湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第11章 第7节二项分布、超几何分布、正态分布

2
7
1
10
+1× 2+2× 27
54
10
27
=
67
.
54
[对点训练1](2024·安徽蚌埠模拟)某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋
糕在100天里的销售记录,绘制了以下频数分布表:
日销售量
[0,50)
[50,100)
[100,150) [150,200)
(单位:个)
15
25
30
20
频数
[200,250)
不同点
假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从
联系
二项分布和超几何分布都可
N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件 以描述随机抽取n件产品中次
产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法 品的分布规律,并且二者的均
值相同.对于不放回抽样,当n
抽取,则随机变量X服从二项分布,即
远远小于N时,每抽取一次后,
M
X~B(n,p)(其中p= );若采用不放回抽样的 对N的影响很小,此时,超几何
分布可以用二项分布近似
方法抽取,则随机变量X服从超几何分布
3.正态分布
(1)正态曲线
函数p(x)=
1
2σ
(-μ)2
2σ2
(-∞<x<+∞),其中μ和σ为参数,且μ∈R,σ>0,p(x)称
为概率密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=
如果X~B(n,p),那么E(X)= np
,D(X)=
p
,D(X)=
np(1-p) .
p(1-p) .
微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:
(1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;
(2)试验可以独立重复进行n次.
由题意,X 的可能取值为 0,1,2,则有
1
20
1
20
P(X=1)= ×(1- )+(1- )×
2
27
2
27
=
1
20
7
P(X=0)=(1- )×(1- )= ;
2
27 54
1
1 20
;P(X=2)= ×
2
2 27
=
10
.
27
所以 X 的分布列为
X
0
P
因此 X 的数学期望 E(X)=0×
1
7
54
2
1
2
80
243
=
5
.
3
3
80
243
4
40
243
5
10
243
1
243
2 研考点 精准突破
考点一 二项分布及其应用
例1已知某学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分
别为7人、6人、2人.
(1)若从该校排球队随机抽取3人拍宣传海报,求抽取的3人中恰有1人来自
高三年级的概率;
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练,且
2 197
338
52
8
计算得 P(X=0)=3 375,P(X=1)=1 125,P(X=2)=1 125,P(X=3)=3 375,即 X 的分布列
为
X 0
P
1
2 197
3 375
2
338
1 125
3
52
1 125
8
3 375
题组三连线高考
8.(2022·新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,
0.(
)
题组二回源教材
5.(湘教版选择性必修第二册习题3.3第5题改编)已知某批材料的材料强度
X服从正态分布N(200,182),现从中任取一件,则取得的材料的强度不低于
182但又不高于218的概率为( B )
(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
为 0,1,2,3,依题意知 ξ~B(3,0.3).
8×60×(1-0.994)=2.88(min),这说明,10 台机床的工作基本上不受电力供应紧
张的影响.
7.(湘教版选择性必修第二册3.2.2节第140页练习第2题)设在15个同类型的
零件中有2个次品,每次任取1个零件,共取3次,用X表示取出的3个零件中次
品的个数.
(1)若每次取出后不放回,求X的分布列;
2 1 2 1 1
3 1 3 1 0 1
P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C3 (2) ×(2) +C3 (2) ×(2) =2,乙同学在一轮测试结果
为优秀的概率
2 2 2 1 1
3 2 3 1 0 20
P(Z≥2)=P(Z=2)+P(Z=3)=C3 (3) ×(3) +C3 (3) ×(3) =27.
(2)正态分布密度曲线特点
图1
图2
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③p(x)在 x=μ 处达到最大值
1
;
2σ
④当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
⑤σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡;
⑥曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1.
(3)标准正态分布
台时都可以正常工作,这一事件的概率为
10
4
0
P(ξ≤5)=C10
5
2
2 1
C10 5
1 4
5
4 5
5
×
4 8
5
+
3
3 1
C10 5
×
4 7
5
+
4
C10
×
4 6
5
+
5
C10
9
1
4
1
+ C10
×
5
5
1 5
5
+
×
≈0.994,所以在电力供应为 50 kW 的条件下,机床能正常工作的概率约为
0.994,从而在一个工作班 8 h 内,不能正常工作的时间只有大约
1
3
,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求:
(1)随机变量ξ的分布列;
(2)随机变量ξ的均值.
解
1
(1)ξ~B(5,3),即有
P(ξ=k)=C5
1 k 2 5-k
×(3) ×(3) ,k=0,1,2,3,4,5.
由此可得ξ的分布列为
ξ 0
P
1
32
243
1
1
(2)∵ξ~B(5,3),∴E(ξ)=5× 3
均值μ=0,方差σ2=1时的正态分布称为标准正态分布,其密度函数记为φ(x)=
1 -2
2 (-∞<x<+∞),其图象如图所示,随机变量X服从标准正态分布,简记
2
为X~N(0,1).
(4)3σ原则
假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N+,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k
有关的定值.特别地,
=0.6,日销
100
售量低于 50
15
个的概率为 =0.15.设
100
A 表示事件“在未来连续 3 天里,有连
续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”,则
P(A)=0.62×0.15+0.15×0.62=0.108.
(2)由频数分布表知,日销售量不低于 150
20+10
个的概率为 100 =0.3,ξ
若随机变量X的分布列具有(*)式的形式,则称分布列
X m
m+1
… r
n-
n-(+1)
n-r
M N-M
Mr N-M
M+1 N-M
P
…
n
n
N
Nn
N
为超几何分布列.
如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分布,记作
X~H(N,M,n).
微点拨超几何分布与二项分布的关系
则P(X>2.5)= 0.14
.
解析 由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.
9.(2006·重庆,理18)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停
靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的
概率均为
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.0.997 3
B.0.682 7
C.0.841 3
D.0.815 9
解析 由题意,这批材料的材料强度X服从正态分布N(200,182),得
μ=200,σ=18,所以P(182≤X≤218)=P(200-18≤X≤200+18)≈0.682 7,故选B.
10
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的
日销售量低于50个的概率;
(2)用ξ表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数,求随机变量ξ的分布
列、均值E(ξ)和方差D(ξ).
解
30+20+10
(1)根据频数分布表知,日销售量不低于 100 个的概率为
第7节 二项分布、超几何分布、正态分布
课标解读
1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决解决简单的实际问题.
3.理解服从正态分布的随机变量,借助频率直方图的几何直观,理解正态分
布的特征.
4.理解正态分布的均值、方差及其含义.
目录索引
1 强基础 固本增分
解 设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ,由于机床类型相同,且机
床的开动与否相互独立,因此ξ~B(10,p).其中p是每台机床正常工作的概
率,由题意知
12
p=
60
=
1
.从而
5
1

P(ξ=k)=C10
5
·
4 10-
,k=0,1,2,…,10.
5
50 kW 电力同时供给 5 台机床开动,因而 10 台机床同时开动的台数不超过 5
在训练阶段进行了多轮测试,规定:在一轮测试中,这3个动作至少有2个动
作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.已知在某一轮测试的3个动作中,甲
1
同学每个动作达到“优秀”的概率均为2,乙同学每个动作达到“优秀”的概率均
2
为3,且每位同学的每个动作互不影响,甲、乙两人的测试结果互不影响.记
X
为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数,求 X 的分布列和数学期望.
知识梳理
1.n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
一个可能结果只有两种的随机试验,称为
伯努利试验 .
一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且各次试验相互独立,那么称
这样的试验为n重伯努利试验.
(2)二项分布
一般地,在 n 重伯努利试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事
(2)若每次取出后重新放回,求X的分布列.
解 (1)若每次取出后不放回,则随机变量X服从参数为N=15,M=2,n=3的超
3-
C2 C13
几何分布.所以 P(X=k)=
C02 C313
计算得 P(X=0)=
C315
=
C315
,k=0,1,2.
C12 C213
22
,P(X=1)= 3
35
C15
=
C22 C113
12
,P(X=2)= 3
35
C15
故X的分布列为
X
P
0
1
22
35
2
12
35
1
35
=
1
.
35
(2)若每次取出后重新放回,则抽取 3 次可视为 3 次独立重复试验.又每次抽取
1
2
个是次品的概率为15,所以

2
P(X=k)=C3 15
X~B
2
3, 15
.
2 3-
1- 15
,k=0,1,2,3.
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
常用结论
超几何分布有时也记为 X~H(n,M,N),其均值
M
M
M
-1
E(X)= ,D(X)= (1- )(1--1).
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
6.(湘教版选择性必修第二册3.2.2节第138页练习第2题改编)某车间有10台
同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10 kW,已知每台机床工作时,
平均每小时实际开动12 min,且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应
紧张,供电部门只提供50 kW的电力,机床能够正常工作的概率为多大?在一
个工作班8 h内,不能正常工作的时间大约是多少?这说明了什么?
件 A 发生的概率为 p(0<p<1),则 X 的分布列为 P(X=k)=nk pkqn-k,k=0,1,…,n,其
中 q=1-p,注意到nk pkqn-k 正好是二项式(q+p)n 的展开式中的第(k+1)项,故称随
机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p)
.
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
2.超几何分布
一般地,设有N件产品,其中有M件次品.从中任取n件产品,用X表示取出的n
M n-
件产品中次品的件数,那么 P(X=k)= nN-M ,k=m,m+1,m+2,…,r.(*)
N
其中M≤N,n≤N,m=max{0,n-(N-M)},r=min{n,M},n,M,N∈N+.
公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0.
1.二项分布是一个概率分布,其概率计算公式相当于(a+b)n二项展开式的通
项,其中a=p,b=1-p.( × )
2.从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分
布.(
)
3.两点分布是二项分布当n=1时的特殊情况.(
)
4.正态曲线落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的部分对应事件的概率很小,接近于
解 (1)设A表示事件“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”,则有
C213 C12
P(A)=
C315
=
12
.
35
(2)设甲同学在一轮测试中 3 个动作“优秀”的个数为 Y,则有
乙同学在一轮测试中 3 个动作“优秀”的个数为 Z,则有
1
Y~B(3, );
2
2
Z~B(3, );
3
所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率