【精品】2014-2015年安徽省亳州市高三上学期数学期末试卷(理科)及答案

2014-2015学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=1+i，则（1+i）x+y的值为（）
A．4B．﹣4C．4+4i D．2i
2．（5分）已知X=log m n，则mn＞1是X＞1的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（）
A．B．C．1D．
4．（5分）若等差数列{a n}有两项a m和a k（m≠k），满足a m=，a k=，则该数列前mk项之和为（）
A．﹣1B．C．D．+1
5．（5分）下列命题正确的是（）
A．函数y=sin（2x+）在区间内单调递增
B．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2π
C．函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形
D．函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形
6．（5分）已知实数x，y满足，设m=x+y，若m的最大值为6，则m
的最小值为（）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
7．（5分）某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）
A．34种B．48种C．96种D．144种
8．（5分）若函数f（x）的导函数是f′（x）=x2﹣4x+3，则函数g（x）=f（a x）（0＜a＜1）的单调递减区间是（）
A．[log a3，0]，[1，+∞）B．（﹣∞，log a3]，[0，+∞）
C．[a3，a]D．[log a3，1]
9．（5分）若对任意x∈[0，5]，不等式1+x≤≤1+x恒成立，则一定有（）
A．m≤，n≥﹣B．m≤﹣，n≥﹣
C．m≤﹣，n≥D．m，n＞﹣
10．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：=m+n，4m+3n=2，且||=4，||=6，则•=（）
A．36B．24C．24D．12
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为．
12．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为．
13．（5分）已知m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有+≥，
且当=时等号成立，利用此结论，可求函数f（x）=+，x∈（0，1）的最小值为．
14．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．
15．（5分）我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金
双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出
以下几个说法：
①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；
②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，
则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
16．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，
，求△ABC的面积．
17．（12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥PCB；
（3）设二面角M﹣BP﹣C的大小为θ，求c osθ的值．
18．（12分）近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级：在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．
19．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2．（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．
20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+（﹣1）n（n∈N*）．
（1）若b n=a2n﹣1﹣，求证：数列{b n}是等比数列并求其通项公式；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）求证：++…+＜3．
21．（14分）已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．
2014-2015学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=1+i，则（1+i）x+y的值为（）
A．4B．﹣4C．4+4i D．2i
【解答】解：∵（x﹣2）i﹣y=1+i，
∴，解得x=3，y=﹣1．
（1+i）x+y=（1+i）2=2i．
故选：D．
2．（5分）已知X=log m n，则mn＞1是X＞1的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若m=2，n=1，满足mn＞1，但X=log m n=0，则X＞1不成立，
若m=，n=，则X=log m n=2＞1，但mn=＞1不成立，
故mn＞1是X＞1的既不充分也不必要条件，
故选：D．
3．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（）
A．B．C．1D．
【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为[1，]．
因此可知：A，C，D皆有可能，而＜1，故B不可能．
故选：B．
4．（5分）若等差数列{a n}有两项a m和a k（m≠k），满足a m=，a k=，则该数列前mk项之和为（）
A．﹣1B．C．D．+1
【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由等差数列的性质以及已知条件得d==，
∵a1+（m﹣1）d=a m，
∴a1=﹣（m﹣1）=，
∴a mk=+（mk﹣1）=1，
∴s mk==．
故选：B．
5．（5分）下列命题正确的是（）
A．函数y=sin（2x+）在区间内单调递增
B．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2π
C．函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形
D．函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形
【解答】解：∵x∈∴2x+∈（﹣，），∴y=sin（2x+）在区间内是先增后减，排除A；
∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=，排除B；
令x=代入得到cos（+）=cos=0，∴点（，0）是函数y=cos（x+）的图象的对称中心，满足条件．
故选：C．
6．（5分）已知实数x，y满足，设m=x+y，若m的最大值为6，则m 的最小值为（）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（k，k），
联立，得B（﹣2k，k），
由图可知，使目标函数取得最大值的最优解为A，取得最小值的最优解为B，则k+k=6，即k=3，
∴m min=﹣2×3+3=﹣3．
故选：A．
7．（5分）某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种D．144种
【解答】解：本题是一个分步计数问题，
∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，
∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果，
∵程序B和C实施时必须相邻，
∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果，
根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，
故选：C．
8．（5分）若函数f（x）的导函数是f′（x）=x2﹣4x+3，则函数g（x）=f（a x）（0＜a＜1）的单调递减区间是（）
A．[log a3，0]，[1，+∞）B．（﹣∞，log a3]，[0，+∞）
C．[a3，a]D．[log a3，1]
【解答】解：∵g（x）=f（a x），
∴g′（x）=f′（a x）a x lna，
∵0＜a＜1，
∴lna＜0，a x＞0，
当g′（x）=f′（a x）a x lna＜0，
∴f′（a x）≥0，
∵f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）
∴f′（a x）=（a x﹣1）（a x﹣3）≥0，
∴a x≤1，a x≥3，
解得x≥0，或x≤log a3，
故选：B．
9．（5分）若对任意x∈[0，5]，不等式1+x≤≤1+x恒成立，则一定有（）
A．m≤，n≥﹣B．m≤﹣，n≥﹣
C．m≤﹣，n≥D．m，n＞﹣
【解答】解：当m=0时，1+x≤化为1≤，对于任意x∈[0，5]不等式不恒成立，可排除A，
当n=0时，不等式≤1+x化为≤1，对于任意x∈[0，5]不等式恒成立，可排除C，
当m=﹣时，令f（x）=﹣1+，则对于任意x
∈[0，5]恒成立，
∴f（x）为增函数，则f（x）＞f（0）=0．即不等式≥1﹣恒成立．由此排除D，
故选：B．
10．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：=m+n，4m+3n=2，
且||=4，||=6，则•=（）
A．36B．24C．24D．12
【解答】解：如图，
根据已知条件：
；
∴；
∴；
∴①+②得，42=12（4m+3n）+（m+n）=；
∴③；
①×3+②×4得，144=144（m+n）+（4m+3n）=144（m+n）+2；∴④；
∴联立③④可．
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为4．
【解答】解：当S=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：P=2，S=1+=；当S=时，满足进行循环的条件，执行循环体后：P=3，S=1++=；
当S=时，满足进行循环的条件，执行循环体后：P=4，S=1+++=2；
当S=2时，不满足进行循环的条件，
则输出P的值为4
故答案为：4．
12．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．
【解答】解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是
T r+1=•（2x2）5﹣r•=（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，
令10﹣3r=1，解得r=3；
=（﹣1）3••22••x；
∴T3
+1
∴x的系数是﹣•22•=﹣．
故答案为：﹣．
13．（5分）已知m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有+≥，且当=时等号成立，利用此结论，可求函数f（x）=+，x∈（0，1）
的最小值为．
【解答】解：∵m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有+≥，且当=时等号成立，
∴f（x）=+=+=+≥=，当且仅当时等号成立，即当x=∈（0，1）时取等号，
∴函数f（x）的最小值为：
故答案为：
14．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中
点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意得O（1，1，2），M（1，0，0），
B（2，2，0），N（0，2，1），
=（0，1，2），=（1，2，0），=（﹣1，2，1），
||==，||==，
cos＜＞==，
sin＜＞==，
=
∴S
△MNB
==，
设平面MNB的法向量=（x，y，z），
则，取x=2，得=（2，﹣1，4），
∴点O到平面MNB的距离d===，
∴三棱锥O﹣MNB的体积V===．
故答案为：．
15．（5分）我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金
双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出以下几个说法：
①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；
②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，
则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为①②③④．
【解答】解：①双曲线x2﹣=1中，
∵e==，
∴双曲线x2﹣=1是黄金双曲线，故①正确；
②b2=ac，则e===，
∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=（舍），
∴该双曲线是黄金双曲线，故②正确；
③如图，F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，
B1（0，b），B2（0，﹣b），且∠F1B1A2=90°，
∴，即b2+2c2=（a+c）2，
整理，得b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故③正确；
④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，
∴NF2=OF2，∴，∴b2=ac，
由②知该双曲线是黄金双曲线，故④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
16．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，
，求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x
=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，
因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，
因此，2A+=，解得A=．
由正弦定理，得b=，…（10分）
由A=，由B=，可得sinC=，…（12分）
∴S=ab•sinC==．
17．（12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥PCB；
（3）设二面角M﹣BP﹣C的大小为θ，求cosθ的值．
【解答】（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以
OE∥PA
因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．
因为OM∥AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，
所以OM∥平面PAC．
因为OE∩OM=O，OM⊂平面MOE，OE⊂平面MOE，
所以平面MOE∥平面PAC；
（2）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
因为点C在以AB为直径的⊙O上，
所以BC⊥AC
因为PA∩AC=A，
所以BC⊥平面PAC
因为BC⊂平面PCB，
所以平面PAC⊥平面PCB；
（3）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间坐标系．
因为∠CBA=30°，PA=AB=2，所以CB=2cos30°=，AC=1．
延长MO交CB于点D．
因为OM∥AC，
所以MD⊥CB，MD=1+=，CD=CB=．
所以P（1，0，2），C（0，0，0），B（0，，0），M（，，0）．所以=（1，0，2），=（0，，0）．
设平面PCB的法向量=（x，y，z）．
由，得，
令z=1，则x=﹣2，y=0．
所以=（﹣2，0，1）．
同理可求平面PMB的一个法向量=（1，，1）．
则cos＜，＞==，
即cosθ=．
18．（12分）近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级：在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．
【解答】解：（1）记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，
则…（3分）
（2）记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”
为事件B，
则…（7分）
（3）ξ的可能值为0，1，2，3，
，
，
，
…（10分）
其分布列为：
ξ0123
P
…（12分）
19．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2．（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆过点P（，），所以=1，解得a2=2，…（2分）
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，所以AF2⊥F2P，即﹣⋅=﹣1，所以
b2=c（4﹣3c）．…（6分）
而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0，解得c2=1，
故椭圆C的方程是+y2=1．…（8分）
（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，
代入椭圆方程得（1+2k2）x2+4kpx+2p2﹣2=0．
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以△=16k2p2﹣4（1+2k2）（2p2﹣2）=8（1+2k2﹣p2）=0，
即1+2k2=p2．…（10分）
设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，则
⋅==1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k2+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得解得，或，…（14分）
而（**）不恒成立．
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±时，
定点（﹣1，0）、F2（1，0）到直线l的距离之积d1⋅d2=（﹣1）（+1）=1．综上，存在两个定点（1，0），（﹣1，0），使其到直线l 的距离之积为定值1．…
（16分）
20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+（﹣1）n（n∈N*）．
（1）若b n=a2n﹣1﹣，求证：数列{b n}是等比数列并求其通项公式；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）求证：++…+＜3．
【解答】（本小题满分15分）
解：（1）=，…（2分）
，又．
所以{b n}是首项为，公比为4的等比数列，且．…（5分）
（2）由（1）可知，…（7分）
．…（9分）
所以，
或…（10分）
（3）∴．
=
=
=…（12分）
当n=2k时，
=
当n=2k﹣1时，
＜＜3
∴++…+＜3．…（15分）
21．（14分）已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．【解答】（1）解：由得，x＞0且x≠1，
则函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
且g′（x）=，令g′（x）=0，即lnx﹣1=0，解得x=e，
当0＜x＜e且x≠1时，g′（x）＜0；当x＞e时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）的减区间是（0，1），（1，e），增区间是（e，+∞），
（2）由题意得函数f（x）=在（1，+∞）上是减函数，
∴f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，
即当x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0即可，
又∵f′（x）=﹣a==，
∴当时，即x=e2时，．
∴，得，故a的最小值为．
（3）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等价于
“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，
由（2）得，当x∈[e，e2]时，，则，
故问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有”，
当时，由（2）得，f（x）在[e，e2]上为减函数，
则，故，
当时，由于f′（x）=在[e，e2]上为增函数，
故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．
（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，
于是，，不合题意．
（ii ）若﹣a ＜0，即0＜，由f′（x ）的单调性和值域知，
存在唯一x 0∈（e ，e 2），使f′（x 0）=0，且满足：
当x ∈（e ，x 0）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数；当x ∈（x 0，e 2）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数； 所以，f （x ）min =f （x 0）=≤，x ∈（e ，e 2），
所以，a ≥，与0＜
矛盾，不合题意．
综上，得
．
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （2①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n
m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m m m n n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称
指数函数
定义
函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定
义
域
R
值域 (0,)+∞
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
a 变化对
图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数 名称 对数函数
定义
函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数
图象
1a > 01a <<
x y
O
(1,0)1x =
log a y x
=x
y
O (1,0)
1
x =log a y x
=
定义域 (0,)+∞
值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
a 变化对
图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。