2019届高三第一次联考试题 数学(理) Word版

第I 卷(选择题共60分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)
2.设复数i z +=1,则
=+25
z z
A. 225i +-
B. 225i --
C. 225i +
D. 225i -
3. 0
40sin 200cos 50sin 70cos -的值为 A. 23-
B. 2
3
C. 21-
D. 21 4.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。

某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.
1514 B. 151 C. 92 D. 9
7
5.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a =0”是“函数)(x f 为奇
函数的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，
则该几何 体的表面积为 A. π264- B. π264+ C. π280- D. π280+ 7.若x x
e c b x a e x ln ln 1
,)
2
1
(,ln ),1,(===∈-，则
A. b >c >a
B. c > b > a
C. b > a > c
D. a > b >c
8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4
π
个单位长度，平移后的图象关于点)0,2
(
π
对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6
,2[π
π-
上的最小值是 A. 21-
B. 23-
C. 21
D. 2
2
9.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥-≤+≥+14422
2y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是
A. -6
B. 2
3
- C. -1 D.6
10. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b B
C
b c a ，则△ABC 的面积的最大值
A. 34
B. 32
C. 33
D. 3
11. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若
||3
3
2421AB x x =
++，则∠AFB 的最大值为 A.
3π B. 43π C. 65π D.
3
2π
12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若
)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为
A. (0,1)
B. (0,2)
C. (1,2)
D. (2, +∞)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

13.已知向量a = (1;0)，丨b 丨>2，a 与b 的夹角为0
60，若c=a + b ，d =a-b ，则c 在d 方向上的投影为 . 14.在4
)1(--
x
x 的展开式中，常数项为 . 15. 已知双曲线122
22=-b
y a x (a>b>0),焦距为2c ，直线l 经过点(a ，0)和(0,b)，若（-a ，
0)到直线l 的距离为
c 3
，则离心率为 . 16.如图，△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB= 2，D 为直角边
BC 上 一点(不含端点)，将△ACD 沿直线AD 折叠至△A C 1D 的位置，使得C1在平面ABD 外，若C1在平面上的射影H 恰好在
线段AB 上，则从的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分）
设数列{n a }前n 项和为S ，且满足)(32
1
,11*∈-
==+N n a S r a n n . (I)试确定r 的值，使{n a }为等比数列，并求数列{n a }的通项公式； (II )在（I)的条件下，设a b n 2log =，求数列{||n a }的前n 项和n T . 18.(本小题满分12分）
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32,48,32。

现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(II)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检査。

(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的数学期望知方差； (ii)设4为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件4发生的概率。

19.(本小题满分12分）
已知五边形ABECD 由一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示,AB 丄BC ，AB//CD ，且AB=2CD 。

将梯形ABCD 沿着BC 折起，如图2所示，且AB 丄平面BEC 。

(I)求证:平面ABE 丄平面ADE ； (II)求二面角A-DE-B 的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C: 122=-b a (a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P 是椭圆上的任意一点，
且||||21PF PF ⋅的最大值为4,椭圆C 的离心率与双曲线
112
42
2=-y x 的离心率互为倒数。

(I)求椭圆C 的方程； (II)设点P （-1，
23)，过点P 作两条直线1l ，2l 与圆222)1(r y x =++ (0＜r ＜2
3
)相切且分别交椭圆于M ，N ，求证:直线MN 的斜率为定值。

21.(本小题满分12分）
已知函数x x x x f --=2)(. (I)求函数)(x f y =的零点的个数；
(II)令x x
x f ax
ax x g ln )()(2+++=，若函数)(x g y =在(0，e 1)内有极值，求实数a 的取值范
围。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分）【选修4 - 4:坐标系与参数方程选讲】
在平面直角坐标系中，曲线C 1: 222=-y x ，曲线C 2的参数方程为θθθ
(sin 2cos 22⎩⎨
⎧=+=y x 为
参数)。

以坐标原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(I)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (II)在极坐标系中，射线6
π
θ=与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（异于极点O)，定点M (3,0),
求△MAB 的面积。

23. (本小题满分10分）【选修4 -5:不等式选讲】 已知函数5|22|)(-+=x x f . (I)解不等式: |1|)(-≥x x f ；
(II)当时1-≥x 时，函数||)()(m x x f x g -+=恒为正值,求实数m 的取值范围。