S 与n a 的关系可得,131n n n S S S +-=+,即141n n
S S +=+,进而得到13n S ⎧
+⎫⎨⎬⎩
⎭是以103为首项,4为公比的等比数列,可得1101
433
n n S -=⋅-,令5n =,即可得到5S 的值 【详解】
由题,1131n n n n a S S S ++=-=+,即141n n S S +=+,则()14n n S S λλ++=+
143n n S S λ+∴=+,1
3
λ∴=
13a =,111110
333
S a ∴+=+=,
∴13n S ⎧
+⎫⎨⎬⎩
⎭是以103为首项,4为公比的等比数列,
∴1110433n n S -+
=⋅,即1101433
n n S -=⋅-
当5n =时,515101101
42568533333
S -=⨯-=⨯-= 故答案为：853 【点睛】
本题考查等比数列通项公式,考查由n S 与n a 的关系求n S ,根据1n n S k S b +=⋅+,可构造数列
{}n S λ+为等比数列,公比为k
23．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849
【解析】 【分析】
直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】
数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨
-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，
所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()100100134663118492
2
S +⨯=
+⨯
+=，
故答案为：1849 【点睛】
本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.
24．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考
解析：8 【解析】 【分析】
根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181
a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出1
3(1)3n n T =-，带入不等式
11
2020|1|13n n
T a -->，解不等式即可.
【详解】
因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，
由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15
181a a =⎧⎨=⎩.
则3q =，13-=n n a .
1
(1)1323(1)1313n n n T -
=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133
n n ---->. 整理得：38080n <.
使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
25．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=
解析：
152
【解析】
由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2
a q
＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152
.
三、解答题 26． （1
（2
【解析】 【分析】
（1）ACD ∆中，设(0)AD x x =>，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理得到答案.
（2）利用面积关系得到sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠化简得到
cos 2.AB CAD AD ⋅∠=根据（1
）中sin 7
CAD ∠=
解得答案. 【详解】
（1）在ACD ∆中，设(0)AD x x =>， 由余弦定理得2
2
27=422cos 3
x x x x +-⨯⋅π 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==
由正弦定理得2sin sin 3
DC AC
DAC =∠π
，解得sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=， 所以
11
sin 4sin 22
AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠
所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=
因为sin 7CAD ∠=，且CAD ∠
为锐角，所以cos 7
CAD ∠==.
代入计算21AB =⨯
因此AB = 【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.
27．
(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣121
n
n S S =-⇒S n ﹣S n ﹣1＝S n •S n ﹣1（n ≥2），取倒数，可得
111n n S S --=1，利用等差数列的定义即可证得：数列{1n
S }是等差数列； （2）利用2
22111111211n S n n n n ⎛⎫
=<=- ⎪--+⎝⎭
进行放缩并裂项求和即可证明 【详解】
（1）当2n ≥时，211
n n n n S S S S --=-， 11n n n n S S S S ---=，即
1111n n S S --= 从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，
()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n ∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭
． 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 1111137111221224
n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n =
<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+
+-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714
S =<满足题意， 【点睛】
本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题．
28．
（1）n a n =（2）1(1)22n n T n +=-⋅+
【解析】
试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差
的方程组11246{434102
a d a d +=⨯+=，即可解得11{1a d ==，从而写出通项公式n a n =； (Ⅱ)由题意22n n n n
b a n =⋅=⋅，因为是等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，
注意错位相减后利用等比数列前n 项和公式，化简要准确得1(1)22n n T n +=-⋅+．
试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,由2446,10a a S +==,
可得11246{434102
a d a d +=⨯+=, 即1123{235a d a d +=+=, 解得11{1
a d ==, ∴()111(1)n a a n d n n =+-=+-=, 故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =
(Ⅱ)依题意,22n n n n b a n =⋅=⋅,
∴12n n T b b b =+++
231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅,
又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅,
两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++
++-⋅ ()1212212n
n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-,
∴1(1)22n n T n +=-⋅+
考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前n 项和；3、等比数列的前n 项和；4、错位相减法．
29．
（Ⅰ）13,1,{
3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243
n n n T +=-⨯. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；
（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .
【详解】
（Ⅰ）因为233=+n n S ，所以，1233a =+，故13,a =
当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -= 所以，13,1,{3,1,
n n n a n -==> （Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =
， 当1n >时，()11133
log 313n n n n b n ---==-⋅ 所以1113
T b ==
， 当1n >时，
()()
12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-， 所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得
()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅()11121313313
n
n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243
n n n T +=
-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243
n n n T +=
-⨯. 【点睛】
本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题. 30．
（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）
31142(1)2(2)n n --++. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．
∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3．
（Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，
当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1
=[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=
．
当n=1时，b 1=3适合上式，所以
． ∴． ∴
=
=
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =
+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++； （2）已知数列的通项公式为1(21)(21)
n a n n =-+，求前n 项和： 1111()(21)(21)22121
n a n n n n ==--+-+； （3）已知数列的通项公式为1n a n n =
++n 项和:. 11n a n n n n ==+++。