河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第八次考试(文)数学试题及答案解析

河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第八次考试
数学试题（文）
一、选择题
1. 设，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 设等差数列的前项和为，且，则( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
4. 抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. 1 C. D.
5. 设集合，函数，在中任取一个元素，则函数
一定有意义的概率为( )
A. B. C. D.
6. 函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则在下列区间中使是减函数的是( )
A. B. C. D.
9. 下图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )
A. B. C. D.
10. 若函数满足且的最小值为4，则实数的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D.
11. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
12. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13. 已知向量，，若，则的最小值为____________.
14. 在中，能使成立的的取值集合是____________.
15. 给出下列四个命题：
①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；
②“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是；
③若命题，则；
④函数在点处的切线方程为.
其中真命题的序号是________.
16. 已知为数列的前项和，且，若
，，给定四个命题①；②；③；④.
则上述四个命题中真命题的序号为____.
三、解答题
17. 设函数.
(1)求的对称轴方程；
(2)已知中，角的对边分别是，若，，求的最小值. 18. 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计
结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
(2)估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；
(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差小于10分的概率.
19. 如图，在四棱椎中，，平面，平面，，
，.
(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20. 已知椭圆，，为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意
一点，且，构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且
，求出该圆的方程.
21. 已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
(1)当时，求的极大值点和极小值点；
(2)若在上的最大值为1，求的值.
22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数)，.
(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？
(2)设曲线与曲线的交点为，，当时，求的值.
23. 已知函数的最小值为.
(1)求的值；
(2)设实数满足，证明：.
【参考答案】
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】，
故选A.
2. 【答案】C
【解析】
.
故选C.
3.【答案】B
【解析】由题，等差数列中，
则
故选B.
4. 【答案】D
【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.
5. 【答案】D
【解析】函数的定义域为，故一定有意义的概率为，选D.
6. 【答案】C
【解析】，则函数在上单调递增，在和上单调递减，
且
故选C
7. 【答案】A
【解析】三视图复原的几何体是底面为直角梯形，是直角梯形，
，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即平面所以几何体的体积为：
故选A．
8. 【答案】B
【解析】∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，
函数f（x）=sin4x﹣cos4x=2sin（4x﹣）；
若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）=2sin（4x+）的图象．
令2kπ+≤4x+≤2kπ+，可得k∈Z，当k=0时，
故函数g（x）的减区间为。

故答案为B 。

9. 【答案】D
【解析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本平均数，
由于“输出”即为平均数，循环体的功能是求各样本的平均值，
故应为.
故选D.
10. 【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域（如图），当目标函数经过可行域内的点
时，取得最小值，即，解之得
故选C.
11. 【答案】B
【解析】如图，设在准线上的射影分别为，且设
，直线的倾斜角为。

则。

所以，。

由抛物线焦点弦长公式可得。

选B。

或：由得，得直线方程与抛物线联立进而可解得，
于是。

故选B
12.【答案】A
【解析】函数有三个不同的零点等价于方程有三个不同的实根，当时，设，则为减函数，
当时，设，则当时当时，故在上单调递增，在上单调递减；
分别画出与的图像如图所示，由题意得
，故选A
二、填空题
13.【答案】6
【解析】试题分析：∵，∴，即，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为6.
14.【答案】
【解析】在△ABC中，A∈（0，π），∴sinA＞成立的充分必要条件是．
答案为：.
15. 【答案】④
【解析】①“若为的极值点，则”的逆命题为：若，则为
的极值点；这是个假命题，因为导函数的变号零点才是极值点；故原命题为假；②“平面向量，的夹角是钝角”的必要不充分条件是；故原命题为假；③若命题，则或者；故原命题为假；④函数在点处的切线方程为，，.故.是正确的。

故答案为：④。

16. 【答案】②④
【解析】构造函数为奇函数，且单调递增，依题意有
又，故数列为等差数列，且公差故
故①错误；
故②正确；由题意知
若，则而此时，不成立，故③错误；.，故④成立.
即答案为②④
三、解答题
17. 解：(1)∵，
由得的对称轴方程为.
(2)由，可得.
由，可得
在中，由余弦定理，得，
由知，当时取最大值，此时取最小值1
18.解：(1)由频率分布直方图知第七组的频率f7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.直方图如图．
(2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：
65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97(分). (3)第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第一组有学生2人，分别记作B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，所以从中任意抽取2人，分差小于10分的概率P＝＝。

19. (1)证明：因为平面，平面，所以，又因为，
，
所以平面，又因为平面，所以平面平面.
(2)结论：在线段上存在一点，且，使平面.
解：设为线段上一点，且，过点作交于，则.
因为平面，平面，所以.
又因为，所以，，所以四边形为平行四边形，则
又因为平面，平面，所以平面.
20. 解：(1)由题知，即，得①
又由，得②，且，综合解得.
∴椭圆的方程为.
(2)假设以原点为圆心，为半径的圆满足条件.
(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为，则，①
由消去，整理得，设，
，又∵，∴，
即，化简得.②
由①②求得，所求圆的方程为.
(ii)若的斜率不存在，设，则，∵，
∴，有，，代入，得，此时仍有. 综上，总存在以原点为圆心的圆满足题设条件.
21. 解：(1)因为，所以.
因为函数在处取得极值，
，当时，，，
，随
1
+
↗
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.
所以的极大值点为，极小值点为1.
(2)因为.
令得，，因为在处取得极值，所以，
(i)当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，令，解得.
(ii)当时，，
①当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得；
②当时，在区间上单调递增，上单调递增，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以
，解得，与矛盾；
③当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，
综上所述，或.
22.解：(1) 由得，该曲线为椭圆.
(2)将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，，，，
所以，从而，由于，所以.
23. 解：(1)∵
∴在上单调递增，在上单调递减，∴的最小值为
(2)由(1)知，
∵，∴
∴。