四川省绵阳中学2021-2022学年高三上学期第一次质量检测数学试题及答案

四川省绵阳中学高2022届高三第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码贴
在答题卡上对应的虚线框内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，，则（）
A. B.
C. D.
2.复数的共轭复数是（）
A. B. C. D.
3.某学校共有教职工120人,对他们进行年龄结构和受教育程度的调查,其结果如下表:
现从该校教职工中任取1人,则下列结论正确的是（）
本科研究生合计
35岁以下403070
35-50岁271340
50岁以上8210
A.该教职工具有本科学历的概率低于60%
B.该教职工具有研究生学历的概率超过50%
C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
4.设p：“事件A与事件B互斥”，q：“事件A与事件B互为对立事件”，则p是
q的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.
某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（
）种不同的选法
A.225
B.185
C.145
D.110
6.
已知椭圆C 的方程是，点
在椭圆C 上，过点A 且
斜率为
的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆C 的方程为
A.
B. C.
D.
7.
函数f （x ）＝x sinx 在
处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
8.已知==10,则+=()
A.1
B.2
C.
D.
9.
已知数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若a k ＋a k ＋2＝a k ＋1，k ∈N *，则（
）
A.S k ＝S k ＋1
B.S k ＋1＝S k ＋2
C.S k ＝S k ＋2
D.S k -1＝S k
10.在空间，若∠AOB =∠AOC =60°，∠BOC =90°，直线OA 与平面OBC 所成的角为θ，
则cosθ=（
）
A.
B.
C. D.
11.设
为双曲线：
（
，
）的右焦点，直线：
（其
中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若
(+)
=0，则双曲线
的离心率是（
）
A.
B. C.
D.
12.已知函数
则不等式f (2020+x )+f (2021
)≤1的解集是（
）
A.
B.[4039，+∞]
C.(-∞，4042)
D.[4042，+∞]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知
，则
________．
14.曲线
与轴在区间[－,]上所围成的区域部分的面积为_______．
15.若变量，y 满足，则2x +y 的值围为______．
16.设函数
的定义域为R ，满足，且当
时，
．若对任意
，都有
，则m 的取值范围是________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.已知正项等差数列{a n }满足：S n 2=a 13+a 23+⋅⋅⋅+a n 3，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和.
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =（-1）n
（n ∈N *），数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n .
18.足不出户，
手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力．某手机App （应用程序）公司为了了解居民使用这款App 使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App 的人数的满意度统计数据如下：
月份
1
2345不满意的人数120
105
100
95
80
（1）请利用所给数据求不满意人数y 与月份x 之间的回归直线方程，并
预测该小区10月份的对这款App 不满意人数：
（2）工作人员发现使用这款App 居民的年龄X 近似服从正态分布，求P
（27<X ≤47）的值；
（3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App
与性别的关系，得到上右表：
能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App 与性别有关?
参考公式：，．
使用App
不使用App
女性4812男性
22
18
19.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面
ABCD，E是SC上的任意一点.
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（3）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°.
20.已知函数f（x）=pe x-q cos x.（其中p，q为参数）在点（0，f（0））处的切线方程
为y=x.
（1）求实数p，q的值；
（2）求函数g（x）=f'（x）-2x的最小值；
（3）若对任意的x∈R，不等式xf（x）≥x3+ax2恒成立，求实数a的取值范围. 21.已知椭圆G：过A（0，4），两点，直线l交椭
圆G于M，N两点．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）若直线l过点F，是否存在常数t，使得为定值，若存在，求t的值及定值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（φ为参数），以坐标原点
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为4ρcosθ+ρsinθ=3.
（1）求曲线E的直角坐标方程和曲线M的普通方程；
（2）在直角坐标系中，求曲线E与M的交点坐标.
23.已知函数f（x）=|2x2-1|+|x2-5|.
（1）求不等式f（x）＜5的解集；
（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的取值范围.
四川省绵阳中学高2022届高三第一次质量检测
理科数学参考答案
1-6A D D B B B7-12B A A A D A
13.14.415.[-2，2]16.
17.解：（1）正项等差数列{a n}满足：S n2=a13+a23+⋅⋅⋅+a n3，①，
当n=1时，解得a1=1；
当n=2时，，
整理得，
解得a2=2或-1（负值舍去），
故公差d=a2-a1=1，
故a n=n．
（2）由（1）得：
b n=（-1）n==，
∴=
18.解:(1)由表中的数据可知：==3，=，
∴=-9，=-=100-(-9)×3=127，
∴所求得回归直线方程为=-9x+127，
当x=10时，=-9×10+127=37，∴该小区10月份的对这款App不满意人数预估为37人；
（2）P(27<X≤47)=P(35-24<X≤35+34)≈0.9454+≈=0.9759.
(3)提出假设:是否使用这款App与性别无关,
由表中的数据可得K2==≈7.143>6.635,
根据临界值可得,有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关.
19.（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD．
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC．
∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC．
（2）设AC∩BD=F，连接SF，则易知SF⊥BD，
∵AB=2，∴．大为，
∴，
设点A到平面SBD的距离为h，
∵SA⊥平面ABCD，∴，∴，∴，
∴点A至平面SBD的距离为．
（3）设SA=a（a＞0），AB=1，以A为原点，AB，AD，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，
则C（1，1，0），S（0，0，a），B（1，0，0），D（0，1，0），
∴
设平面SBC，平面SCD的法向量分别为，
则，
取x1=a，则y1=0，z1=1，
可得，同理可得．
∴，
要使二面角B-SC-D的大小为120°，
则，从而a=1，
即当时，二面角B-SC-D的大小为120°．
20.解：（1）f（x）=pe x-q cos x，f′（x）=pe x+q sin x，
由题意得，即，解得；
（2）g（x）=e x+sin x-2x，
∴g′（x）=e x+cos x-2，g''（x）=e x-sin x，
①当x＜0时，由e x＜1，cos x≤1，则g′（x）=e x+cos x-2＜0，∴g（x）在（-∞，0）上单调递减；
②当x≥0时，由e x≥1，sin x≤1知g''（x）=e x-sin x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，故g′（x）≥g′（0）=0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）min=g（0）=1；
（3）对x分情况讨论处理：
（i）当x＞0时，不等式xf（x）≥x3+ax2等价于e x≥x2+ax+cos x，
令G（x）=e x-x2-ax-cos x，则G′（x）=e x-2x+sin x-a=g（x）-a，
①当a≤1时，由（2）知G′（x）=g（x）-a＞g（0）-a=1-a≥0，
∴G（x）单调递增，
∴G（x）＞G（0）=0，满足题意；
②当a＞1时，由（2）知G′（x）=g（x）-a=e x-2x+sin x-a在（0，+∞）上单调递增，
容易证明e x≥ex，故G′（x）=g（x）-a=e x-2x+sin x-a＞（e-2）x-1-a，
∴，
又G′（0）=1-a＜0，
∴存在唯一的，使得G′（x0）=0，
∴当x∈（0，x0）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减，
∴当x∈（0，x0）时，G（x）＜G（0）=0，不满足题意．
（ii）当x＜0时，不等式xf（x）≥x3+ax2等价于e x≤x2+ax+cos x，
当a≤1时，同（i）可知G′（x）＞0，∴G（x）上单调递增，
∴G（x）＜G（0）=0，满足题意；
（iii）当x=0时，对任意的a∈R，原不等式成立．
综上得，a的取值范围为（-∞，1]．
21.(1)由已知得b＝4且＋＝1,解得a2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
（2）1.设直线l为y=k(x-2)代入G得：(4+5k2)x2-20k2x+20k2-80=0
∆>0,x1＋x2＝，x1x2＝,y1y2＝k2[x1x2-2(x1＋x2)+4]=,
t·+·
=t(x1,y1)·(x2,y2)+(x1-2,y1)·(x2-2,y2)
=t(x1x2+y1y2)+x1x2-2(x1＋x2)+4+y1y2
=t+t+-2+4+
=,
若t·+·为定值,故=，解得t=，定值为,
2.当直线l斜率不存在时，M(2，),N(2，)
∴=(2，),=(2，),=(0，）,=0，)
·=4-=,·=，当t=-时，t·+·=
综上所述，存在常数t=，使得t·+·为定值.
22.解：（1）将ρcosθ=x和ρsinθ=y代入极坐标方程4ρcosθ+ρsinθ=3中，
得曲线E的直角坐标方程为4x+y-3=0；
将曲线M的参数方程化为，两式平方相加得，
故曲线M的普通方程为；
（2）将曲线E的直角坐标方程4x+y-3=0，代入曲线M的普通方程中，
整理得25x2-24x=0，解得x=0或，
当x=0时，y=3；当时，．
可得曲线E 与M 的两交点坐标为（0，3）和．
23.解：（1）设m =x 2，则m ≥0，
∴不等式f （x ）＜5可化为|2m -1|+|m -5|＜5，
等价于
或
或
，
解得＜m ≤或＜m ＜1，或m ∈∅，
即＜m ＜1，
∴＜x 2＜1，解得-1＜x ＜-或＜x ＜1，
∴f （x ）＜5的解集为（-1，-）∪（，1）；（2）x ∈[1，+∞）时，f （x ）=2x 2-1+|x 2-5|，
当1≤x ≤
时，f （x ）≥tx 等价于（2x 2-1）+（5-x 2）≥tx ，
即x +≥t ，
又x +≥2=4，当且仅当x =2时取“=”，
∴t ≤4；当x ＞
时，f （x ）≥tx 等价于（2x 2-1）+（x 2-5）≥tx ，
即3x -≥t ，
又y =3x -在x ∈（，+∞）上单调递增，
∴3x -＞3-=
，
∴t ＜
．
综上知，实数t 的取值范围是t ≤4．即t 的取值范围是（-∞，4]．。