华师版九年级下册数学课件 二次函数的图象与性质
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26.2 二次函数的图象与性质（4）
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二 次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成 y=a(x-h)2+k的形式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2 的图象．
顶点是(1,-2).
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上, 当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的 图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?再作图看一看．
当x=h时,最. 大值为k.
• 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
1.y
=
2x+
32
-
1, 2
2.y
=
-
1 3
x+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
-
5.
• 2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什 么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什 么?
• (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有 什么关系?
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出 草图进行验证.
1.y 2x 32 5; 2.y 0.5x 12;
3.y 3 x2 1;
4
4.y 2x 22 5;
5.y 0.5x 42 2; 6.y 3 x 32.
顶点分别是 y
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2 (1,2)和(1,-2).
的图象和抛物 线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什
y 3x2
么关系? 它的开口方向,对
称轴和顶点坐标分别是什
么?
y 3x 12 2
y 3x 12 2 y 3x 12
(或最大值=-2).
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和 抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)22的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2有 什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶
点坐标分别是什么?
y 3x 12 2 y 3x 12
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后
得到的.
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2 的图象.
二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一 看．
二次函数y=3(x-1)2+2的图象 和抛物线y=3x²,y=3(x-1)2有什 么关系?它的开口方向,对称轴
顶点坐标 对称轴
（h，k） 直线x=h
（h，k） 直线x=h
位置
由h和k的符号确定
开口方向
向上
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大
.
当x=h时,最小值为k.
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
和顶点坐标分别是什么?
y 3x2
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
• 对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大 而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在 对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称 轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而 减小 .
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移 ;当k<0时,向下平移)得到的.
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
观察图象,回答问题
y 3x2
(1)函数y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的 图 象 有 什 么 关
y 3x 12 系?它是轴对称图形吗?它
的对称轴和顶点坐标分别
是什么?
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而 增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而 减少？
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
开口向上,当 X=1时有最小
值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
二次函数y=3(x-1)2-2的图 象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2 有何关系?它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么?
y 2x2 1 y 2x2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后
得到的.
X=1 开口向下,
当x=1时y有 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值:且 (x=1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2
4
2.填写下表:
y=a(x-h)²+k 开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2, y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2 的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大 而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
y 3x 12 2
x=1
开口向下,
对称轴仍是平行于y轴的直线
当x=-1时y有
(x=-1);增减性与y= -3x2类似.
最大值:且 最大值= 2
(或最大值= - 2).
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
• 一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象 :y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左 (右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再 沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时 ,向下平移)得到的.
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二 次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成 y=a(x-h)2+k的形式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2 的图象．
顶点是(1,-2).
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上, 当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的 图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?再作图看一看．
当x=h时,最. 大值为k.
• 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
1.y
=
2x+
32
-
1, 2
2.y
=
-
1 3
x+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
-
5.
• 2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什 么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什 么?
• (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有 什么关系?
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出 草图进行验证.
1.y 2x 32 5; 2.y 0.5x 12;
3.y 3 x2 1;
4
4.y 2x 22 5;
5.y 0.5x 42 2; 6.y 3 x 32.
顶点分别是 y
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2 (1,2)和(1,-2).
的图象和抛物 线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什
y 3x2
么关系? 它的开口方向,对
称轴和顶点坐标分别是什
么?
y 3x 12 2
y 3x 12 2 y 3x 12
(或最大值=-2).
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和 抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)22的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2有 什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶
点坐标分别是什么?
y 3x 12 2 y 3x 12
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后
得到的.
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2 的图象.
二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一 看．
二次函数y=3(x-1)2+2的图象 和抛物线y=3x²,y=3(x-1)2有什 么关系?它的开口方向,对称轴
顶点坐标 对称轴
（h，k） 直线x=h
（h，k） 直线x=h
位置
由h和k的符号确定
开口方向
向上
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大
.
当x=h时,最小值为k.
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
和顶点坐标分别是什么?
y 3x2
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
• 对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大 而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在 对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称 轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而 减小 .
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移 ;当k<0时,向下平移)得到的.
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
观察图象,回答问题
y 3x2
(1)函数y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的 图 象 有 什 么 关
y 3x 12 系?它是轴对称图形吗?它
的对称轴和顶点坐标分别
是什么?
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而 增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而 减少？
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
开口向上,当 X=1时有最小
值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
二次函数y=3(x-1)2-2的图 象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2 有何关系?它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么?
y 2x2 1 y 2x2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后
得到的.
X=1 开口向下,
当x=1时y有 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值:且 (x=1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2
4
2.填写下表:
y=a(x-h)²+k 开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2, y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2 的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大 而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
y 3x 12 2
x=1
开口向下,
对称轴仍是平行于y轴的直线
当x=-1时y有
(x=-1);增减性与y= -3x2类似.
最大值:且 最大值= 2
(或最大值= - 2).
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
• 一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象 :y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左 (右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再 沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时 ,向下平移)得到的.