天津市和平区2020-2021学年高二上学期期末数学试题

天津市和平区2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“x R ∀∈，22340x x -+≥”的否定为 （）
A ．x R ∀∈，22340x x -+<
B ．x R ∀∈，22340x x -+≤
C ．x R ∃∈，22340x x -+<
D ．x R ∃∈，22340x x -+≤ 2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．椭圆22
143
y x +=的焦点坐标为 （） A ．()1,0-，()1,0
B ．()2,0-，()2,0
C ．()0,2-，()0,2
D ．()0,1-，()0,1
4．抛物线24y x =-的焦点坐标是（） A ．()10， B ．()10-， C ．()20， D ．()20-，
5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2
3
x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A ．
B ．6
C ．
D ．12
6．已知双曲线C ：22221x y a b
-=的一条渐近线的倾斜角为60︒，且与椭圆2
215x y +=有相等的焦距，则C 的方程为 （）
A ．2
213x y -= B ．22193x y -= C ．2213y x -= D ．22
139
x y -= 7．已知00(,)M x y 是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）
A ．(,33-
B ．(66-
C ．(33-
D ．(33
-
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．12y x =±
B ．2y x =±
C ．y =
D ．y x =
二、填空题
9．命题：“2,10x R x ax ∃∈-+<”的否定为____．
10．对于常数m 、n ，“0mn >”是方程“221mx ny +=的曲线是椭圆”的__________．
11．已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，则椭圆的离心率为______．
12．已知点(32)M ，
，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PM PF +取最小值时，点P 的坐标为_______．
13．已知倾斜角为α的直线l 经过抛物线24y x =的焦点交抛物线于A 、B 两点，并且4AF BF =，则cos α=______．
14．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为H ，点P 在C 上，且
PH =，则PFH ∆的面积为______．
三、解答题
15．（1）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的标准方程； （2）已知抛物线顶点在原点，对称轴是y 轴，并且焦点到准线的距离为5，求该抛物线方程．
16．已知椭圆C ：22
2210x y a b a b +=>>（），其两个顶点和两个焦点构成
的四边形面积为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点1,1M （）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且点M 恰为线段AB 的中点，求
直线l 的方程．
17．已知抛物线C ：22y px =经过点2,2P （），A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的
两点，其中O 为原点．
（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若OA OB ⊥，求AOB 面积的最小值．
18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求AB PQ 的取值范围．
19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
，其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,2M m ⎛⎫
⎪⎝⎭，
满足0m ≠，且m ≠（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若BME 面积是AMF △面积的5倍，求m 的值.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题解答.
【详解】
解：根据全称命题的否定为特称命题，
故命题“x R ∀∈，22340x x -+≥”的否定为x R ∃∈，22340x x -+<．
故选：C ．
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
2．A
【解析】
直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，反之当直线与双曲线只有一个公共点时除了直线与双曲线相切，还有就是直线和双曲线的渐近线平行的时候；故是充分不必要条件．
故答案为A ．
3．D
【分析】
利用椭圆的方程求出a ，b ，得到c 即可求解结果．
【详解】
解：椭圆22
143
y x +=，焦点在y 轴上，可得2a =，b =1c =， 所以椭圆的焦点坐标()0,1±．
故选：D ．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
4．B
【解析】
根据抛物线的标准方程为2
4y x =-画出图像可得准线方程为：1,x =故焦点坐标为()10-，. 故答案为B ．
5．C
【分析】
根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.
【详解】
设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，
所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C
【点睛】
此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.
6．C
【分析】
根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有b a
=b =，求出椭圆的半焦距，分析可得224a b +=，解可得2a 、2b 的值，将2a 、2b 的值代入双曲线的方程，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，双曲线C ：22
221x y a b
-=的焦点在x 轴上，其渐近线方程为b y x a =±，
若其一条渐近线的倾斜角为60︒，则该渐近线的方程为y =，
则有b a
=b =， 椭圆2
215
x y +=中，2514c =-=， 若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有224a b +=，
解可得21a =，23b =，
则双曲线的方程为2
2
13y x -=； 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置，属于基础题． 7．A
【解析】
由题知12(F F ，220012
x y -=，所以12MF MF ⋅
=0000(,),)x y x y -⋅-=2220003310x y y +-=-<
，解得0y <<，故选A.
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
8．C
【解析】
【分析】
首先由题意确定点P 的坐标，然后列方程确定a,b 的值即可确定渐近线方程.
【详解】
∵抛物线2
4y x =的焦点坐标F(1,0)，p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c ，即c=1，
设P(m,n)，由抛物线定义知： 53||1,222
p PF m m m =+=+=∴=. ∴P
点的坐标为3,2⎛ ⎝. 222219614a b a b ⎧+=⎪∴⎨-=⎪⎩
，解得：122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.
则渐近线方程为b y x a
=±
=. 故选：C.
【点睛】 本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．2,10x R x ax ∀∈-+≥
【分析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】
写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题
“210x R x ax ∃∈-+<，”的否定是“210x R x ax ∀∈-+≥，”.
故答案为∀x ∈R ，x 2﹣ax +1≥0
【点睛】
本题考查命题的否定及特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．
10．必要不充分条件
【解析】
因为0m n =>时，221mx ny +=表示圆，所以“方程“221mx ny +=的曲线是椭圆””推不出方程“方程“221mx ny +=的曲线是椭圆”，当方程“221mx ny +=的曲线是椭圆”时，能推出0mn >，所以应该填必要不充分条件.
11．14
【分析】
利用已知条件列出方程组，求解a 、c ，得到椭圆的离心率．
【详解】
解：椭圆G 的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6， 246c a c =⎧⎨-=⎩
，解得8a =，2c =， 所以椭圆的离心率为：14
c e a ==．
故答案为：
14
． 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
12．()2,2
【分析】
设点M 在准线上的射影为D ，由抛物线的定义把问题转化为求|PM |+|PD |的最小值，同时可推断出当D ，P ，M 三点共线时|PM |+|PD |最小，答案可得．
【详解】
设点M 在准线上的射影为D ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PD |
∴要求|PM |+|PF |的最小值，即求|PM |+|PD |的最小值，
只有当D ，P ，M 三点共线时|PM |+|PD |最小，此时P 纵坐标为2，则横坐标为2
故答案为：()2,2
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，属中档题．
13．35
± 【分析】
考虑角α为锐角，设A 、B 两点在准线上的射影分别为C 、.D 过B 作BM AC ⊥于.M 则有AC AF =，BD BF =．设44AF BF m ==，则3.AM m =，35AM cos AB α=
=，同理由α为钝角得出3cos 5
α=-，综上可得出答案.
【详解】
解：若角α为锐角，如图，
设A 、B 两点在准线上的射影分别为C 、D ．
过B 作BM AC ⊥于.M 则有AC AF =，BD BF = 设44AF BF m ==，则3AM m =． 则35
AM cos AB α==． 若角α为钝角，由对称性可知3cos 5α=-
. 因此，3cos 5
α=±. 故答案为：35
±
． 【点睛】 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题．
14．4±
【分析】
设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，
可得2840t t -+=，解得4t =±即可求解．
【详解】
解：由抛物线C ：24y x =，得焦点()1,0F ，准线方程为 1.x =-过P 作PM 垂直准线于M ，
设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()0t >，则2
14t PF PM ==+，
PH =
由PH =
，可得2840t t -+=，
解得4t =±
则PFH ∆的面积为
1
242
t ⨯⨯=±
故答案为：4±【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．
15．（1）22
143
x y +=（2）210x y =或210x y =-
【分析】
（1）设出椭圆的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，由题意可得a ，c ，求得b ，可得所求方程；
（2）设抛物线的方程为2
x ty =，0t ≠，由焦点到准线的距离解得t ，可得所求方程． 【详解】
解：（1）设椭圆的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
由题意可得24a =，即2a =，22c =，即1c =，
b
则椭圆的标准方程为22
143
x y +=；
（2）设抛物线的方程为2
x ty =，0t ≠，
焦点到准线的距离为5，可得
1
52
t =，即10t =±， 则抛物线的标准方程为2
10x y =或2
10x y =-．
【点睛】
本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．（1）22
132
x y +=（2）直线l 的方程为2350x y +-=
【分析】
（1）根据椭圆的几何性质求得a =
b =
（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k ，从而求得直线l 的方程． 【详解】
解：（1）椭圆C 的离心率为
3
，3c a ∴=，223a c =
222222a b c b c =+∴=，即b =
椭圆C 的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为bc ∴=
2=1c ∴=，从而得a =b =∴椭圆C 的方程为22
132
x y +=；
（2）显然，直线l 的斜率存在，设该斜率k ， 直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =+-， 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得：
(
)
()()2
2232613160k x k k x k ++-+--=且该方程显然有二不等根，
记A ，B 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，
12
12
x x +=，即122x x +=， ()
2
61232
k k k -∴
=+，解得23k =-， ∴所求直线l 的方程为2350x y +-=．
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．
17．（1）抛物线C 的方程为2
2y x =．焦点坐标为1
,02（），准线方程为1
2
x =-
（2）面积的最小值为4 【分析】
（1）根据题意，将P 的坐标代入抛物线的方程，可得p 的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；
（2）直线AB 的方程为x ty a =+，与抛物线的方程联立，可得2
220y ty a --=，设
()11,A x y ，()22,B x y ，结合OA OB ⊥，结合根与系数的关系分析可得2212
1204
y y y y +=，
进而可得AOB 面积的表达式，分析可得答案． 【详解】
解：（1）由抛物线C ：2
2y px =经过点()2,2P 知44p =，解得1p =．
则抛物线C 的方程为2
2y x =．
抛物线C 的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，准线方程为12x =-；
（2）由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ty a =+，
由22x ty a y x
=+⎧⎨=⎩消去x ，得2220y ty a --=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y t +=，122y y a =-．
因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即2212
1204
y y y y +=，
解得120y y =（舍去）或124y y =-． 所以2 4.a -=-解得2a =． 所以直线AB ：2x ty =+．
所以直线AB 过定点
2,0（）
．121242
AOB
S
y y =⨯⨯-===． 当且仅当12y =，22y =-或12y =-，22y =时，等号成立． 所以AOB ∆面积的最小值为4． 【点睛】
本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程，属于中档题．
18．（1）椭圆C 的方程是2
214
x y +=；
（2）AB PQ
的取值范围为(4,． 【详解】
试题分析：（1）求椭圆C 的方程，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
经过点(1,2
，一个
焦点为
，故可用待定系数法，利用焦点为
可得c =
，可得221314a b
+=，再由222a b c =+，即可解出,a b ，从而得椭圆C 的方程；（2）求AB PQ 的取值范围，由弦长公式可求得线段AB 的长，因此可设1122(,),(,)A x y B x y ，由2
2(1),
{1,
4
y k x x y =-+=得，2
2
2
2
(14)8440k x k x k +-+-=，则12,x x 是方程的两根，有根与系数关系，得
2
122814k x x k +=+，2
122
4414k x x k
-=+，由弦长公式求得线段AB 的长，求PQ 的长，需求出,P Q 的坐标，直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，可得(1,0)P ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，故先求出线段AB 的中点坐标，写出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，既得Q 点的坐标，从而得PQ 的长，这样就得
AB PQ
的取值范围．
试题解析：（1）由题意得2222=3,
{13
1,4a b a b -+=解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2
214
x y +=．
（2）由2
2(1),
{1,
4
y k x x y =-+=得2222
(14)8440k x k x k +-+-=．
设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2
122814k x x k +=+，2
12
2
4414k x x k -=+， 121222(2)14k y y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为222
4(,)1414k k
k k
-++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为
．
于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 2
2
3(,0)14k
k
+，又点(1,0)P ， 所以22
2
2
3111414k k PQ k k +=-=++．
又AB =
=
．
于是，22
14114AB k k PQ k +===++
因为0k ≠，所以2
2
1331k <-<+．所以AB PQ
的取值范围为(4,．
考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．
19．（Ⅰ）2
214
x y +=；
（Ⅱ）1m =±. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意得到关于a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（Ⅱ）由题意得到直线AM,BM 的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得点E,F 的坐标结合题意即可得到关于m 的方程，解方程即可确定m 的值. 【详解】
（Ⅰ）由题意可得：222
222c e a AB b a b c ⎧==⎪⎪⎪
==⎨⎪=+⎪
⎪⎩
，解得：222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
椭圆的方程为2
214
x y += .
（Ⅱ）()()10,1,0,1,,2A B M m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为112k m =-
，直线BM 的斜率为232k m
=， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为3
12y x m =-，由2
21,411,
2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
得(
)
2
2
140m x mx +-=， ∴2
40,1
m
x x m ==
+， ∴22
241,11m m E m m ⎛⎫
- ⎪++⎝
⎭.
由2
21,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得()22
9120m x mx +-=， ∴2120,9
m
x x m ==
+，
∴222129,99m m F m m ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
.
∵11
sin sin 22
AMF BME S MA MF AMF S MB ME BME ∆∆=
∠=∠，，AMF BME ∠=∠， 5AMF
BME
S
S
=，
∴5MA MF MB ME =，
∴
5MA MB ME
MF
=
∴22
541219m m m m
m m m m =
--++ ∵0m ≠
，且m ≠∴整理方程得21m =， ∴1m =±为所求. 【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。