2008年数学高考试题分类汇编--------三角函数

2008年数学高考试题分类汇编
三角函数
)0
>在区间]
2,0[
π的图像如下：
那么ω（ B ）
(A) 1(B)2(C)
2
1
(D)
3
1
(7)=
-
-
2
10
cos
2
70
sin
3
( C )
(A)
2
1
(B)
2
2
(C)2(D)
2
3
（文科）11、函数()cos22sin
f x x x
=+的最小值和最大值分别为（C ）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
3
2
D. －2，
3
2
17、（本小题满分12分）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，
∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。

（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。

17．解：
（Ⅰ）因为9060150
BCD=+=
∠，CB AC CD
==，
所以15
CBE=
∠．
B
A
所以6cos cos(4530)CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理
2
sin(4515)sin(9015)
AE =
-+．
故2sin 30
cos15
AE
=
12
⨯
=
= ······················································ 12分
（安徽）（理科）（5）．将函数sin(2)3
y x π
=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点
(,0)12
π-
中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）
A ．(,0)12
π-
B ．(,0)6
π
-
C ．(
,0)12
π
D ．(
,0)6
π
（文科）（5）．在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ A ）
A ．
23
π
B ．
56
π C ．
34
π D ．
3
π （8）．函数sin(2)3
y x π
=+
图像的对称轴方程可能是（ D ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π=-
C ．6
x π=
D ．12
x π
=
（文、理）（17）．（本小题满分12分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
17解：（1）
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 2x x x x =
++-
1cos 22cos 222
x x x =
+-
s i n (2)
6
x π
=- 2T 2
π
π∴=
=周期 由2(),()6
2
23
k x k k Z x k Z π
π
ππ
π-
=+
∈=
+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈
（2）
5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-
在区间[,]123ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调
递减，
所以 当3
x π=
时，()f x 去最大值 1
又
1()()12
22f f π
π-
=<=，当12
x π
=-时，()f x 取最小值-
所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域为[2-
（北京）（文科）4．已知ABC △中，a =b =60
B =，那么角A 等于（
C ）
A ．135
B ．90
C ．45
D ．30
9．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ．4
3
（文、理科）15．（本小题共13分）
已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
15．（共13分）
解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=
+112cos 222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，
所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-
+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，． （福建）（理科）
(9)函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数
y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为（ C ） A.
2
π
B.π
C.－π
D.－
2
π
(10)在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为（ A ） A. 6
π
B.
3π C.6
π或56π
D.
3
π或
23π
（17）（本小题满分12分）已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =
-=
1
2sin()1,sin().66
2
A A ππ-=-=
由A 为锐角得,.663
A A πππ
-==
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
cos ,2
A =
所以2
2
1
3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
.
当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
（文科）（7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2
π
个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为（ A ）
A.-sin x
B.sin x
C.-cos x
D.cos x
（17）（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tan A 的值；
(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.
（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得 m ·n =sin A -2cos A =0, 因为cos A ≠0,所以tan A =2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得
2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22
f x x x x x x =+=-+=--+
因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =
时，f (x )有最大值3
2
， 当sin x =-1时，f (x )有最小值-3， 所以所求函数f (x )的值域是33,.2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
（广东）（理科）12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正
周期是 ．
【解析】2
1cos 21
()sin sin cos sin 222
x f x x x x x -=-=
-,此时可得函数的最小正周期22
T π
π=
=。

（文科）5.已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
【解析】222
211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224
x
f x x x x x x -=+==
=
,选D.
（文、理）16．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R
的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．（1）求()f x 的解析式；
（2）已知π02αβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．
【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，
将点1(,)32M π代入得1
sin()32
πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2
f x x x π
=+=；
（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,
)
2
π
αβ∈，
45
sin ,sin 513
αβ∴====，
3124556
()cos()cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。

（湖北）（理科）5.将函数y=3sin （x -θ
）的图象F 按向量（
3
π
，3）平移得到图象F ′, 若F ′的一条对称轴是直线x=
4
π
,则θ的一个可能取值是（ A ） A.π125 B. π125- C. π1211 D. π12
11
12．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 .
612
16.（本小题满分12分）
已知函数f (t 17()cos (sin )sin (cos ),(,).12
g x x f x x f x x π
π=+∈ （Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式； （Ⅱ）求函数g(x )的值域.
16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x
x
g x x
x
x x
--=+++
2
2
2
2
(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x x
x x x
--=+
1sin 1cos cos sin .cos sin x x
x
x x x
--=+
17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤
∈π∴=-=- ⎥⎝⎦
1sin 1cos ()cos sin cos sin x x
g x x
x
x x
--∴=+-- sin cos 2x x =+-
2.4x π⎛⎫+
- ⎪⎝⎭
（Ⅱ）由1712x ππ≤
＜，得55.443
x πππ
+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
上为增函数，
又5535sin
sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤
∈π ⎥⎝⎦
），
即1sin()2)23424
x x ππ
-≤+
-≤+--＜，＜，
故g (x )的值域为)
2,3.⎡-⎣
（文科）12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,
a b c ===︒则A ＝ . 30°（或
6
π
） 16.（本小题满12分） 已知函数2()sin
cos cos 2.222
x x x
f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式，并指出
()f x 的周期；
（Ⅱ）求函数17()[,
]12
f x π
π在上的最大值和最小值 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力. （满分12分） 解：(Ⅰ)f (x )=
2
1
sin x +
23)4sin(2223)cos (sin 2122cos 1-+=-+=-+πx x x x . 故f (x )的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x ≤
12
17
π，得πππ35445≤+≤x .因为f (x )＝23)4sin(22-+πx 在[45,ππ]上是减函数，在[
12
17,
45π
π]上是增函数. 故当x =
45π时，f (x )有最小值－223+；而f (π)=－2，f (12
17
π)＝－466+＜－2，
所以当x =π时，f (x )有最大值－2.
（湖南）
（理科）6.函数2
()sin sin cos f x x x x =+
在区间,42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是
( )
A.1
C.
32
【答案】C
【解析】由1cos 21()sin 2sin(2)2226
x f x x x π
-=
+=+-, 52,4
2
3
6
6x x π
π
π
π
π≤≤
⇒
≤-
≤
max 13
()1.22
f x ∴=+=故选C. 19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距
40
海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中
sin θ
，090θ<<)且与点A 相距C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I ）如图，AB ，
,sin BAC θθ∠==
由于090θ<<,所以cos θ=26
=
由余弦定理得=
3
=/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，
设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D.
由题设有，x 1=y 1=
2
AB=40, x 2=AC
cos )30CAD θ∠=-=, y 2=AC
sin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =
20
210
=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d
7.=<
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .
在△ABC 中，由余弦定理得，
222
cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅
222
=10.
从而sin 10
ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，
AQ=
sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.
在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠
=157.=< 所以船会进入警戒水域.
（文科）7．在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-
B ．3
2
- C ．32 D ．23
【答案】D
【解析】由余弦定理得1cos ,4CAB ∠=所以13
32,42AB AC ⋅=⨯⨯=选Ｄ. 17．已知函数x x x x f sin 2
sin 2cos )(22+-=.
（I ）求函数)(x f 的最小正周期；
（II ）当)4
,
0(0π
∈x 且524)(0=
x f 时，求)6
(0π
+x f 的值。

解：由题设有()cos sin f x x x =+=
π
)4
x +．
（I ）函数()f x 的最小正周期是2π.T =
（II ）由524)(0=
x f 0π)45x +=
即0π4
sin(),45
x += 因为)4,
0(0π
∈x ,所以0ππ(,).442
x π+∈
从而0π3cos().45
x +===
于是)6(0π
+
x f 00ππ))]4646x x ππ
=+
+=++
00ππ)cos cos()sin ]4646
x x ππ
=+++
4312
().552=
+⨯ （江苏）1.()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭
的最小正周期为5
π
，其中0ω>，则ω= ▲ ．
【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105
T π
π
ωω
==
⇒=
【答案】10
13．若
BC ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ． ?
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC
， 根据面积公式得ABC S ∆
=
1
sin 2
AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==2
44x x
-=，代入上式得
ABC S ∆
=
=
由三角形三边关系有2
2x x +>+>
⎪⎩
解得22x <<
，
故当x =ABC
S ∆最大值
【答案】
15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为
5
2,2 （1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。

由条件的cos αβ=
=，因为α,β为锐角，所以sin αβ=因此1
tan 7,tan 2
αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=
tan tan 31tan tan αβ
αβ
+=--
（Ⅱ） 2
2tan 4tan 21tan 3βββ=
=-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβ
αβαβ
++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<
，∴2αβ+=34
π
（江西）（理科）6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(
2
π，23π
)内的图象大致
是
A B C D
解析：.函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨
≥⎩
当时
当时 D .
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，
a ＝23，tan
2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22
A
．求A 、B 及b 、c ． 17.解：A 、B 、C 为△ABC 三内角，∴2
2C
B A -=
+π ∴42tan 2tan =+-C C π，即42tan 2cot =+C C 。

又C C C cos 1sin 2tan +=，∴4sin cos 1cos 1sin =+++C C C C ，
整理得4sin 2=C ，∴2
1
sin =C
由2cos sin sin 2A C B =可得2
cos 12sin A B +=，∴A B cos 1sin += ∵sin B ≤1，∴cos A ≤0，而A 为△ABC 内角，则A 必为钝角。

∴C 应为锐角，∴ 6
π
=C 。

则A B -=
π6
5
，代入A B cos 1sin +=，得 A A cos 1)6
5
sin(+=-π，将左边展开并整理得：
1)3cos(-=+πA ，又A 为钝角，∴ π32=A ，故
π
=B
∴△ABC 为等腰△，32=a ，作图如右： 易解得b = c = 2
综上，π32=A ，6
π
=B ，b = c = 2
（文科）6．函数sin ()sin 2sin
2
x f x x
x =
+是（ A ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数 17．已知1
tan 3
α=-
，cos 5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2
）求函数())cos()f x x x αβ=
-++的最大值．
17．解：（1
）由cos β=
(0,)βπ∈ 得tan 2β=
，sin β=
于是tan()αβ+=12
tan tan 3121tan tan 13
αβ
αβ-++==-+.
（2）因为1
tan ,(0,)3
ααπ=-∈
所以sin αα=
=
()f x x x x x =
x =
()f x
（辽宁）（理科）16．已知()sin (0)363
f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
⎝⎭
，，且()f x 在区
间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有最小值，无最大值，则ω＝__________．143
17．（本小题满分12分）
在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △
，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a b ab +-=， 又因为ABC △
1
sin 2
ab C =4ab =． ·
······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩
，
，解得2a =，2b =． ·············································· 6分
（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，
即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=
，6
B π
=
，a =
b =，
当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得3a =
3b =．
所以ABC △
的面积1sin 23
S ab C =
=． ····················································· 12分 （文科）16．设02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为
．．（本小题满分12分）
在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π
=． （Ⅰ）若ABC △
，求a b ，；
（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．
17．本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，2
2
4a b ab +-=， 又因为ABC △
1
sin 2
ab C =4ab =． ·
······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得2a =，2b =． ·············································· 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ························································· 8分
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得a =
b =
所以ABC △的面积1sin 2S ab C =
= ····················································· 12分 （全国1）（理科）8．为得到函数πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图
像（ A. ）
A ．向左平移5π
12个长度单位
B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
解析：55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛
⎫=+
=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
只需将函数sin 2y x =的
图像向左平移
5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像.
17．（本小题满分10分）
设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3
cos cos 5
a B
b A
c -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．
17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5
a B
b A
c -= 可得3333
sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555
A B B A C A B A B A B -=
=+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>
2
tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤3
4
当且仅当1
4tan cot ,tan ,tan 22
B B B A ===时，等号成立，
故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为3
4
.
（文科）6．2
(sin cos )1y x x =--是（ D ） A ．最小正周期为2π的偶函数
B ．最小正周期为2π的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
9．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin y x =的图像（ C ）
A ．向左平移
π
6个长度单位 B ．向右平移
π
6个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
17．（本小题满分12分） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；
（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ． 17．解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：
3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b ==== 又通过cos 3a B =知：cos 0B >，
则3cos 5B =，4
sin 5
B =，
则5a =．
（2）由1
sin 2
S ac B =，得到5c =．
由222
cos 2a c b B ac
+-=，
解得：b =
最后10l =+．
（全国2）（理科）8．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交
于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ）
A ．1
B
C
D ．2
．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4
cos 5
C =． （Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）设ABC △的面积33
2ABC S =
△，求BC 的长． 17．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12
sin 13
B =，
由4cos 5C =，得3
sin 5
C =．
所以33
sin sin()sin cos cos sin 65
A B C B C B C =+=+=． ····································· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =
△得133sin 22
AB AC A ⨯⨯⨯=，
由（Ⅰ）知33sin 65
A =
， 故65AB AC ⨯=，························································································· 8分
又sin 20
sin 13
AB B AC AB C ⨯==，
故2206513AB =，132
AB =． 所以sin 11
sin 2
AB A BC C ⨯==． ·
········································································ 10分 （文科）．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ C ）
A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
10．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ B ） A ．1
B ．
2 C ．3
D ．2
．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13A =-
，3
cos 5
B =． （Ⅰ）求sin
C 的值；
（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． ．解：
（Ⅰ）由5cos 13A =-
，得12sin 13
A =， 由3cos 5
B =，得4
sin 5
B =． ··········································································· 2分
所以16
sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分
（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313
BC B AC A ⨯
⨯==
=． ··········································· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯8
3
=． ·
···················· 10分 （山东）（理科）（3）函数y ＝lncos x (-2
π＜x ＜)2π
的图象是
A
（5）已知cos （α-
6π）+sin α=的值是则)6
7sin(,354πα- C （A ）-
532 （B ）532 (C)-54 (D) 5
4 （15）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝6
π
. （17）（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π （Ⅰ）求f （
8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x
＝⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡+-+)cos(21
)sin(232ϕωϕωx x
＝2sin(ϕω+x -
6
π) 因为 f (x )为偶函数，
所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，
因此 sin （-ϕω+x -
6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6
π
),
整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （ϕ-6
π
）＝0.
又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2
π
)=2cos x ω.
由题意得 .
2,2
22　＝ 所以 ωπ
ω
π
⋅
=
故 f (x )=2cos2x . 因为 .24
cos
2)8
(==π
πf
（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个
6
π
个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标
伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)6
4(π
π-f 的图象.
).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤
3
2
π
π
-
≤2 k π+ π (k ∈Z),
即 4k π＋≤
32π≤x ≤4k π+3
8π
(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
++
384,324πππ
πk k (k ∈Z)
（文科）8．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量
1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，
则角A B ，的大小分别为（ C ） A ．ππ
63
，
B ．
2ππ36
， C ．ππ36
，
D ．ππ33
，
10．已知πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值是（ C ）
A ． B
C ．45
-
D ．
45
17．（本小题满分12分）
已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=
+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数
()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2
．
（Ⅰ）求π8f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π
6
个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．
17．解：（Ⅰ）())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+
1
2)cos()22x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦
π2sin 6x ωϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
因为()f x 为偶函数，
所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立， 因此ππsin()sin 6
6x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+-
⎪⎝
⎭
． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--
+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
． 因为0ω>，且x ∈R ， 所以πcos 06ϕ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
． 又因为0πϕ<<， 故ππ62
ϕ-
=． 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫
=+= ⎪⎝
⎭
． 由题意得
2π
π
2
2
ω
=，所以2ω=． 故()2cos 2f x x =．
因此ππ2cos 84f ⎛⎫==
⎪⎝⎭
（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后，得到π6f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象，
所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦． 当π
2π22ππ3k x k -
+≤≤（k ∈Z ）， 即π2πππ63
k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减，
因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ⎡⎤
+
+⎢⎥⎣
⎦
，（k ∈Z ）． （陕西）（理科）．ABC
△的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
若
120c b B ==，则a 等于（ D ）
A
B ．2
C
D
．（本小题满分12分）
已知函数2()2sin
cos 444
x x x
f x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 17．解：
（Ⅰ）
2()sin 2sin )24x x f x =+
-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．
()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭．
∴函数()g x 是偶函数．
（文科）．sin330︒等于（ B ） A
．2
-
B ．12
-
C ．
12
D
．
2
．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
若120
c b B ===，则a =
．（本小题满分12分）
已知函数()2sin
cos 442
x x x
f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 17．解：（Ⅰ）
()f
x sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．
()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭．
∴函数()g x 是偶函数．
（上海）（理科）6.函数f (x )＝
3sin x +sin(π
2
+x )的最大值是 2
（文、理科）．（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．
17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得
CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=0
60……………………………4分 在CDO ∆中，2
2
2
2cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分
即()()2
2
21
5003002500300,2
r r r +--⨯⨯-⨯
=…………………….9分 解得4900
44511
r =≈（米）. …………………………………………….13分
【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分
由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0
120CDA ∠=………….4分
2220
2
2
2
,2cos12015003002500300700,
2
ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分
22211
cos .214
AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分
在直角11
,350,cos 0,14
HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900
445cos 11
AH OA HAO =
=≈∠（米）. ………………………13分
18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点． （1）当π
4
t =
时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时的最大值．
18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛
⎫
⎛⎫=⨯
-⨯+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭…………….2分 23
1cos
.32
π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π⎛
⎫
=-+
⎪⎝
⎭
3sin 2222
t t =
- …………...8分
26t π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
…………………………….11分
∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦ …………13分
∴ ｜MN ……………15分
（四川）（理科）３．()2
tan cot cos x x x +=( D )
（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x
【解】：∵()222
2
2sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+=+=
⋅ ⎪⎝⎭
cos cot sin x
x x
=
= 故选D ； 【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；
５．若02,sin απαα≤≤>
，则α的取值范围是：( C )
（Ａ）,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33
ππ
⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
【解】：∵sin αα> ∴sin 0αα> ，即1
2sin 2sin 023πααα⎛⎫⎛
⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-
≤-≤
，∴03παπ≤-≤ ，即4,33
x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
故选C ；
【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象； 10．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'
01f =
（Ｄ）()'
00f
=
【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数
∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'
00f
= 故选D
【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系； 【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于y 轴对称的要求，分析出0x =必是()f x 的极值点，从而()'
00f =；
17．（本小题满分12分）
求函数2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

【解】：24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+
()2
1sin 26x =-+
由于函数()2
16z u =-+在[]11-，中的最大值为
()2
m a x 11610
z =--+= 最小值为 ()
2
m i n 1166
z =-+= 故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
（文科）7．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c
，若,2a A B =
=，则cos B =( B )
【解】：∵ABC ∆
中22a A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩
∴sin sin sin 22sin cos A B A B B B
⎧=⎪⎨⎪==⎩
∴cos B = 故选B ； 【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式；
（天津）（理科）3．设函数()sin 22f x x x π⎛
⎫=-∈ ⎪⎝
⎭
R ，，则()f x 是（ B ）
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
π
2的奇函数 D ．最小正周期为
π
2
的偶函数 17．（本小题满分12
分）已知cos 410x π⎛
⎫-
= ⎪
⎝⎭，324x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，．
（Ⅰ）求sin x 的值； （Ⅱ）求sin 23x π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值． 17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解法一：因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以442x πππ⎛⎫
-
∈ ⎪⎝⎭
，，于是
sin 4x π⎛⎫-==
⎪⎝⎭． sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ⎛ππ⎫ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4
1021025
=
+=．
解法二：由题设得
cos 2210x x +=，即1
cos sin 5
x x +=． 又2
2
sin cos 1x x +=，从而2
25sin 5sin 120x x --=，解得4sin 5x =或3
sin 5
x =-． 因为324x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，所以4sin 5
x =
．
（Ⅱ）解：因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故3cos 5x ===-．
24sin 22sin cos 25x x x ==-
，2
7cos 22cos 125
x x =-=-． 所以，
24sin 2sin 2cos cos 2sin 33350x x x πππ+⎛
⎫+=+=-
⎪⎝
⎭．
（文科）（6）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
（A ）sin(2)3y x π
=-
，x R ∈ （B ）sin()26x y π
=+，x R ∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3
2y x π
=+，x R ∈。