微分中值定理PPT学习教案

x0 x
x0 x
lim ex 1. x0 1
当x→0时，
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例6. 求
解:
原式
lim
x1
3x2 3 3x2 2x 1
lim 6x 3 x1 6x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
lim 6x
x1 6x 2
lim 6 1 x1 6
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0型 0
0 型
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例12. 求
lim
x0
1 x
1 ex 1
.
型
解:
lim
x0
1 x
1 ex 1
lim
x0
ex x 1 x(ex 1)
lim
x0
ex 1 xex ex 1
lim
x0
xex
ex
2ex
1. 2
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0
00
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 3 仍然成立.
对于 型未定式也有相应的洛必达法则.
2.
若 lim f (x) g(x)
仍属
型或
型,且
满足定理3的条件, 则
也就是说, 如果条件成立, 洛必达法则可以使用多次.
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例5. 求
0型 0
解: lim ex 1 lim ex 1
2) f (x)与 g(x) 在 (x0 ) 内可导,且
3)
lim
x x0
f (x) A g(x)
(A可以是有限数,也可以是∞ )
f (x)
f (x)
lim
lim
A
xx0 g(x) xx0 g(x)
(洛必达法则)
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洛必达法则
说明：
1. 定理 3 中x x0 换为
x x0 ,
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
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作业
P109：第2题
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柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠基人之一,他为微积 分所奠定的基础推动了分析的发展.
如果函数 f (x)满足:
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
ba
拉格朗日中值定理的几何意义是:
如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直 于x轴的切线，那么该曲线上至少有一点， 曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线.
定理3（柯西定理） 若函数f(x)与g(x)满足下列条件： (1) 在闭区间 [a , b] 上连续 (2) 在开区间 (a , b) 内可导
（3）在开区间(a , b) 内 g(x) 0 （4）g(a) g(b)
则在(a , b) 内至少存在一点 使得
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
证:如果a =b,不等式显然成立.考虑a≠b情形,不妨设a<b.
设
则f (x)在[a,b]上满足拉格朗日
中值定理条件, 因此应有
即 所以
故
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在拉格朗日中值定理中, 如果f (a) = f (a), 那么 这正是罗尔定理的结论. 所以罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.
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例15.
求
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
0型 0
解: 注意到
～
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 x 3x2
1
lim
x0
tan2 x 3x2
sec2 x 1 tan2 x
1 3
lim
x0
sin x
x
2
1 cos2
x
1 3
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说明:
1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x
x
lim cos x lim
x0
x0 sin x
1
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2.其他类型的未定式:
解决方法:
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例11. 求 lim xn ln x (n 0).
x0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
lim
x0
1 x
n xn1
lim ( xn ) 0 x0 n
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二、洛必达(L’Hospital第) 三章 法则
1.
0 0
和
型未定式
2.其他类型的未定式
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微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究: 函数之商的极限
( 或 型)
转化
洛必达法则
导数之商的极限
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1.
0 0
和
型未定式
定理 3. 如果函数 f (x)和g (x)满足
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
罗尔定理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式 关键: 利用逆向思维 设辅助函数
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
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思考与练习
1. 填空题 1) 函数
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
由于拉格朗日中值定理在微分学中占有 重要地 位，有 时也称 该定理 为微分 中值定 理.
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推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
日中值定理 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
结论：
这是证明函数等式的基础
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例2. 证明等式 证: 设
第2题：（1）（3）
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1 型
x0
x eln x , (x 0)
解
lim
x0
cos x
lim e e 1
x
1 ln cos x x
lim ln cos x x0 x
x0
sin x
又
lim ln cos x lim cos x 0,
x0 x
x0
1
0型 0
所以
1
limcos xx e0 1
x0
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而
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2)
若
lim
f (x) g(x)
不存在(≠∞)时,
lim f (x) g(x)
lim f (x) . g(x)
x2 cos 1
洛必达法则不是万能的 但没有洛必达法则是万万不能的
例16. 求
lim
x.
x0 sin x
解
lim
x2
cos
1 x
lim
x
x cos 1 10 0.
有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0. 自证: arctan x arccot x , x (, )
2
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例3. 证明对任意实数a,b,都有 sin b sin a b a .
13洛必达1661166117041704法国数学家他著有无穷小分析1696并在该书中提出了求未定式极限的方法后人将其命名为洛必达法的摆线难题以后又解出了伯努利提出的最速降线问题在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书
微分中值定理
会计学
1
第一节
第三章
微分中值定理 洛必达法则
一、微分中值定理
x
2
第33页/共37页
1 3.
6
分析:
原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x2
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作业 P115：第1题：（1）（3）
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例13. 求 lim xx. x0
解: lim xx lim exln x
x0
x0
lim xln x
ex0
00 型
利用 例11
e0 1
lim x ln x 0
x0
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
1
例14. 求 limcos xx .
x0 sin x x0 sin x
x
若使用洛必达法则，有
lim
x2
cos
1 x
lim
2x cos
1 x
sin
1 x
,
极限不存在
x0 sin x
x0
cos x
因此不能使用洛必达法则求得原极限. 第31页/共37页
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
e x x
解:
原式
lim x
n xn1 ex
lim x
n(n 1)xn2 ex
lim x
n! ex
0
型
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ln sin x
例10.
lim
x0 ln x
型
解: lim ln sin x lim cos x / sin x
x0 ln x
x0 1/ x
lim
x0
cos
x
x sin
故 f (x) 在 [0 , 2 ]上 连续 , 在(0 , 2 )内可导,
又
所以f(x)在[0,2]上满足罗尔定理的三个条件.
由
于
令
即2x-2=0, 解得x=1,
即在开区间(0,2)内存在一点ξ=1(0<ξ<2),有
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定理2(拉格朗日(Lagrange)中值定理) y
y f (x)
二、洛必达法则
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一、微分中值定理
定理1(罗尔（ Rolle ）定理) 如果函数 f (x)满足:
y
y f (x)
(1) 在闭区间 [a , b] 上连续
(2) 在开区间 (a , b) 内可导
O a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
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罗尔定理的几何意义是： 处处都具有不垂直于x轴的切线，
标相同，
那么其上至少有一点处的切线平行于x 轴.
如果连续曲线除端点外 且两端点处的纵坐
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
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例1. 验证函数
在闭区间[0，2]上满足
罗尔定理，并求出定理中的ξ.
解 因为f (x) x2 2x 是多项式函数,
取对数
0 型
f
g
f
1
g
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思考与练习
1. 设
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
f (x) 不存在 , 是否 g(x) 的极限也不存在 ? 举例说明 .
3 2
ln(1 x) ～x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1 (3
0)
2 x0
例7. 求
0型 0
解:
原式
lim
x
1
1 x2
1 x2
型
lim
x
x2 1 x2
1
lim
x Βιβλιοθήκη 1 x211
思考: 如何求 lim
n
2
arctan n
1 n
( n 为正整数) ?
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例8. 求
型
解:
原式
lim
x
1 x
nxn1
lim
x
1 nxn
0
xn
例9. 求
lim (n N ).