广东省佛山市+2024年人教版中考数学一轮复习与圆有关的位置关系课件

෢
3. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（如）.圆的任
意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 半圆
෢
෢
（如 ）.
小于半圆的弧叫做劣弧（如 ），大于半圆的弧叫
做优弧
෣
（如）.
能够重合的两个圆叫做等圆.
4.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOC）.
广东省佛山市人教版2024中考
数学一轮复习模拟训练
圆的基本性质
《圆》核心素养的主要表现：
本
章
结
构
页
表现
内涵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据
推理能力
规则推出其他命题或结论的能力
几何直观
几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意
识与习惯
运算能力
创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现
象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题
所对的圆周角相等（新课标新增）.了解并证明圆周角定理及其
推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周
角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角
互补.
1. 理解圆的相关概念及圆的轴对称性和旋转不变性.
2. 探索并证明垂径定理及其推论，了解并证明圆周角定理及其推论.
考点
考点1 垂径定理及其推论
= DE，∴AB⊥CD.
对应的弧”都成立.尝试证明一下
∵OC = OD，∠COD
吧！ = 120°，
∴∠COB = ∠DOB = 60°.
∵OC = OB = OD，
∴△BOC和△BOD是等边三角形.
∴OC = BC = OB = BD = OD.
∴四边形OCBD是菱形.
方法总结
垂径定理是计算圆中线段长（半径、弦长、弦心距等）的主要工具
∴AC = AB = 2.

∵AB是直径，CD⊥AB，∴DE = CD.
∵∠CAB = 60°，∴CD = AC · sin 60° = .
∴CE = 2CD = .
垂径定理及其推论
弧、弦、圆心角的关系和圆周角定理及其推论
1. 如图1，AB是⊙O的直径，交弦CD于点E，连接BC.
（1）若CD⊥AB，CD = 8，BE = 2，求⊙O的半径.
6.圆周角：顶点在圆上，并且角的两边都与圆相交，这样的角叫做
圆周角（如∠ABC，∠ADC）.
二、圆的对称性
1.圆的轴对称性：
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，对称
轴有 无数 条.
（2）*垂径定理及其推论：
名称
内容
符号表示
∵CD是直径，
垂直于弦的直径平分这
CD⊥AB，
垂径
෢ =
AE = BE，
∠DAC的度数为（ C ）
A. 130°
B. 100°
C. 65°
D. 50°
3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接
AE. 若∠BCD = 2∠BAD，则∠DAE的度数是（ A ）
A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 60°
4. （2023陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色
条弦，并且平分弦所对
弧
∴෢ ෢ ෢
定理
， =
的
图示
续表
名称
内容
符号表示
∵CD是直径，AB是弦
平分弦 （不是直径）
（不是直径），
垂径定理 的直径 垂直于
AE = BE，
的推论 弦，并且 平分 弦
෢ =
∴ CD⊥AB，
所对的弧
෢ =
෢
෢
，
图示
2.圆的旋转不变性：
（1）圆是中心对称图形：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，
点，∠ACB = 60°，则AB的长为 cm.
6. （2023武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB =
2∠BAC.
（1）求证：∠AOB = 2∠BOC.
证明：∵∠BOC = 2∠BAC，∠ACB = 2∠BAC，
∴∠ACB = ∠BOC.
考点2 弧、弦、圆心角的关系和圆周角定理
及其推论
考频
—
5年5考
一、圆及其相关概念
1. 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一
圆心，线段OA
个端点A形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做
叫做
半径.
2. 弦：连接圆上任意两点的 线段 叫做弦（如AD，BC，CD）. 经
过圆心的弦叫做 直径 （如AB）.
在解决与圆有关的问题时，我们常常根据已知条件在图中识
别或构造基本图形.
1. 看到直径，找直径所对的圆周角，构造直角三角形；同样地，
当圆周角是直角时，要知道圆周角所对的弦是直径.
方法总结
圆周角定理及其推论证明中的注意事项
2. 需要注意的是，在同圆或等圆中，由“圆周角相等”不能
直接得出对应“弧相等”或“弦相等”的结论，正确的推理顺序
美食之一.图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意
෢
෢
图.是⊙O的一部分，D是
的中点，连接OD，与弦AB交于点
C，连接OA，OB.已知AB = 24 cm，碗深CD = 8 cm，则⊙O的半径
OA为（ A ）
A. 13 cm
B. 16 cm
C. 17 cm
D. 26 cm
5. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3 cm.C为⊙O上一
本
章
结
构
页
图形与图形关系的理解与应用往往是“由薄
本
章
结
构
页
到厚”层层积累的过程，积累的不仅是知识，还
有方法和经验.圆是形状柔和、包容性很强的曲
线图形.在理解和研究圆的过程，便是“厚积薄
发”的过程，要求灵活运用三角形、四边形及三
角形的全等与相似等多方面的知识，进一步培养
抽象能力、几何直观、空间想象力及逻辑推理能
相等，所对的 弦 也相等
AB = CD
图示
续表
定理
符号表示
图示
在同圆或等圆中，如果两条弦
∵AB = CD，
圆心角
相等，那么它们所对的
∠AOB = ∠COD，
∴
劣弧
优弧
相等，所对的
和
෢
෣ =
෣
෢ = ，

分别相等
总 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组
分别相等
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明.
解：△ABC是等腰直角三角形，证明如下：
如答图，连接OB.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC = ∠ABC = 90°.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB = ∠CDB.
∴∠AOB = ∠COB.∴AB = BC.
又∵∠ABC = 90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
（ C ）
A. 54°
B. 62°
C. 72°
D. 82°
2.（2023广东）如图，AB是直径，∠BAC = 50°，则∠D = （ B ）
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
3. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，已知∠AOC = 90°，∠D = 30°，则
∠BOC =（ B ）
A. 25°
⊙O的直径，DB平分∠ADC.
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明.
另解
由“同弧所对的圆周角相等”得
∠ ADB = ∠ ACB ， ∠ CDB =
∠ CAB ， 由 DB 平 分 ∠ ADC 得
∠ADB = ∠CDB，所以∠BAC =
∠BCA，进一步得△ABC是等腰
直角三角形.
（2）若AB = ��，AD = 1，求CD的长度.
都能与原来的图形重合（旋转不变性）.特别地，圆是中心对称图形，
对称中心是
圆心 .
（2）弦、弧、圆心角之间的关系：
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心
角所对的弧相等，所对的弦相
等
符号表示
∵∠AOB = ∠COD，
∴
෢
෢ = ，AB
= CD
෣
෢ = ��，
在同圆或等圆中，如果两条弧 ∵
相等，那么它们所对的圆心角 ∴ ∠AOB = ∠COD，
（1）求∠CAB的度数.
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交⊙O于点E. 若
AB = 4，求CE的长.
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB = 90°.
∵∠B = 30°，∴∠CAB = 90°- 30° = 60°.
（2）∵∠ACB = 90°，∠B = 30°，AB = 4，

∴∠ADO = ∠AEO = 90°，


AD = AB，AE = AC.


∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC = 90°.
∴四边形ADOE是矩形.
∵AB = AC，∴AD = AE.
∴四边形ADOE是正方形.
3.（人教版九上P87 例4改编）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为
⊙O的直径，DB平分∠ADC.

= .
解得r = 5，即⊙O的半径为5.
（2）如图2，连接OC，OD，BD，若CE = DE，∠COD = 120°，试
判断四边形OCBD的形状，并说明理由.
“直径垂直弦”与“直径平分弦
解：四边形OCBD是菱形.理由如下：
（非直径）”是可以互推的，不
∵AB是直径，CE论满足上述哪个条件“直径平分
解：如答图，连接OC.设圆的半径为r，
则OC = OB = r.
∵AB是直径，CD⊥AB，CD = 8，

∴CE = DE = = ，∠OEC = 90°.

∵BE = 2，∴OE = OB - BE = r - 2.
在Rt△OCE中， + = ，
即 + −
应该是“圆周角相等➝对应圆心角相等➝对应弧相等或弦相等”.
1. （2023深圳）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，C为圆上一
点，∠BAC的平分线与⊙O交于点D，连接CD，若∠ADC = 20°，则
∠BAD =
35° .
2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA = DC，∠CBE = 50°，则
在同圆或等圆中，对应的两条
弦、两条弧、两个圆心角的关
系可以总结为“一等皆等”
吗？ （提示：可以）
解：在Rt△ABC中，AB = BC = ，∴ =
（ ） + （ ） = .
在Rt△ADC中，AD = 1，AC = 2，
∴ =
− =
.
方法总结
圆周角定理及其推论证明中的注意事项
结 量相等，那么它们所对应的其他各组量都
三、圆周角定理及其推论
类别
圆周角定理
一条弧所对的
推论一
推论二
推论三
半圆 （或直径）
同弧或等弧 所 对 的 圆 周 角
圆周角等于它
圆内接四边形
.90°
定理
所对的圆周 是直角
所对的圆心角
的对角 互补
角 相等
的圆周角所对的
的 一半
直径
弦是
类别
圆周角定理
෣
∵ ��
B. 30°
C. 35°
D. 40°
4.（人教版九上P85题2）如图，AB是⊙O的直径，∠BOC = 35°，
෢ =
෢ = ，则∠AOE
෢

= 75°.
5. 往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示.若
水面宽AB = 48 cm，则水的最大深度为 16 cm.
6. 如图，已知AB是⊙O的直径，∠B = 30°.
෢
，
∠BAC
符号
表示 ∴
= ∠BOC

图示
推论一
=
推论二
推论三
∵点A，B，
∵AD是直径，
C，D在⊙
∠B = ∠C
∴
上，
=
90°
෢
෢
∵ = ，
∠B + ∠D =
∴
∠A = ∠D
∵∠B = 90°或
∴
180°，
∠C = 90°，
∠ + ∠ =
AD是直径
∴
180°
1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B = 108°，则∠D的大小为
力.
圆的基本性质
目
录
1
立标明方向
2
循本知脉络
3
精讲通考点
4
精练化方法
5
课后作业
◉理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的
概念；探索并了解（新课标改为：掌握）点与圆的位置关系.
◉*（新课标已删除）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦以及弦所对的两条弧.
◉探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）
60°.
120°，∠ABC =
（3）若BC是⊙O的直径，则∠BAC = 90°，∠ABC = 45°.
（4）（人教版九上P83题2改编）如图2，在（3）的前提下，过点O
作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，判断四边形ADOE的形
状，并说明理由.
解：四边形ADOE是正方形，理由如下：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
3.（人教版九上P87 例4改编）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为
⊙O的直径，DB平分∠ADC.
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明.
在同圆或等圆中，当圆周角对应相
等时，不能直接得圆周角所对弦相
等或弧相等，见下方方法总结.
3.（人教版九上P87 例4改编）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为

之一.如图，利用勾股定理可得

弦心距l之间可以“知二得一”.

+ = .所以半径r，弦长a，
2.（原创）如图1，△ABC内接于⊙O，AB = AC，连接OB，OC.
50°，∠ABC = 77.5°
（1）若∠BAC = 25°，则∠BOC =
，
12.5° .
∠ABO =
（2）若∠BAC = 60°，则∠BOC =