第8章-函数应用-高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试(含答案)

第8章 函数应用——高中数学苏教版(2019)必修第一册课时优化训练
一、选择题
1．已知函数()|ln |f x x m =-有两个零点，分别为a 和b ，则a b +的取值范围是( )A.(2,)
+∞ B.(1,)
+∞ C.[2,)
+∞ D.[1,)
+∞2．使|3|3(3)sin(3)cos(3)0x x x k x -+--+-=有唯一的解的k ( )A.不存在
B.有1个
C.有2个
D.有无穷多个
3．某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物的总金额不超过500元，不享受任何折扣；若顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按表中折扣分别累计计算：
A.940元
B.1000元
C.1140元
D.1200
元
4．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉率f （单位：次/min ）与体重W （单位：
kg ，脉率为210
次/min ，B 的脉率是70次/min ，则B 的体重为( )A.6kg
B.8kg
C.18kg
D.54kg
5．一件工艺品的进价为100元，标价为135元，每天可售出100件.根据销售统计，可知若一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( )A.3.6元
B.5元
C.10元
D.12元
6．已知常温环境下的温度冷却模型：1
t k =-⋅，
0θ为环境温度，
1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度）.若一杯水的初始温度
190θ=℃，环境温度010θ=℃，常数k =℃所需的时间为
（参考数据：ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）( )A.8min
B.7min
C.6min
D.5min
7．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于或等于0.1%.经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.3%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度是%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数10
0.05e
()t y γγ-=+∈R 描
述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：
ln 5 1.6≈）( )A.12.8分钟
B.14.4分钟
C.16分钟
D.17.6分钟
8．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，若生物体内碳14原有初始含量为Q ，则该生物体内碳14所剩含量y 与死亡年数x 的函数关系式为
( )A.y Q =1x y Q N ⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭ C.
11y Q N ⎛
=- ⎝12x N
y Q ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
二、多项选择题
9．对于定义在R 上的函数()y f x =，若存在非零实数0x ，使得()y f x =在()0,x -∞和
()0,x +∞上均有零点，则称0x 为()y f x =
的一个“折点”.下列函数中存在“折点”的
是( )
A.|1|()32
x f x -=+ B.1()lg(||3)2
f x x =+-C.3
()3
x f x x
=- D.21()4
x f x x +=
+10．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
20p L =⨯0p 是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：
()00p >
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为，
，，则( )A. B. C. D.11．某食品的保鲜时间t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系
664,0,2,0,kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃时的保鲜时间是16h .已知甲在某天上午10h 购买了该
食品，并将其遗忘在室外，且该天的室外温度的变化如图所示，则( )
A.该食品在6℃时的保鲜时间是8h
B.当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而减少
C.到了该天13h ，甲所购买的食品还在保鲜时间内
D.到了该天14h ，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
三、填空题
12．设，对任意实数x ，用表示，中的较小者.若至少有3个零点，则实数a 的取值范围为___________.13．已知，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点.以上正确结论的序号是___________.
14．已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是___________.
1p 2p 3p 12
p p ≥23
10p p >30
100
p p =12
100p p ≤a ∈R ()f x ||2x -235x ax a -+-()f x ()|lg |2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x
四、解答题
15．某小微企业去年某产品的年销售量为1万件，每件售价为10元，成本为8元.今年计划投入适当的广告费进行宣传，预计年销售量P （万件）与投入广告费x （万元）之间的函数关系为1
(0)1
ax P x x +=
≥
+，且当投入广告费为4万元时，销售量为3.4万件.现1)m >”之和.（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.25万元，则m 的最大值是多少？
（2）若3m =，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
16．2024年某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研了解到，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产x
百台设备，需另投入成本万元，且根据市场
行情，每百台设备售价为700万元，且当年生产的设备当年能全部销售完.（1）求2024年该企业年利润Z （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式.（2）当2024年的年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额-成本）
17．已知函数和的大致图象如图所示，设这两个函数的图象相交于点和，且12x x <.
（1）请指出图中曲线，2C 分别对应哪一个函数；
（2）若1[,1]x a a ∈+，2[,1]x b b ∈+，且,{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}a b ∈，指出a ，b 的值，并说明理由.
()f x 2210100,060,()701960010000,60.x x x f x x x x x ⎧+<≤⎪
=⎨-+>⎪
⎩
()2x f x =3()g
x x =()11,A x y ()22,B x y 1C
18．已知函数()2()ln e 1x f x ax =++，其中a ∈R .（1）当1a =时，求()ln 2y f x =-的零点.（2）当()y f x =为偶函数时，①求实数a 的值；
②设函数()()ln e 2x g x m m =-，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.
19．已知函数2()2ln (1)2n f x x x =+-+.（1）证明：当1n =时，()f x 在(1,e)上有零点.
（2）当2n =时，若关于x 的方程()f x m =在[]1,2上没有实数解，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为函数()|ln |f x x m =-的两个零点分别为a ，b ，所以
|ln ||ln |
a m
b m -=-=ln |b .不妨设0a b <<，则ln ln
a b -=，即
ln b ==1a <
<，所以a b a +=+
()g x x =+上单调递减，当01x <<时，()(1)2g x g >=，所以1
2a b a a
+=+>，故a b +的取值范围是(2,)+∞.2．答案：B
解析：令3x t -=，则||3sin cos 0t t t k t ++=.设||()3sin cos t f t t t k t =++，则
||()3()sin()cos()()t f t t t k t f t --=+--+-=，所以()f t 为偶函数，则函数()f t 的图象关于y 轴对称.由偶函数图象的对称性，知当()0f t =的零点不为0t =时，若有()10f t =，必有()10f t -=，不满足()0f t =的解的唯一性，所以只能是(0)0f =，即
030sin 0cos 00k ++=，解得1k =-.当1k =-时，||()3sin cos t f t t t t =+-.当(0,1]t ∈时，
0()3cos 310t f t t >->-=；当(1,)t ∈+∞时，()310t f t t >-->.又()f t 为偶函数，所以
1k =-时，()0f t =有唯一的解0t =.故1k =-满足题意，k 只有一个.3．答案：A
解析：设此人购物的总金额为x 元，获得的折扣金为y 元，则
0,0500,0.1(500),500900,0.2(900)40,900.x y x x x x <≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩当900x =时，0.1(900500)40y =⨯-=.因为6040>，所以900x >，所以0.2(900)4060x -+=，解得1000x =，故此人购物实际所付金额为
100060940-=（元）.4．答案：D
解析：根据题意设13
(0)k f
k W
=
≠.当2W =时，210f =，则210k =⨯70f =
时，113
3
210237070
k W ⨯===⨯33254=⨯=.
5．答案：B
解析：设每天的销售量为m 件，每件工艺品的售价为x 元，则m 关于x 的函数为一次
函数，设.由题意可得解得则.设每天
获得的利润为y 元，则2(4640)(100)4104064000y x x x x =-+-=-+-，可知当
1040
1308
x =-
=-时，每天获得的利润最大，此时每件需降价1351305-=（元）.6．答案：C
解析：由题意得40103
6ln 6ln 6(ln 33ln 2)6(min)90108
t -=-=-=--≈-.
7．答案：C
解析：由题意可知，当0t =时，0.050.3y γ=+=，得0.25
γ=，所以
0.050.25e
y =+10
0.050.25e
0.1t y
-
=+≤，可得10
e
t -
≤10ln 516≥≈（分钟），因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为16分钟.8．答案：D
解析：设死亡后生物体内碳14含量的年衰减率为p ，将刚死亡生物体内碳14含量看
成1个单位，根据经过N 年衰减为原来的一半，则(1)N p -=
12p ⎛-= ⎝生物体内碳14原有初始含量为Q ，所以生物体内碳14所剩含量y 与死亡年数x 的函
数关系式为(1)x y Q p =-，即12x N
y Q ⎛⎫
= ⎪⎝⎭.
9．答案：BC 解析：
m ax b =+135100,134104,a b a b +=⎧⎨+=⎩4,
640,a b =-⎧⎨=⎩4640m x =-+
解析：因为20p L =⨯1[60,90]p ∈，[250,60]p L ∈，所以12p p L L ≥，所以12p p ≥，故A 正确；由20p L =⨯0p p =340p =，
所以4020
30010
100p p p ==，故C 正确；假设2310p p >，则2
20
0010
10p
L p p >3
2
20
20
10
10p
p
L L -
>，所以2320p p L L ->，不可能成立，故B 不正确；因为
2
2
11
20
2022020
1
20
01001010010110P p p
p L L L L p p p p -==≥，所以12100p p ≤，故D 正确.11
．答案：AD 解析：由题设，可得46
2
16k +=，解得k =6264,0,2,0,
x
x x -≤⎧⎪
=⎨⎪>⎩所以当6x =时，328t ==，A 正确.当[6,0]x ∈-时，保鲜时间恒为64h ，当(0,6]x ∈时，保鲜时间t 随
x 的增大而减少，B 错误.该天11~13h 之间，温度超过10℃，其保鲜时间小于2h ，所以到13h 甲所购买的食品不在保鲜时间内，C 错误，D 正确.12．答案：解析：设，，由可得.要使得函数
至少有3个零点，则函数至少有一个零点，则，解得
2a ≤或10a ≥.
①当2a =时，2()21g x x x =-+，作出函数()g x ，()h x 的图象如图1所示，此时函数
()f x 只有两个零点，不符合题意；
②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤-，
所以2,2(2)4550,
a
g a ⎧<-⎪⎨⎪-=+-≥⎩无解；
③当时，，作出函数，的图象如图2所示，由图可知，函数的零点个数为3，符合题意；
[10,)
+∞2()35g x x ax a =-+-()||2h x x =-||20x -=2x =±(
)f x ()g x 212200a a ∆=-+≥10a =2()1025g x x x =-+()g x ()h x ()f x
④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x ，4x （34x x <），要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，
可得2,2(2)450,a g a ⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩解得4a >，此时.
综上所述，实数a 的取值范围是.13．答案：①②④
解析：作出函数和的大致图象如图所示.
对于①，当0k =时，直线2y =与|lg |y x =的图象有两个交点，即函数
有两个零点，所以①正确；
对于②，由图可知，，使得直线与的图象相切，即当0k k =时，函数()|lg |2f x x kx =--有一个零点，所以②正确；
对于③，由图可知，当时，直线2y kx =+与|lg |y x =的图象不可能有三个交点，即函数()|lg |2f x x kx =--不可能有三个零点，所以③不正确；
对于④，由图可知，10k ∃>，使得直线12y k x =+与|lg |y x =的图象相切，所以当
10k k <<时，直线2y kx =+与|lg |y x =的图象有三个交点，即函数()|lg |2f x x
kx =--有三个零点，所以④正确.14．答案：[2,3)
10a >
[10,)+∞|lg |y x =2y kx =+()|lg |2f x x kx =--00k ∃<02y k x =+|lg |y x =0k <
解析：函数()cos 1f x x ω=-在区间[0,2π]有且仅有3个零点，即cos 1x ω=在区间
[0,2π]有且仅有3个根，因为0ω>，[0,2π]x ∈，所以[0,2π]x ωω∈，则由余弦函数的图象可知，4π2π6πω≤<，解得23ω≤<，即ω的取值范围是[2,3).
15．答案：（1）4
（2）2
万元
3.4=，解得4a =，所以41(0)1x P x x +=≥+.当1x =时， 2.5P =，此时每件产品的售价为110 2.5m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
元，设年利润为W 万元，则12.5108 2.512.5W m ⎛⎫=⨯+-⨯- ⎪⎝⎭，令 4.25W ≥，得14m <≤，即m 的最大值为4.
（2）当3m =时，每件产品的售价为103x P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
元，设年利润为W 万元，则2108233x W P P x P x P ⎛⎫=+--=- ⎪⎝
⎭2282222262(1)26(1)18133(1)3(1)
x x x x x x x x x +-++-+++-
=-==+++262626
(1)
3133x x
⎡⎤=-+++≤-+=⎢⎥+⎣⎦
1)x +=2x =时取等号，所以当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润.
16．答案：（1）210600500,060,100009100,60x x x Z x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝
⎭⎩（2）当2024年的年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元解析：（1）当060x <≤时，22700(10100)50010600500Z x x x x x =-+-=-+-；
当60x >时，2701960010000100007005009100x x Z x x x x -+⎛⎫=--=-++ ⎪⎝
⎭.
所以210600500,060,100009100,60.x x x Z x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝
⎭⎩（2）若060x <≤，则210(30)8500Z x =--+，所以当30x =时，max 8500Z =；若60x >
，则10000910091008900Z x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝
⎭，当且仅当
时，.因为，所以当2024年的年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元.
17．答案：（1）1C 对应函数3()g x x =，2C 对应函数()2x
f x =（2）1a =，9b =；理由见解析
解析：（1）由指数函数与幂函数的增长速度，知1C 对应函数3()g x x =，2C 对应函数()2x f x =.
（2）依题意知1x ，2x 是使两个函数的函数值相等的自变量x 的值.
当1x x <时，32x x >，即()()f x g x >；
当12x x x <<时，()()f x g x <；
当2x x >时，()()f x g x >.
因为(1)2f =，(1)1g =，2(2)24f ==，3(2)28g ==，所以1[1,2]x ∈，即1a =.因为8(8)2256f ==，3(8)8512g ==，(8)(8)f g <，
，，，
，，(10)(10)f g >，
所以2[9,10]x ∈，即9b =.
18．答案：（1）0
x =（2）①1
a =-②(1,)⎧⎪+∞⎨⎪⎩ 解析：（1）当1a =时，()2()ln e 1x f x x =++.
x =100x =max 8900Z =85008900<9(9)2512f ==3(9)9729g ==(9)(9)f g <10(10)21024f ==3(10)101000g ==
因为函数2()e 1x u x =+在R 上是增函数，且2()e 11x u x =+>，函数ln y u =为(0,)+∞上的增函数，
所以函数()2ln e 1x y =+在R 上是增函数.
又函数y x =在R 上是增函数，
所以函数()2()ln e 1x f x x =++在R 上是增函数.
因为(0)ln 2f =，所以函数()ln 2y f x =-的零点为0x =.
（2）当()f x 为偶函数时，()()f x f x =-.
①()2222e 1()ln e 1ln ln(e 12e
)x x x x f x ax ax x ax -+-=+-=-=+--，因为()()f x f x -=，即()()22ln e 12ln e 1x x x ax ax +--=++，所以2x ax ax --=对x ∈R 恒成立，则2a a --=，解得1a =-.②因为函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，
所以()()2ln e 1ln e 2x x
x m m +-=-只有一个实数解，即()2e 1ln
ln e 2e x x x m m +=-只有一个实数解，e 2x m m =-只有一个实数解.令e 0x t =>，则关于t 的方程2(1)210m t mt ---=只有一个正数解
.
（i ）当1m =时，t =（ii ）当1m >时，244(1)0m m ∆=+->，设方程2(1)210m t mt ---=的两根为1t ，2t ，则12101
t t m -=<-，所以方程2(1)210m t mt ---=有一正根一负根，负根舍去，符合题意；
（iii ）当1m <时，因为当0t =时，2(1)211m t mt ---=-，所以要使方程2(1)210m t mt ---=只有一个正数解，
只需244(1)0,0,1m m m m ⎧∆=+-=⎪
⎨>⎪-⎩解得m =
综上，实数m 的取值范围为(1,)⎧⎪+∞⎨⎪⎩ .19．答案：（1）证明见解析
（2）(,3)(62ln 2,)
-∞++∞ 解析：（1）当1n =时，2()2ln 2f x x x =-+.
因为(1)10f =>，2(e)4e 0f =-<，所以(1)(e)0f f <，因此()f x 在(1,e)上有零点.
（2）当2n =时，2()2ln 2f x x x =++.
因为ln y x =，2y x =均在[]1,2上单调递增，所以()f x 在[]1,2上单调递增.又(1)3f =，(2)62ln 2f =+，故()f x 在[]1,2上的值域为[3,62ln 2]+.因为关于x 的方程()f x m =在[]1,2上没有实数解，
所以min [()]m f x <或max [()]m f x >，即3m <或62ln 2m >+，所以实数m 的取值范围为(,3)(62ln 2,)-∞++∞ .。