高二年级第二学期期末物理

2011-2012高二年级第二学期期末调研考试数学试题（选修物理）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．抛物线2
y x =的准线方程为 ．
2．5人排成一排，则甲不站在排头的排法有 种．(用数字作答) 3．在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心的极坐标是 ． 4．已知复数z 满足(3)1z i i -=-，则复数z 的模是 ．
5．设条件:0p a >；条件2:0q a a +≥，那么p 是q 的 条件(填“充分不必要”、
“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一)． 6．在ABC ∆中，若
sin cos A B
a b
=
，则B ∠= ． 7．设矩阵2738⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则a b c d +++= ．
8．直线2,
34x lt y t =-+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，l 为常数）恒过定点 ．
9．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 ．
10．已知点P 是椭圆
112222=++a y a x 与双曲线112
2
22=--a y a x 的交点，21,F F 是椭圆焦点，则21cos PF F ∠= ．
11．若1223211
C 3C 3C 3C 385n n n n n n n ---+++++=L ，则 n = ．
12．已知不等式组10,10,330x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
表示的平面区域为D ，若直线1y kx =+将区域D 分成面积相等的
两部分，则实数k 的值是 ． 13．已知正数,x y 满足220x y +-=，则
2x y
xy
+的最小值为 ． 14．2
n 个正整数排列如下：
1，2，3，4，……，n 2，3，4，5，……，n +1 3，4，5，6，……，n +2
……
n ，n +1，n +2，n +3，……，2n -1 则这2
n 个正整数的和=S ．
15．已知一组抛物线2
y ax bx c =++，其中a 为1、3、5、7中任取的一个数，b 为2、4、6、8中任
取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1
2
x =交点处的切线相互平行的概率是 ． 16．在ABC ∆中，若)cos(2sin sin B A A
B
+=，则B tan 的最大值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分14分）
已知二阶矩阵M 属于特征值－1的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
求矩阵M 及其逆矩阵1
-M ．
18．（本小题满分14分）
已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线
1:C sin()4π
ρθ+=与曲线22
4,:()4x t C t R y t
=⎧∈⎨=⎩交于,A B 两点．求证：OA OB ⊥．
19．（本小题满分14分）
某中学从高中三个年级选派2名教师和10名学生去外校考察学习，学生的名额分配如下：
(1)若从10名学生中选出2人做组长，求他们中恰好有1人是高二年级学生的概率；
(2)若将2名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相
互独立的），记安排到高二年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
20．（本小题满分14分）
如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点． (1)求异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值； (2)求平面1ACC 与平面1BFC 所成的锐二面角；
(3)若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的取值范围． 21．（本小题满分16分）
已知1
()()n k
f x x x =+，且正整数n 满足26
n n C C =，{0,1,2,,}A n =L ．
(1)求n ；
(2)若A j i ∈、，是否存在j ，当j i ≥时，j
n i n C C ≤恒成立？若存在，求出最小的j ，若不存在，
试说明理由；
(3),A k ∈若)(x f 的展开式有且只有6个无理项，求k ．
（第20题图）
B 1
A 1
C 1
D 1
A
B
C
D
E
F
22．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆的中心为原点O
，一个焦点为F
，离心率为
2
；以原点为圆心的圆O 与
直线y x =+l 和椭圆交于点A ，B ，交圆O 于点,C D ． (1)求椭圆和圆O 的方程；
(2)线段CD 恰好被椭圆三等分，求直线l 的方程． 23．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =；数列{n b }为等比数列，且1b =1，4b =64．
(1)求数列{}n a ，{n b }的通项公式；
(2)若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；
(3)在(2)的条件下，数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由． 24．（本小题满分16分）
设函数()1,()(1)2x
f x e
g x e x =+=-+(e 是自然对数的底数)． (1)判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数，并说明理由； (2)设数列{}n a 满足：1(0,1),a ∈且1()(),n n f a g a n N ++=∈； ①求证：01n a <<；
②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．
（第22题图）
2012高二理科调研考试参考答案
一、填空题（本题共16小题，每题5分，共80分）
1.14x =-
2.96
3.(2,)2
π
5.充分不必要
6.45︒
7.0 8.(2,3)- 9.[0.4,1) 10.0 11.4 12.
13 13.92 14.3
n 15. 760
二、解答题（共8小题，共120分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：M=1120⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………7分 1M -=121201⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
.……………7分
18.解：曲线1C 的直角坐标方程40x y +-=，
曲线2C 的直角坐标方程是抛物线2
4x y =． ………………..4分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去y ，
24160x x +-=
，解得1222x x =--=-+
代入40x y +-=得5261+=y ，5262-=y ．……………10分
1621-=x x ，1621=y y ，1x ∴2x +1y 2y =0．
∴0OA OB =uu r uu u r
g ，∴OB OA ⊥． …………………..14分
19.解：（1）设“他们中恰好有1人是高二年级学生”为事件A ，则
11
55210()C C P A C ==
255459
=，故所求概率为5
9． …………………6分 （2）解法1：ξ的所有取值为0，1，2．每位教师选择高二年级的概率均为
3
1
. 所以()02
021240339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11
121241339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2
22
121
2339
P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ……………………..10分
随机变量ξ的分布列为：
所以4412
0129993
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． ……………………14分 解法2：由题意可知，每位教师选择高二年级的概率均为3
1
.
则随机变量ξ服从参数为2，31的二项分布，即ξ～1
(2,)3
B .
随机变量ξ的分布列为：
所以233
E np ξ==⨯=．
20.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为轴，建立如图所示的直角坐标系， 则)0,0,1(A ，1(,0,1)2
E ，)0,1,
1(B ，)1
,2
1
,
1(F .……………2分 )1,21,0(=，)1,1,2
1
(--=，
∴1
cos(,)AF BE =
=uu u r uur
． ………………4分 （2）平面1ACC 的一个法向量为(1,1,0)DB =u u u r
，
设平面1BFC 的法向量为),,(z y x =，
⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+-=-⋅=⋅=+-=⋅,0)1,0,1(),,(,02
11z x
z y x BC n z y ∴,2.
x z y z =⎧⎨
=⎩ 取1z =得平面1BFC 的一个法向量)1,2,1(=……………7分
cos ,2||||
DB n DB n DB n ⋅<>==
=uu u r r uu u r r uu u r r ，因为,DB n <>u u u r r 为锐角， ∴所求的锐二面角为
6
π
． ……………….9分 （3）设(,,0)P x y （01,01x y ≤≤≤≤）．
1(,,1)2EP x y =--uu r ，由0EP n ⋅=uu r r 得1()2102x y -+-=，即322
x y =-+．
301,0212
x y ≤≤∴≤-+≤Q ，13
44y ∴≤≤．
（第20题图）
B 1
A 1
C 1
D 1
A
B
C
D
E
F
||
EP
∴====
uu r
分
13
44
y
≤≤
Q，∴当
2
5
y=
时，
min
||
5
EP
∴=
uu r
；当
3
4
y=
4
29
=．
故EP
的取值范围为
⎣⎦
．…………..……14分
21.解：（1）由26
n n
C C
=可知n=8. …………..……3分
（2）存在.展开式中最大二项式系数满足条件，
又展开式中最大二项式系数为4
8
C，∴j=4．…………..……9分
（3）展开式通项为r
r
k
r
r
x
x
C
T·
)
(8
1
8
1
-
+
==r
k
r
r x
C+
-
8
8
，分别令k=1，2，3， (8)
检验得k=3或4时r
-
8是k的整数倍的r有且只有三个．故k=3或4……16分
22.解：（1
）e
=
c
a
∴=
，又2
c a
==，1
b=.
故椭圆的方程为
2
21
4
x
y
+=．………………………4分
圆O
与直线y x
=+O的半径为R，
则有4
2
2
4
=
=
R，∴O
e的方程为2216
x y
+=………………………8分
（2）设直线l的方程为y kx
=，由2
2
,
1
4
y kx
x
y
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得
A
，(B-，
AB
∴==…………12分
ΘCD恰好被椭圆三等分，
∴
18
2
33
R
⨯=，……….14分
∴
2
3
=，
∴
7
k=±，∴直线l
的方程为
7
y x
=±．…..……16分
23.解：（1）当n ≥2时，n a =n S -1n S -=2n-1；当n=1时，1a =1=1S 适合，所以n a =2n-1.
因为数列{n b }为等比数列，341b b q =，所以64=13q ⨯，故q=4，所以n b =1
4n -．………4分
（2）因为n n b c a =，所以n c =2n b -1=2⨯14n --1， 所以n T =2⨯0
4-1+2⨯1
4-1+L +2⨯1
4
n --1=2⨯1414n
---n=23(41n
-)-n ． …………9分
（3）假设数列{}n c 中存在第p ，q ，r(p<q<r ，p ，q ，r ∈N +)三项，使得这三项成等差数列， 则12242q -⨯⨯-=1241p -⨯-+1241r -⨯-，即1
24
q -⨯=1
4
p -+1
4
r -，24
q p
-⨯=1+4
r p
-，
因为p<q<r ，p ，q ，r ∈N +，所以24q p -⨯为偶数，4r p -为偶数，1+4r p
-为奇数，
故24
q p
-⨯与1+4
r p
-不可能相等，所以数列{}n c 中不存在三项，使得这三项成等差数列. ……16分
24.解：（1）'()(1)x H x e e =--，令)('
x H =0，0ln(1)x e =-.
当0(,)x x ∈-∞时，)('
x H <0，)(x H 在0(,)x -∞单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，)('
x H >0，)(x H 在0(,)x +∞单调递增. 故min 00()()(1)1x H x H x e
e x ==---o
1(1)ln(1)1e e e =-----.
令11>-=e t ，函数()ln 1k t t t t =--，因为'()1ln 1ln k t t t =--=-<0， 所以函数()ln 1k t t t t =--在()1,+∞单调递减，故()(1)0k t k ≤=， 又11>-e ，故0()0H x <，从而)(x H 有两个零点．…………………5分 （2）①因为1()()n n f a g a +=，即11(1)2n a
n e e a ++=-+，所以)1(1
1
1--=+n a n e e a ． 下面用数学归纳法证明)1,0(∈n a ．
1︒当1=n 时，)1,0(1∈a 成立．
2︒假设当k n =时，)1,0(∈k a ，则)1(1
1
1--=
+k a k e e a ， 故e e
k
a <<1，从而110-<-<e e k a ，
则1)1(1
1
01<--=
<+k a k e e a ，故当1+=k n 时不等式成立． 从而对)1,0(,∈∈+n a N n ． …………………….……11分
②因为n a n n a e
a a e n
--=--+1)1(1，
考虑函数x e x p x
--=1)()10(<<x ．
因为01)('
>-=x
e x p ，所以)(x p 在（0，1）上是增函数，故0)0()(=>p x p ， 从而0)1(1>--+n n a a e ，即n n a a e >-+1)1(．……………………..…16分。