通州市兴仁中学高二数学期末模拟试卷(八)
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通州市兴仁中学高二期末复习考试
数学试卷(八)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,满分70分.
1、若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合,则p 的值为 . 2、如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ,方差为S 2 ,则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的方差为 .
3、已知函数)1,0(,1)2(log ≠>+-=a a x y a 的图象恒过定点A ,若点A 在直线01=++ny mx 上,其中
0>mn ,则
n
m 1
3+的最大值为 . 4.若框图所给的程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 . 5、“6
π
θ=
”是“()2
tan cos 23
θπθ=
-”的 条件. 6、若函数1()2
ax
f x x -=+在(,2)-∞-上单调递减,则实数a 的取值范围是 ;
7.某教师出了一份共3道题的测试卷,每道题1分,全班得3分,2分,1分,0分的学生所占比
例分别为30%,40%,20%,10%,若全班30人,则全班同学的平均分是 分. 8.命题 “对任意R x ∈,都有12
+x ≥x 2”的否定是 .
9、已知直线x y l =:1,x y l 2:2=,6:3+-=x y l 和l 4:0=y ,由1l ,2l ,3l 围成的三角形区 域记为D ,一质点随机地落入由直线l 2,l 3,l 4围成的三角形区域内,则质点落入区域D 内的概 率为 .
10、已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,02034104y x y x y x ,则函数f(x,y)=2x+y 的最大值是 .
11、当(1
2)x ∈,时,不等式2
40x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 . 12、圆心是C (2,-3),且经过原点的圆的一般方程是____ __ 13、直线l 经过A (2,1)、B (1,m 2)(m ∈R)两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围 是 .
14.给出以下四个命题:
①已知命题:,tan 2p x R x ∃∈=;命题2
:,10q x R x x ∀∈-+≥.则命题p 和q 都是真命题; ②过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=或2x+y=0; ③函数()ln 21f x x x =+-在定义域内有且只有一个零点; ④先将函数sin(2)3
y x π
=-
的图像向左平移
6
π
个单位,再将新函数的周期扩大为原来的两倍,则所得图像的函数解析式为sin y x =.
其中正确命题的序号为 .(把你认为正确的命题序号都填上)
二. 解答题 :本大题有6小题, 满分90分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15、(本题满分12分)已知一个动圆与圆C :22
(4)100x y ++= 相内切,且过点A (4,0),求这个动圆圆
心的轨迹方程。
16、(本小题满分15分)
一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.
(1) 若抛掷一次,求能看到的三个面上数字之和大于6的概率; (2) 若抛掷两次,求两次朝下面上的数字之积大于7的概率;
(3) 若抛掷两次,以第一次朝下面上的数字为横坐标a ,第二次朝下面上的数字为纵坐标b ,求点(b a ,)落在直线1=-y x 下方的概率.
17、(本题满分15分,第1小题10分,第2小题5分)
运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米, 按交通法规限制10050≤≤x (单位: 千米/
小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油360
22
x +升, 司机的工资是每小时14元.
(1) 求这次行车总费用y 关于x 的表达式;
(2) 当x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值.
18、(本题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ,过点(02)P ,
且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ,. (1)求k 的取值范围;
(2)是否存在常数k ,使得向量OA OB +与PQ 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.
19、(本题15分)已知:A (1,5),B (7,1),P(1,2),O (0,0)
(1)求出直线AB 的一般式方程;
(2)若点C )(y x ,在线段..OP 上,且CB CA t ⋅=,求t 的最大值和最小值,并求当t 取得最大值和最小值时,ABC ∆的面积S ; 20.(本题满分16分)
设函数3()f x ax bx c =++是定义在R 上的奇函数,且函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为
32y x =+.
(1)求,,a b c 的值;
(2)若对任意(0,1]x ∈都有()k
f x x
≤成立,求实数k 的取值范围;
通州市兴仁中学高二期末复习考试
数学试卷(八)答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,满分70分.
1、若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合,则p 的值为 4 . 2、如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ,方差为S 2 ,则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的方差为 2
9S .
3、已知函数)1,0(,1)2(log ≠>+-=a a x y a 的图象恒过定点A ,若点A 在直线01=++ny mx 上,其中
0>mn ,则
n
m 1
3+的最大值为 16- . 4.若框图所给的程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 11k <或 10k ≤ . 5、“6
π
θ=
”是“()2
tan cos 23
θπθ=
-”的 充分不必要 条件. 6、若函数1()2
ax
f x x -=
+在(,2)-∞-上单调递减,则实数a 的取值范围是
1
2a >-
;
7.某教师出了一份共3道题的测试卷,每道题1分,全班得3分,2分,1分,0分的学生所占比
例分别为30%,40%,20%,10%,若全班30人,则全班同学的平均分是 1.9 分.
8.命题 “对任意R x ∈,都有12
+x ≥x 2”的否定是存在R x ∈,使得
12
+x <x 2. 9、已知直线x y l =:1,x y l 2:2=,6:3+-=x y l 和l 4:0=y ,由1l ,2l ,3l 围成的三角形区
域记为D ,一质点随机地落入由直线l 2,l 3,l 4围成的三角形区域内,则质点落入区域D 内的概
率为 41
.
10、已知实数y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,02034104y x y x y x ,则函数f(x,y)=2x+y 的最大值是 7.5 .
11、当(1
2)x ∈,时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 5-≤m . 12、圆心是C (2,-3),且经过原点的圆的一般方程是____
0642
2=+-+y x y x __ 13、直线l 经过A (2,1)、B (1,m 2)(m ∈R)两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围
是 )
,2(]4,0[ππ
π⋃ .
14.给出以下四个命题:
①已知命题:,tan 2p x R x ∃∈=;命题2
:,10q x R x x ∀∈-+≥.则命题p 和q 都是真命题; ②过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=或2x+y=0;
③函数()ln 21f x x x =+-在定义域内有且只有一个零点; ④先将函数sin(2)3
y x π
=-
的图像向左平移
6
π
个单位,再将新函数的周期扩大为原来的两倍,则所得图像的函数解析式为sin y x =.
其中正确命题的序号为 ①②③④ .(把你认为正确的命题序号都填上)
二. 解答题 :本大题有6小题, 满分90分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15、(本题满分12分)已知一个动圆与圆C :22
(4)100x y ++= 相内切,且过点A (4,0),求这个动圆圆
心的轨迹方程。
解:设动圆圆为M(x,y),半径为r,那么;||10||||10||MC r
MC MA MA r =-⎧⇒+=⎨
=⎩
,|AC||=8
因此点M 的轨迹是以A 、C 为焦点,长轴长为10的椭圆.
a=5,c=4,b=3,其方程是:22
1259x y +=.
16、(本小题满分15分)
一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.
(1) 若抛掷一次,求能看到的三个面上数字之和大于6的概率; (2) 若抛掷两次,求两次朝下面上的数字之积大于7的概率;
(3) 若抛掷两次,以第一次朝下面上的数字为横坐标a ,第二次朝下面上的数字为纵坐标b ,求点(b a ,)落在直线1=-y x 下方的概率.
解:(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A ,
抛掷这颗正四面体骰子,抛掷后能看到的数字构成的集合有{2,3,4},{1,3,4},
{1,2,4},{1,2,3},共有4种情形,其中,能看到的三面数字之和大于6的有3
种,则4
3
)(=
A P ; (2)记事件“抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于7”为
B ,
两次朝下面上的数字构成的数对有共有16种情况,其中能够使得数字之积大于7的为(2,
4),(4,2)(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共6种,
则P (B )=
8
3
166=. (3)记事件“抛掷后点(b a ,)在直线1=-y x 的下方”为C ,
要使点(b a ,)在直线`1=-y x 的下方,则须1-<a b ,
当1=b 时,3=a 或4;当2=b 时,4=a ,则所求的概率P (C )=
16
3. 17、(本题满分15分,第1小题10分,第2小题5分)
运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米, 按交通法规限制10050≤≤x (单位: 千米/
小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油360
22
x +升, 司机的工资是每小时14元.
(1) 求这次行车总费用y 关于x 的表达式;
(2) 当x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值.
解: (1) 设行车所用时间为)h (x
130t = ]100 ,50[,13014)3602(21302∈⨯++⨯⨯=x x
x x y
所以, 这次行车总费用y 关于x 的表达式是
]100,50[x ,x 3601302x 18130y ∈⨯+⨯=
(或:,x 1813
x 2340y +=]100,50[x
∈ (2)1026360
130
218130≥⨯+⨯=x x y ,]100,50[x
∈ 仅当1018,360
130218130=⨯=⨯x x x 即时,
上述不等式中等号成立
答:当x 约为56.88km/h 时, 行车的总费用最低, 最低费用的值约为82.16元
18、(本题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ,过点(02)P ,
且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ,. (1)求k 的取值范围;
(2)是否存在常数k ,使得向量OA OB +与PQ 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)圆的方程可写成22
(6)4x y -+=,所以圆心为(60)Q ,, 过(02)P ,
且斜率为k 的直线方程为2y kx =+. 代入圆方程得2
2
(2)12320x kx x ++-+=, 整理得2
2(1)4(3)360k x k x ++-+=. ① 直线与圆交于两个不同的点A B ,等价于
2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->,
解得304k -
<<,即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭
,. (Ⅱ)设1122()()A x y B x y ,,,,则1212()OA OB x x y y +=++,, 由方程①,
122
4(3)
1k x x k -+=-
+ ②
又1212()4y y k x x +=++. ③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-,,,,,.
所以OA OB +与PQ 共线等价于12122()6()x x y y -+=+, 将②③代入上式,解得3
4
k =-
. 由(Ⅰ)知304k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
,,故没有符合题意的常数k
19、(本题15分)已知:A (1,5),B (7,1),P(1,2),O (0,0)
(1)求出直线AB 的一般式方程;
(2)若点C )(y x ,在线段..OP 上,且CB CA t ⋅=,求t 的最大值和最小值,并求当t 取得最大值和最
小值时,ABC ∆的面积S ; 解:(1)327115---==
AB K ,由点斜式,得)(=-13
2
5--x y 所以直线AB 的一般式方程为:01732=-+y x -------------------------------------------2分
(2)由题意,得直线OP 的方程为x y 2=,∵点C ),(y x 在线段OP 上,∴x y 2=,,10≤≤x
)1,7()5,1(y x CB y x CA --=--=, ,
8
)2(512205512)2(785678)1)(5()7)(1(22
2222--=+-=+-++-=+-++-=--+--=⋅=∴x x x x x x x y y x x y y x x CB AB t
∴函数t 是对称轴为2=x 的二次函数
∴函数t 是]1,0[∈x 上的单调递减函数 ∴3)1(min ,12)0(max -====t t t t
),
,(时,点当213max C t -=它到直线01732=-+y x AB :的距离2
2
3
2|
172312|+-⨯+⨯=d =
13
9
又132)51()17(22=-+-=AB , 913213
92121=⋅⋅=⋅⋅=
∴AB d S 当的距离:它到直线时,点01732),0,0(12max
=-+=y x AB C t
13
1713170=-=||d 17132131721=⋅⋅=∴S
综上所述:当S =9时,CB CA t ⋅=的取得最小值-3 当S =17时,CB CA t ⋅=取得最大值12
20.(本题满分16分)
设函数3()f x ax bx c =++是定义在R 上的奇函数,且函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为
32y x =+.
(1)求,,a b c 的值;
(2)若对任意(0,1]x ∈都有()k
f x x
≤
成立,求实数k 的取值范围; 解:解:(Ⅰ)∵ 函数3()f x ax bx c =++是定义在R 上的奇函数,
∴ ()()f x f x -=-
∵ 33()()()a x b x c ax bx c -+-+=-++ ∴ 0c =.
又()f x 在1x =处的切线方程为32y x =+, 由2'()3f x ax b =+
∴ '(1)3f =,且(1)5f =, ………………………………………2分
∴ 335a b a b +=⎧⎨+=⎩得1
6a b =-⎧⎨=⎩
………………………………5分
(Ⅱ)3
()6f x x x =-+
依题意3
6k
x x x
-+≤
对任意(0,1]x ∈恒成立, ∴ 4
26x x k -+≤对任意(0,1]x ∈恒成立, ………………………………7分 即 2
2
(3)9k x ≥--+对任意(0,1]x ∈恒成立,
∴ 5k ≥. ………………………………10分。