高考一轮作业：6-2等差数列(含答案)

时间：45分钟 满分：100分 班级：________
姓名：________ 学号：________ 得分：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2018·抚顺六校二模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22
D ．44
解析：由S 8－S 3＝10，得(8a 1＋28d)－(3a 1＋3d)＝10，得a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×10
2
d ＝11(a 1＋5d)＝22.
答案：C
2．(2018·济南模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10
＝2，则S 2 012的值等于( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010
D ．－2 013
解析：∵S n ＝An 2
＋Bn 知S n n
＝An ＋B ，
∴数列{S n n }是首项为S 1
1＝－2 012的等差数列，
又S 1212－S 1010＝2，∴{S n
n }的公差为1， ∴
S 2 012
2 012
＝－2 012＋(2 012－1)×1＝－1， S 2 012＝－2 012. 答案：B
3．(2018·汉中一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 5
2
≤4，a 4的最大值为4.故选C. 答案：C
4．(2018·湘潭二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5
a 3的值为( )
A.16
B.13
C.35
D.56
解析：∵{a n }是等差数列， ∴a 5
a 3＝a 2＋a 8
2a 1＋a 5
2＝S 561＋a 5
2
×5＝56S 5S 5＝5
6
，故选D.
答案：D
5．(2018·唐山期末)已知数列{a n }为等差数列，若a 11
a 10
＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n ＞0的
n 的最大值为( )
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
解析：∵a 11
a 10＜－1，且S n 有最大值，
∴a 10＞0，a 11＜0，且a 10＋a 11＜0， ∴S 19＝19a 1＋a 19
2
＝19·a 10＞0， S 20＝
20a 1＋a 20
2
＝10(a 10＋a 11)＜0，
所以使得S n ＞0的n 的最大值为19，故选B. 答案：B
6．(2018·德阳联考)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *
)的前12项，如下表所示：
200920182018A ．1003 B ．1005 C ．1006
D ．2018
解析：依题意解得，数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…，是以a 2＝1
为首项，1为公差的等差数列，因此a 2018＝a 2×1005
＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 2k －1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a 2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a 2009＝503，a 2018＝－503，a 2009＋a 2018＋a 2018＝1005，选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2018·福建模拟)将正偶数按下表排成5列：
那么2 012解析：观察第3列中的偶数可以发现，从上到下依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，2 012为此数列的第252项，即可得2 012为第252行第3列．
答案：252 3
8．(2018·滨州质检)已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，S n 、T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1
n ＋3，
则
a 2＋a 5＋a 17＋a 22
b 8＋b 10＋b 12＋b 16
＝________.
解析：a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝2a 12＋2a 11
2b 12＋2b 11
＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝S 22T 22＝15525＝315. 答案：31
5
9．(2018·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 解析：由等差数列和的特点，设S n ＝an 2
＋bn.
则⎩
⎪⎨⎪⎧
100a ＋10b ＝0152
a ＋15
b ＝25解得a ＝13，b ＝－10
3
，
∴S n ＝13n(n －10)，nS n ＝13
(n 3－10n 2
)．
考查函数f(x)＝x 3
－10x 2
(x≥1)，f′(x)＝3x 2
－20x ， ∴f(x)极小值点为20
3，当n ＝6时，nS n ＝－48，
n ＝7时，nS n ＝－49，∴nS n 最小值为－49. 答案：－49
10．(2018·广东模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 2
2－4，则a n ＝________.
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，a 1＝1，a 1＋2d ＝(a 1＋d)2－4，且{a n }递增，解得d ＝2，故a n
＝2n －1.
答案：2n －1
三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11．设数列{a n }(n ＝1,2，…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
(1)若a 1＝4，d ＝2，求证：该数列是“封闭数列”；
(2)试判断数列a n ＝2n －7(n ∈N *
)是否是“封闭数列”，为什么？
解：(1)证明：a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2，对任意的m ，n ∈N *
，a m ＋a n ＝(2m ＋2)＋(2n ＋2)＝2(m ＋n ＋1)＋2，令p ＝m ＋n ＋1，则有a m ＋a n ＝a p ＝2p ＋2∈{a n }．
故该数列是“封闭数列”．
(2)由a 1＝－5，a 2＝－3得a 1＋a 2＝－8. 令a n ＝a 1＋a 2＝－8⇒2n －7＝－8⇒n ＝－12∉N *
，
所以数列a n ＝2n －7(n ∈N *
)不是“封闭数列”．
12．(2018·山东模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对任意m ∈N *
，将数列{a n }中落入区间(9m,92m
)内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m . 解：(1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，
则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *
)． (2)对m ∈N *
，若9m
<a n <92m
， 则9m
＋8<9n<92m ＋8. 因此9
m －1＋1≤n≤9
2m －1
.
故得b m ＝92m －1
－9
m －1
.
于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93
＋…＋92m －1
)－(1＋9＋…＋9m －1
)
＝－81m
1－81
－
－9m
1－9
＝
92m ＋1
－10×9m
＋1
80
.
13．(2018·绵阳诊断)数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋3n
－1(n ∈N *
，n≥2)，已知a 3＝95. (1)求a 1，a 2；
(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝13n (a n ＋t)(n ∈N *
)，且{b n }为等差数列？若存在，则求出t 的值；若不存
在，请说明理由．
解：(1)n ＝2时，a 2＝3a 1＋32
－1 n ＝3时，a 3＝3a 2＋33
－1＝95， ∴a 2＝23.∴23＝3a 1＋8，∴a 1＝5. (2)当n≥2时，
b n －b n －1＝13n (a n ＋t)－1
3n －1(a n －1＋t)
＝1
3
n (a n ＋t －3a n －1－3t) ＝13
n (3n
－1－2t) ＝1－1＋2t 3
n .
要使{b n }为等差数列，则必须使1＋2t ＝0，∴t ＝－1
2，
即存在t ＝－1
2，使{b n }为等差数列．。