2020年高考数学压轴题专题复习： 以形助数,“数题形解”【解析版】

第五章 数形结合思想的应用
专题 以形助数，“数题形解”
1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．
（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
3．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；
（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；
（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．
本专题通过例题重点说明说明“以形助数，数题形解”这类问题的方法与技巧.
【压轴典例】
例1. （2019·江苏扬州中学高二期中）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为
椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为（ ） A ．
1
3
B ．
12
C ．
32
D ．
63
【答案】A 【解析】
如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接GI 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E ，
设点00(,)P x y ，12(c,0),(,0)F F c -，则00,OE x PE y ==，
因为G 为12PF F ∆的重心，所以00
(,)33x y G ， 因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03
x
ON =，
因为PM 为12F PF ∠的角平分线，
则有0
1212122()()23
x PF PF F N NF FO ON OF ON ON -=-=+--==， 又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x x
PF a PF a =+=-， 又由角平分线的性质可得，
011
223=3
x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +- 所以得03cx
OM a
=，
所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0
(3)3a c x ME OE OM a
-=-=，
所以
3IN MN a c PE
ME
a c -=
=
-，即0
()3a c y IN a c
-=-， 因为1212121211
()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=
++= 即00()11(22)
(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得1
3
c a =，所以答案为A. 例2.（2018·四川高考模拟（文））过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a
+=
的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线2
3:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若
10,MF MN +=u u u u r u u u u r r
则曲线1C 的离心率为（ ）
． A ．
51
2
+ B ．5
C ．
21
2
+ D ．2
【答案】A 【解析】
设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．
因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为2
4y cx =．
因为10MF MN +=u u u u v u u u u v v ， 所以1MF MN NM
=-=u u u u v u u u u v u u u u v ， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F n 的中位线， 所以OM ∥2NF ．
因为|OM |=a ，所以2
2NF a =． 又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()
22
1222NF c a b =
-=．
设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=，
所以2x a c =-．
过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ，
在1Rt F PN n 中，由勾股定理得222
11||+||||F P PN F N =，
即222
44y a b +=，
所以2
2
2
4(2)44()c a c a c a -+=-，
整理得210e e --=，解得51
2
e +=． 故选A ．
例3．（2019·江苏启东中学）设P 是椭圆22195
x y +=上一点，,M N 分别是两圆()22
1:21C x y ++=和
()222:21C x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（ ）
A ．4，8
B ．2，6
C ．6，8
D ．8，12
【答案】A 【解析】
根据题意作出如下图像，其中12,F F 是椭圆的左，右焦点，
在1PMF V 中可得：1111PF PM PF -≤≤+…①, 当且仅当
1,,P M F 三点共线时，等号成立， 在2PNF V 中可得：2211PF PN PF -≤≤+…②，当且仅当2,,P N F 三点共线时，等号成立， 由①+②得：12121111PF PF PM PN PF PF +--≤+≤+++，
由椭圆方程22
195
x y +=可得：29a =，即3a =
由椭圆定义可得：1226PF PF a +==，
所以12121111PF PF PM PF PF +--≤≤+++可化为：48PM ≤≤. 故选：A.
例4.（浙江省金华十校2019届高三上期末）已知向量，满足：
，
，
，且
，则
的最小值为 A ．
B ．4
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
由题意可知，把看作
，
，，
则可表示为
，点B 在直线上，
设
，
，
，，
，
，
，
则
的最小值可转化为在直线
取一点B ，使得最小， 作点C 关于的对称点，
则
最小值即可求出
，
设，
由，解得，，
则，
故的最小值为．
故选：A．
例5. （浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考）定义在上的偶函数满足：当时有，且当时，，若方程恰有三个实根，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
因为当时，，设，
则，所以，又，所以
，可作出函数在上的图象，又函数为偶函数，可得函数在
的图象，同时作出直线，如图：
方程恰有三个实根即与图象有三个交点，
当时，由图象可知，当直线过，即时有4个交点，当直线
过，即
时有2个交点，当
时有3个交点，同理可得当
时，满足
时，直线
与
有3个交点.
故填
.
例6.（2018·上海华师大二附中高二期末）已知()200,0x b ab a b +-=>>，当ab 取得最小值时，曲线
1x x y y a
b
-
=上的点到直线2y x =的距离的取值范围是_________. 【答案】(26
0,]3
【解析】
∵()200,0x b ab a b +-=>>，
222ab a b ab ∴=+≥，化为(22)0ab ab -≥，
22ab ∴≥，解得8ab ≥．
当且仅当24b a ==时取等号． ∴曲线为
4
12
x x y y -
=．
当0,
0x y ≥≥时，曲线化为22
124
x y -=；
当0,
0x y ≥≤时，曲线化为22
124
x y +=；
当0,
0x y ≤≥时，曲线化为22
124x y --=，此时无图像，应舍去；
当0,
0x y ≤≤时，曲线化为22
124
x y -+=；
画出图形：
由图形可知：直线2y x =分别是曲线22124x y -=，曲线22
124
x y -+=的渐近线．
因此点到直线2y x =的距离0d >．
设直线2y x m =
+与曲线22
124
x y +=（0,
0x y ≥≤），相切，
联立22
224
y x m
x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，化为2242240x mx m ++-=， 令()
2
2
81640m m
∆=--=，解得22m =-，
∴切线为222y x =
-．
两平行线222y x =
-，2y x =的距离|022|26
33
d +=
=， ∴曲线
1x x y y a
b
-
=上的点到直线2y x =的距离取值范围是(26
0,
]3
． 故答案为：(26
0,
]3
． 例7. 2018届云南省昆明市第一中学高三第六次月考】已知函数，若两个正数，
满足，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】由
可得，
，
即对恒成立，所以在实数上单调递增.
因为，由可得，
由题意可得，画出、的可行域，
则可看作区域内点与定点的斜率.
直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，
故选C．
例8.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．
（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证AC⊥平面PDO；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；
（Ⅲ）若2BC =
，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）262
+． 【解析】
解法一：（Ⅰ）在AOC ∆中，因为,OA OC D =为AC 的中点，所以AC DO ⊥
又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥因为DO PO O =I ，所以AC ⊥平面PDO . （Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为
1
2112
⨯⨯= 又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为11113
3
⨯⨯=
（Ⅲ）在POB ∆中，1,90PO OB POB ==∠=o
，
所以22
112PB =+=
,同理2PC =，所以PB PC BC ==
在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示.当,,O E C '共线时，CE OE +取得最小值
又因为,OP PB C P C B ''==，所以OC '垂直平分PB ，
即E 为PB 中点从而26
22OC OE EC ''=+=
+26
2
+=， 亦即CE OE +的最小值为
26
2
+.
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一.
（Ⅲ）在POB ∆中，1,90PO OB POB ==∠=o ，所以2245,112OPB PB ∠==+=o ，同理2PC =
所以PB PC BC ==，所以60CPB ∠=o .在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示.当,,O E C '共线时，CE OE +取得最小值. 所以在OC P '∆中，由余弦定理得：
212212cos(4560)OC '=+-⨯⨯⨯+o o 2123
1222(
)2222
=+-⨯-⨯23=+ 从而26232OC +'=+=
所以CE OE +的最小值为26
2
+. 【压轴训练】
1．（浙江省2019届高三高考全真模拟（二)）在ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，2BA BC +=uu r uu u
r ，且
23
3
B π
π
≤≤
，则BA BC u u u v u u u v ⋅的取值范围是（ ） A ．[2,1)- B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．22,
3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
D ．22,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
【答案】D 【解析】
()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，以,BC BA 为邻边作平行四边形
BCDA ，如下图：
所以BC BA BD +=u u u r u u u r u u u r ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥u u u r u u u r
,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ⋂=，
2BA BC +=uu r uu u r ，所以=21BD BO ⇒=u u u r
，在Rt BOA ∆中，
1cos cos
2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos
2
ABC
y ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=
⋅∠+∠u u u v u u u v ， 设211
cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈-Q ，
所以当11[,]22x ∈- 时，'
22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故
2[2,]3
y ∈-，因此本题选D.
2．（浙江省2019届高考模拟卷（三)）如图，是以
直径的圆上的动点，已知
，则
的
最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，
连接CB，则CB AC，
过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，
又知当D、C在AB同侧时，取最大值，
设D在OE的投影为N，
当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，
由向量的几何意义可知，=，最大时为，
又OM=cosθ, ∴cosθ，
∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，
∴ 的最大值为.
故选A.
3.（福建省福州市2019届高三上学期抽测）如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意可知f（x），
不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），
令g（x）＝x2﹣x﹣f（x）
，
可得g（x）的大致图象，如图所示，
又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，
∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，
则﹣2≤a＜1，
即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．
故选：B．
4.（浙江省嘉兴市2019 届高三上期末）已知向量，满足，，则的取值范围是（）
A． B． C．[ D．[
【答案】D
【解析】
设点M，为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意
，根据椭圆的定义得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为.
,即.
故答案为：D.
5.（浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末）如图，在三棱柱中，点在平面内运动，使得二面角的平面角与二面角的平面角互余，则点的轨迹是( )
A．一段圆弧 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．双曲线的一支
【答案】D
【解析】
不妨令三棱柱为直三棱柱，且底面是以为直角的直角三角形，令侧棱长为m,以B的为坐标原点，BA方向为x轴，BC方向为y轴，方向为z轴，建立空间直角坐标系，
设，所以，过点作以于点，作于点，
则即是二面角的平面角，即是二面角的平面角，
所以，
又二面角的平面角与二面角的平面角互余，所以，即，所以，因，所以,
所以有，所以，即点Q的轨迹是双曲线的一支，所以点的轨迹是双曲线的一支.故选D
6.（2018届江西省南昌市高三第一次模拟）设函数，若的最大值不超过1，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，，
绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，
据此排除B选项；
当时，，
绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，
据此排除CD选项；
7. 对任意,直线与圆交于不同的两点,且存在使
(是坐标原点)成立,那么的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将直线方程代入圆的方程得:,
则由得恒成立,即.
设点则,,
即,
平方得0,即,
即，
即,
即有解,即，即,
综上可知:.
本题选择C选项.
8.（2019·江西高考模拟（理））已知函数，若关于的方程
有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
方程等价于
或或，即或或，
所以．
∵，
∴，
∴当时，单调递减；当时，单调递增．
∴当时，取得最小值，且．
画出函数的图象，如下图所示．
于是可得，当时，恒成立．
由图象可得，要使方程有且仅有两个不同的整数解， 只需，即，
解得
，
∴实数的取值范围是．
故选A ．
9.（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考）已知数列{}n a 满足：
11
02
a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ）
A ．2019102a <<
B ．
20191
12a << C ．2019312a << D ．20193
22
a <<
【答案】B 【解析】
考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<， 由'
11()1022x
f x x x
-=-
=>--可得()f x 在()0,1单调递增， 由'
()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减
且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：
且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=
，211()(0)2
a f a f =>>，
图象可得1231
012
n a a a a <<<<<<<<L L ， 所以
20191
12
a <<，故选B. 10．（浙江省温州九校2019届高三第一次联考）若对
恒成立，则实数的
取值范围为_______ 【答案】
【解析】
，
故考虑利用数形结合解题，其几何意义为顶点为
的字形在
时 始终夹在
和
之间，如图1和图2 所示，为两种临界状态.
首先就是图1 的临界状态，此时字形右边边界与相切，联立直线方程和抛物线方程可得，此时而图2 的临界状态显然
综上实数的取值范围为.
即答案为.
11.（浙江省杭州高级中学2019届高三上期中）已知函数. 设关于的不等式
的解集为，若，则实数的取值范围是___.
【答案】
【解析】
由于f（x），
关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为M，若[，]⊆A，
则在[，]上，函数y＝f（x+a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．
当a＝0时，显然不满足条件．
当a＞0时，函数y＝f（x+a）的图象是把函数y＝f（x）的图象向左平移a个单位得到的，
结合图象（右上方）可得不满足函数y＝f（x+a）的图象在函数y＝f（x）的图象下方．
当a＜0时，如图所示，要使在[，]上，
函数y＝f（x+a）的图象在函数y＝f（x）的图象的下方，
只要f（a）＜f（）即可，
即﹣a（a）2+（a）＜﹣a（）2，
化简可得a2﹣a﹣1＜0，解得a，
故此时a的范围为（，0）．
综上可得，a的范围为（，0），
故答案为：（，0）．
12.（2012·上海高考真题（理））如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .
【答案】
【解析】
作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ，由题设，B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，所以BE =CE . 取BC 中点F ，
连接EF ，则EF ⊥BC ，EF =2，
，四面体ABCD 的体积
，显然，当E 在AD 中点，即B 是短轴端点时，BE 有最大值为b =
，
所以
.
13.（上海市2019年高二下检测）关于x 的方程21x x m +=+有一个实数解，
则实数m 的取值范围是______. 【答案】m 1≥-． 【解析】
∵关于x 的方程x+12m x =
+有一个实数解，
故直线y ＝x +1的图象和函数y 2m x =
+的图象有一个交点．
在同一坐标系中分别画出函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象．
由于函数y 2m x =
+，
当m=0时，y 22m x x x =
+==和直线y ＝x +1的图象如图：
满足有一个交点； 当m>0时，y 2m x =
+n y 2﹣x 2
＝m(y>0)
此双曲线y 2﹣x 2＝m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 双曲线y 2﹣x 2＝m 的顶点坐标为（0，m ）， 如图：只要m>0，均满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =
+的图象有一个交点，
当m<0时，y 2m x =+n x 2﹣y 2
＝﹣m(y>0)，
此双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的渐近线方程为y ＝±
x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 而双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的顶点坐标为（m ±-，0），如图：
当1m -≤时，满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象有一个交点，
即当1m 0-≤<时符合题意； 综上： m 1≥-， 故答案为：m 1≥-．
14.（湖北省黄冈市2019届高三元月调研）关于的实系数方程的一个根在
内，另一
个根在内，则
的值域为______．
【答案】
【解析】 令
，
由方程的一个根在内，
另一个根在内，
则有，画出的区域，
如图所示，的区域不含边界．
其中，、、，
令，
平移，
当，时，，取得最小值，
当，时，，取得最大值；
故的值域为；
故答案为．
15.（2018届江苏省宿迁市高三第一次模拟）已知函数，函数，则不等式的解集为_______.
【答案】
【解析】因为，，故是偶函数，
故可画出的图像，
令
故解集为. 故答案为：
.
16.（2018届北京市昌平区高三上期末）若函数()4,3,{
log ,3
a x x f x x x -+≤=> （0a >且1a ≠）
，函数()()g x f x k =-.
①若1
3
a =
，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 [)1,1- (]
1,3 【解析】①a=
1
3
时，画出函数f （x ）的图象，如图所示：
若函数g （x ）无零点，则y=k 和y=f （x ）无交点， 结合图象，﹣1≤k＜1；
②若0＜a ＜1，显然f （x ）无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得：a=3， 故a ∈（1，3]；
故答案为：[﹣1，1），（1，3]．
17．（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考）已知非零平面向量,a b r
r 不共线，
且满足24a b a ⋅==r r r ，记31
44
c a b =+r r r ，当,b c r r 的夹角取得最大值时，||a b -r r 的值为______．
【答案】4 【解析】
由非零平面向量,a b r r 不共线，且满足24a b a ⋅==r r r ，建立如图所示的平面直角坐标系：
则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==r r ，由3144c a b =+r
r r ，则(2,)4
b C ，
则直线,OB OC 的斜率分别为,28
b b
，
由两直线的夹角公式可得：
333
28tan BOC 848122822
b b b b b b b b -
∠==≤=+⨯+⨯，
当且仅当82b
b =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-r r ，
所以||4a b -=r
r ，故填：4.
18. （2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知函数()2
1
,()2
f x x x a b a b R =+
-+∈，若[]1,1x ∈-时，() 1f x ≤，则1
2
a b +的最大值是_________. 【答案】12
- 【解析】
由() 1f x ≤得，21121x x a b +-+-≤≤，即221
112
x x a b x --≤-+≤-.即当[]1,1x ∈-时，1
2
y x a b =
-+的图像夹在21y x =--与21y x =-之间.双变量问题先固定一个变量值或者范围，在[]1,1x ∈-中移动12y x a b =-+的图像，可知可取1b =-，变化a ，移动1
2y x a b =-+的图像，由图可
知11a -≤≤，所以111112222
a b a b +≤+≤-=-，即12a b +的最大值为12-.移动1
2y x a b =-+的图
像，,a b 有无数种情况，但是最大值始终为12
a b +1
2=-.
故答案为：1
2
-.
19.（2018届甘肃省兰州市高三一诊）已知函数 .
（1）若图象上处的切线的斜率为，求
的极大值；
（2）
在区间
上是单调递减函数，求
的最小值.
【答案】（1）见解析.（2）. 【解析】 （1）∵，∴，
由题意得且， 即，解之得，
.
∴
，
，
令得，，
列表可得
+
-
+
极大值
极小值
∴当时，
取极大值.
（2）∵在
上是减函数， ∴在
上恒成立， ∴
，即
，
作出不等式组表示的平面区域如图
当直线
经过点
时，
取最小值.
20.（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为F 1
（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:2
2
2
(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=
5
2
． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .
因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=
52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253
()222
DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2
=a 2
−c 2
，得b 2
=3.
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +=，a =2，
因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.
将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2
+y 2
=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.
由22
()22116
y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得2
56110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-
代入22y x =+，得 12
5y =-， 因此1112
(,)55
B --.
又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3
(1)4
y x =-.
由22
14
33(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得2
76130x x --=，解得1x =-或137x =.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以1
x=-.
将1
x=-代入
3
(1)
4
y x
=-，得
3
2
y=-.
因此
3
(1,)
2
E--.
解法二：由（1）知，椭圆C：
22
1
43
x y
+=.
如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(−1，0)，由22
1
43
1
x
x y
⎧
⎪
⎨
+=
=-
⎪⎩
，得
3
2
y=±. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以
3
2
y=-. 因此
3
(1,)
2
E--.。