高一数学l衔接

泰 安 一 中 初高中数学教学衔接教材
前 言
亲爱的泰安一中新高一的同学们：
祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。

由于课程改革，目前我市初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。

面对教学中将存在的问题，老师加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，本教材分代数部分与几何部分，我们先印发了代数部分，希望大家将空余时间利用起来，认真自学本教材，愿大家为新学期做好准备，一开学就能迅速适应高中学习。

1、乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。

乘法公式的几何意义
从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形， 上述操作所能验证的等式是 ( )
A 、2
2
))((b a b a b a -=-+
Ｂ、2222)(b ab a b a +-=- Ｃ、2222)(b ab a b a ++=+
Ｄ、)(2b a a ab a +=+
完全平方公式： 1.将字母看作非负数；
2.平方式构造正方形，底数即为边长；
3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽。

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；
（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。

例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++。

解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242
(1)(1)x x x -++=61x -。

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -。

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值。

解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=。

练习：
1．填空：（1）221111
()9423
a b b a -=+（ ）；
（2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )。

2．选择题：（1）若21
2
x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）
A 、2m
B 、214m
C 、213
m D 、21
16m
（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）
A 、总是正数
B 、总是负数
C 、可以是零
D 、可以是正数也可以是负数
3、计算：
（1）103×97
（2）1999199719982
⨯-
（3）(1－2x )(1＋2x ) (2
41x +)(4
161x +)
222()2;a b a ab b +=+
+
4、找规律与为什么
观察下列等式：1012
2
=-，3122
2
=-，5232
2
=-，7342
2
=-，… … 用含自然数n 的等式表示这种规律:_______________________________ 并证明这一规律。

5、观察下列等式：,......122535,62525,22515222=== 个位数字是5的两位数平方后，末尾两个数有什么规律？ 你能证明这一规律吗？
6、一个特殊的式子
7．2)32(c b a --=__________________________________
2、分解因式
因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法。

1、提取公因式法
例1分解因式：()()b a b a -+-552 解：
课堂练习：
一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。

2、()()()∙-=-+-y x x y n y x m __________________。

3、()()()∙-=-+-222y x x y n y x m ____________________。

4、()()()∙--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。

5、()()∙--=++---z y x z y x z y x m ______________________。

6、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________。

7．计算99992+=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、()b a ab ab b a -=-24222（
） 2、()b a m m bm am +=++（ ） 3、()
5231563223-+-=-+-x x x x x x （ ） 4、()111+=+--x x x x n n n （
） 11已知：=2，求：的值。

x x
+
22x x
+
11变式：=2，求：的值。

x x
-
2
2x x
+
再变：=2，求：的值。

1x x +221x x +
2、公式法
例2 分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+ 解：
课堂练习
一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是_____________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、()⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.09422
2x x x x （ ）
2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-（ ）
3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-（ ）
4、()
()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222（ ）
5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22（ ） 五、把下列各式分解
1、()()229n m n m ++--
2、3
1
32-x
3、()
2
2244+--x x 4、1224+-x x
3、分组分解法
例3 （1）x y xy x 332-+- （2）32933x x x +++
总结：分组后能提取公因式或分组后能直接运用公式。

课堂练习：用分组分解法分解多项式
（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）91264422++-+-b a b ab a
4、十字相乘法
原理： （1）2()x p q x pq +++型的因式分解
2()()()x p q x pq x p x q +++=++
（2）一般二次三项式2
ax bx c ++型的十字相乘因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成
11
2
2
a c a c ⨯
，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2
ax bx c ++的一次项系数b ，那么2
ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
例4.分解因式：（1）2x －3x ＋2； （2）2x ＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-。

解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是
x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有2x －3x ＋2＝(x －1)( x －2)。

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）。

（2）由图1．1－3，得2x ＋4x －12＝(x －2)( x ＋6)。

（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --
（4）1xy x y -+-＝x y ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）。

－1 －2
x x
图1．1－1
－1 －2
1 1
图1．1－2
－2 6
1 1
图1．1－3 －ay －by
x x
图1．1－4 －1 1
x y
图1．1－5
例5.把下列各式因式分解：
(1) 2
1252x x --
(2) 22568x xy y +-
解：(1) 2
1252(32)(41)x x x x --=-+
324
1-⨯
(2) 22
568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-
1 254y y -⨯
课堂练习
一、填空题：1、把下列各式分解因式： （1）=-+652x x ________________。

（2）=+-652x x ____________________。

（3）=++652x x ________________。

（4）=--652x x ____________________。

（5）()=++-a x a x 12____________。

（6）=+-18112x x __________________。

（7）=++2762x x _______________。

（8）=+-91242m m _________________。

（9）=-+2675x x _______________。

（10）=-+22612y xy x _______________。

2、()() 3 42++=+-x x x x 3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x ，（5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2） B 、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式22338b ab a -+得（ ） A 、()()3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+-
3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ） A 、()()2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a
4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）
A 、10=a ，2=b
B 、10=a ，2-=b
C 、10-=a ，2-=b
D 、10-=a ，2=b
5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9±
三、把下列各式分解因式
1、()()3211262
+---p q q p 2、22365ab b a a +-
3、6422--y y
4、8224--b b
5、关于x 的二次三项式2ax +b x +c (a ≠0)的因式分解。

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --。

例 6 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）
2244x xy y +-。

解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，
∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x ++。

（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，
∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++。

6．拆、添项法
例7、分解因式3
2
34x x -+
分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
解： 3
2
3
2
34(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--
22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-
说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成2
24x x -，将多项式分成
两组32
()x x +和2
44x -+．
7．待定系数法
例8、分解因式2
2
2456x xy y x y +--+-
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
练习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：
（1）x 2＋6x ＋8= （2）8a 3－b 3=
（3）x 2－2x －1 （4）4(1)(2)x y y y x -++-。

习题1（前2节）
1．分解因式： （1）31a +=
（2）424139x x -+；
（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-。

2．在实数范围内因式分解：
（1）253x x -+ ； （2）23x --；
（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+。

3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状。

3、二次根式
0)a ≥的代数式叫做二次根式。

根号下含有字母、且不能
够开得尽方的式子称为无理式。

例如 32a b
212
x +
+，22x y + 1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。

为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有
理化因式，例如与，与，与，
b 与
b 互为有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，
0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。

2a ==,0,
,0.a a a a ≥⎧⎨
-<⎩
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1 （20)a ≥； （30)x <。

例2 (3。

例3 试比较下列各组数的大小：
（1 （2
例4 化简：20042005⋅。

例 5 化简：（1
； （2
1)x <<。

解
：（1
）
原
式
=
=
25)
=2=
2
=。

（2）
例 6
已知
x y
==
2235
3x xy y -+的值 。

解：∵
22
10
x y +
==+=，
1xy =
=， 22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=。

4、分 式
1．分式的意义：形如
A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A
B 为分式。

当M ≠0时，分式A B
具有下列基本性质：A A M B B M ⨯=⨯；A A M
B B M ÷=÷。

2．繁分式：像a
b c d
+，2m n p
m n p
+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分
式。

繁分式是需要化简的。

例1 若54(2)2x A B
x x x x +=+++，求常数,A B 的值。

例2、化简
11x
x x x x
-+
-
例3、化简233396162279x x x x x
x x x ++-+-+--
例4（1）试证：
111(1)1
n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910
+++⨯⨯⨯ ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2
n n +++<⨯⨯+ 。

（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1
n n n n =-++（其中n 是正整数）成立。

（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++- 1110
=-＝910。

（3）证明：∵1112334(1)
n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121
n -+， 又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1 一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＜12。

例5.设a
c =ρ，且1>ρ，025222=+-a ac c ，求ρ的值。

解：在025222=+-a ac c 两边同除以22a ，得02522=+-ρρ，
∴(2ρ－1)( ρ－2)＝0，∴ρ＝12
＜1（舍去），或ρ＝2。

∴ρ＝2。

练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)
n n =+ (112n n -+)； 2．选择题：若223x y x y -=+，则x y
＝（ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）65
3．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y -+的值。

4、若
2
2442--+=-x b x a x x ，则22b a +的值是 5、计算1111 (12233499100)
++++⨯⨯⨯⨯。

5、一元二次方程
一、根的判别式
配方法可把一元二次方程2
ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）变为2224()24b b ac x a a
-+=① a ≠0，∴4a 2＞0。

于是
（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不
相等的实数根2,1x （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，原方程有两个等的实数根1x ＝
2x ＝－2b a
；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a
+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。

由此可知，一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。

综上所述，对于一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0），有
（1）当Δ＞0时，方程有两个不相2ax ＋b x ＋c ＝0等的实数根2,1x ＝
2b a
- （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，1x ＝2x ＝－2b a
； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。

（1）2x －3x ＋3＝0； （2）2x －ax －1＝0；
（3）2x －ax ＋(a －1)＝0； （4）2x －2x ＋a ＝0。

解：
说明：
1、在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。

分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题。

2、解一元二次方程的方法有什么：
二、根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根a
2ac 4b b x 221-±-=，
则有1222b b x x a a
-+===-；
221222(4)444b b ac ac c x x a a a
--====。

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是1x ,2x ，那么1x +2x ＝b a
-， 21x x ⋅＝c a。

这一关系也被称为韦达定理。

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋p x ＋q ＝0，若1x ,2x 是其两根，由韦达定理可知，1x +2x ＝－p ，21x x ⋅＝q ，即p ＝－(1x +2x )，q ＝21x x ⋅，
所以，方程2x ＋p x ＋q ＝0可化为2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0，由于1x ,2x 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程2x －
(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0。

因此有以两个数1x ,2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0。

例2已知方程2
560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。

解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7。

所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得1x ＝2，2x ＝－35。

解法二：设方程的另一个根为2x ，则 22x ＝－65，∴2x ＝－35。

由（－35）＋2＝－5k ，得 k ＝－7。

所以，方程的另一个根为－35
，k 的值为－7。

例3 已知关于x 的方程2x ＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值。

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值。

但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零。

解：设1x ,2x 是方程的两根，由韦达定理，得1x +2x ＝－2(m －2)，21x x ⋅＝m 2＋4。

∵21x ＋22x －21x x ⋅＝21，∴(1x +2x )2－3 21x x ⋅＝21，
即[－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0，解得m ＝－1，或m ＝17。

当m ＝－1时，方程为2x ＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m ＝17时，方程为2x ＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去。

综上，m ＝17。

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。

（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零。

因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。

例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数。

分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数。

也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。

解法一：设这两个数分别是x ，y ，则⎩⎨⎧==+）（）（2-12
xy 14y x 解得： ∴112,6,
x y =-⎧⎨=⎩ ，226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6。

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根。

解这个方程，得1x ＝－2，2x ＝6。

所以，这两个数是－2和6。

说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。

例5 若1x 和2x 分别是一元二次方程22x ＋5x －3＝0的两根。

（1）求|1x －2x |的值； （2）求2212
11x x +的值； （3）31x ＋32x 。

解：∵1x 和2x 分别是一元二次方程22x ＋5x －3＝0的两根，∴1252
x x +=-，1232
x x =-。

（1）∵| 1x －2x |2＝x 12+ x 22－2 21x x ⋅＝(1x +2x )2－421x x ⋅＝253()4()22
--⨯-＝254
＋6＝494， ∴|1x -2x |＝72。

（2）2222121212222222
1212125325()2()3()2113722439()9()24
x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-。

（3）31x ＋32x ＝(1x +2x 2)( 21x －21x x ⋅＋22x )＝(1x +2x )[ (1x +2x ) 2－321x x ⋅]
＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158。

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x 1和x 2分别是一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0），
则1x =
，2x =， ∴|1x -2x |
＝
=||
a ==。

于是有下面的结论：
若1x 和2x 分别是一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0），则|1x -2x |
＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）。

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。

例6 若关于x 的一元二次方程2x －x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围。

解：设1x ,2x 是方程的两根，则21x x ⋅＝a －4＜0，且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0。

由①得a ＜4，由②得a ＜174。

∴a 的取值范围是a ＜4。

练 习
1.选择题：（1
）方程2230x k -+=的根的情况是（ ）
（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根
（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14
，且m ≠0
2．填空:（1）若方程2x －3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则12
11x x +＝ 。

（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 。

（3）以－3和1为根的一元二次方程是 。

3.
|1|0b -=，当k 取何值时，方程k 2x ＋a x ＋b ＝0有两个不相等实数根？
4．已知方程2x －3x －1＝0的两根为1x 和2x ，求(1x －3)( 2x －3)的值。

三、一元高次方程的解法 含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。

一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为
一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。

例7、解方程 （1）x 3+3x 2-4x=0 （2）x 4-13x 2
+36=0
解：（1）原方程可化为 x （x-1）（x+4）=0,41-=∴x ,02=x ,13=x
（2）原方程可化为（x 2-9）（x 2-4）=0；（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0 ,31-=∴x ,22-=x 23=x ，34=x
练习：解方程
（1）x 3+5x 2-6x=0
（2）（x 2-3x ）2-2（x 2-3x ）-8=0
6、二次函数
6.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质
问题1 函数y ＝a 2x 与y ＝2x 的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝22x ，y ＝12
2x ，y ＝－22x 的图象，通过这些函数图象与函数y ＝2x 的图象之间的关系，推导出函数y ＝a 2x 与y ＝2x 的图象之间所存在的关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝a 2x (a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到。

在二次函数y ＝a 2x (a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。

问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝a 2x 的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。

同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2
＋1与y ＝22x 的图象（如图2－2所示），从函数的图象我们
不难发现，只要把函数y ＝22x 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象。

这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特
点。

类似地，还可以通过画函数y ＝－32x ，y ＝－3(x －1)2
＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，
而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：
由于y ＝a 2x ＋bx ＋c ＝a (2x ＋b x a )＋c ＝a (2x ＋b x a ＋224b a
)＋c －2
4b a 224()24b b ac a x a a
-=++， 所以，y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝a 2x 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：
（1）当a ＞0时，函数y ＝a 2x ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为
2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a
-时，函数取最小值y ＝2
44ac b a
-。

（2）当a ＜0时，函数y ＝a 2x ＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为
2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a
-时，函数取最大值y ＝2
44ac b a
-。

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来。

因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。

例1 求二次函数y ＝－32x
图2.2-3 图2.2－5
当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。

解：
说明：1、从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。

2、要熟练二次函数配方过程与结果：y 224()24b b ac a x a a
-=++ 3、函数y ＝a 2x ＋bx ＋c 图象作图要领：
①确定开口方向：由二次项系数a 决定。

②确定对称轴：对称轴方程为a
b x 2-= ③确定图象与x 轴的交点情况：若△>0则与x 轴有两个交点，可由方程2x ＋bx ＋c=0求出；若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出；若△<0则与x 轴有无交点。

④确定图象与y 轴的交点情况,令x=0得出y=c ，所以交点坐标为（0，c ） ⑤由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图：（1）62--=x x y (2)122++=x x y (3) 12+-=x y
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
例3 把二次函数y ＝2x ＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值。

例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值。

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论。

解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝2x 的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；
（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；
（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；
（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0。

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论。

此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题。

练习 1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）
（A ）y ＝22x （B ）y ＝22x －4x ＋2 （C ）y ＝22x －1 （D ）y ＝22x －4x
（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝22x （ ）
（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y ＝22x －mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ 。

（2）已知二次函数y ＝2x +(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；
当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点。

（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，
①
图2.2－6
② ③
顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小。

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象。

（1）y ＝2x －2x －3； （2）y ＝1＋6 x －2x 。

4．已知函数y ＝－2x －2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
；
）（2x .1-≤2x .2≤）（；1x 2.3≤≤-）（；3x 0.4≤≤）（。

6.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)；
2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )。

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示。

为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数。

当抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有a 2x ＋bx ＋c ＝0。

①，并且方程①的解就是抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点； 反过来，若抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立。

（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；
反过来，若抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立。

（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；
反过来，若抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立。

于是，若抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0)，B (x 2，
0)，则x 1，x 2是方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的两根，所以x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a ，即b a
＝－(x1＋x2)，c
a
＝x1x2。

所以，y＝a2x＋bx＋c＝a(2b c
x x
a a
++)= a[2x－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－
x
1
)(x－x2)。

由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，
则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标。

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题。

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式。

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题。

因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题。

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。

例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式。

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
练习1.选择题:（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定
（2）函数y ＝－1
2
(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（ ）
（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)
2.填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a ≠0) 。

（2）二次函数y x 轴两交点之间的距离为 。

3.据下列条件，求二次函数解析式。

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)。

7、二元方程组
一、二元一次方程组
二元一次方程组关键在消元，消元有代入消元和加减消元。

例1 220210x y x y --=⎧⎨+-=⎩
二、二元二次方程组
方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。

其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项。

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。

一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。

例2 解方程组22440,
220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩
解：由第二个等式得22x y =+，代入第一个等式得 22(22)440y y ++-= 0,1y ∴=- 20x y =⎧∴⎨=⎩或0
1x y =⎧∴⎨=-⎩
例3解方程组7,
12.
x y xy +=⎧⎨=⎩
解法一：由①，得7.x y =- ③
把③代入②，整理，得27120y y -+= 解这个方程，得123,4y y ==。

把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =。

所以原方程的解是114,3x y =⎧⎨=⎩，；22
3,
4.x y =⎧⎨=⎩
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y 。

这个方程组的,x y 是一元二次方程27120z z --=的两个根， 解这个方程，得3z =，或4z =。

所以原方程组的解是114,3;x y =⎧⎨=⎩；22
3,
4.x y =⎧⎨=⎩
练习1．下列各组中的值是不是方程组2213,
5x y x y ⎧+=⎨+=⎩
的解?
（1）2,3;x y =⎧⎨=⎩ （2）3,2;x y =⎧⎨=⎩ （3）1,4;x y =⎧⎨=⎩ （4）2,3;x y =-⎧⎨=-⎩
2．解下列方程组:
（1）225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3）22
1,543;
x y y x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
（4）2
22
2,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
8、绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，
零的绝对值仍是零。

即,0,
||0,0,,0.
a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或⎪⎩⎪
⎨⎧≤-≥=）
（）（0a a 0a a a
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。

例1解不等式：1-x ＞4。

解法一（分类讨论）：
解法二（几何意义）：
解法三（公式法）：x a x a ≥⇔≥或x a ≤-；x a a x a ≤⇔-≤≤。

例2 解不等式：13x x -+-＞4。

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为
(1)(3)4x x ---->，
即24x -+＞4，解得x ＜0，
又x ＜1，∴x ＜0；
②若2x 1<≤，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，
∴不存在满足条件的x ；
③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4。

又x ≥3，∴x ＞4。

综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4。

解法二：
如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|。

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4。

由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧。

x ＜0，或x ＞4。

1 A 0 C |x －1| |x －3|
图1．1－1。