18,2 特殊的平行四边形 第一课时八年级数学下册课件(人教版)
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分析：很容易发现ABCD 为平行四边形只需有一个角为 直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．
解：四边形ABCD 是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2， ∴AD∥BC．∵l1∥l2， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD 为矩形．
总结
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边 形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
总结
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两 条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问 题经常通过转化到直角三角形和等腰三角形中来解决．
1 如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且 AD＝DE，连接BE 交CD 于点O，连接AO，下列结论
1 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
解：是，它有2条对称轴．
2 下列说法不正确的是( B ) A．矩形是平行四边形 B．矩形不一定是平行四边形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有
知识点 2 矩形的边角性质
A
D
首先研
究角的
性质
为什么?
B
C
※ 矩形的性质定理1
中不正确的是( A )
A．△AOB ≌ △BOC B．△BOC ≌ △EOD C．△AOD ≌ △EOD D．△AOD ≌ △BOC
2 如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM∥AB 交AD 于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB 的长为( D )
A．5 B．4 C. 34
2 D. 34
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
例3 如图，矩形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.
解： ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC 与BD 相等且互相平分. ∴OA=OB. 又 ∠AOB=60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴ AC=BD=2OA=8.
18.2 特殊的平行 四边形
第1课时
一般 平行两四组边对形边分 具有四别边平形行的的四 一切边性形质叫做平
A 行四边形 .
特殊
1.什么叫平行四边形？
2.平行四边形与四边形 有什么关系？
D 3.平行四边形有哪些性质？
①平行四边形的对角相等. ②平行
知识点 1 矩形的定义
平行四边形 有一个 角是直 角
长矩方形形
★矩形具有平行四边形的一切性质！
矩形定义： 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形.
A
D ∵在 ABCD 中，
∠A=90°
B
C ∴ ABCD 是矩形.
例1 如图所示，l1∥l2，A、B 是l1上的两点，过A、B 分 别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四 边形ABCD 是矩形吗?简述你的理由．
例4 如图(1)，BD，CE 是△ABC 的两条高，M，N 分别 是BC，DE 的中点．求证：MN⊥DE.
导引：如图(2)，连接EM，DM，由CE 与BD
为△ABC 的两条高，可得△BEC 与
△CDB 均为直角三角形，根据M 为BC
(1)
的中点，利用直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，可得EM 为BC 的一半，
知识点 3 矩形的对角线性质
A
D
两条对角线
有何关系?
B
C
※ 矩形的性质定理2 矩形的对角线相等.
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的 长．你有什么发现?
已知：如图所示，四边形ABCD 是矩形． 求证：AC=DB． 证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)． ∵AB=CD (平行四边形的对边相等)，BC =CB． ∴△ABC ≌ △DCB (SAS). ∴AC=DB．
1 求证：矩形的对角线相等.
解：已知：如图，四边形ABCD 是 矩形，AC 与BD 相交于点O. 求证：AC＝BD.
证明：因为四边形ABCD 是矩形， 所以∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC， 又BC＝CB， 所以Rt△ABC ≌ Rt△DCB， 所以AC＝DB，即AC＝BD.
2 一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一 个交角为120°.求这个矩形的边长 (结果保留小数点后两位).
DM 也为BC 的一半，通过等量代换可得
EM＝DM，又N 为DE 的中点，所以MN⊥DE.
(2)
证明：连接EM，DM，如图(2).
矩形的四个角都是直角.
例2 如图所示，在矩形ABCD 中，AE⊥BD 于点E， ∠DAE∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAO 和∠EAO 的度数．
导引：由∠DAE 与∠BAE 之和为矩形
的一个内角及两角之比即可求
出∠DAE 和∠BAE 的度数，从 而得出∠ABE 的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝ ∠ABE，即可求出∠BAO 的度数，再由∠EAO＝ ∠BAO－∠BAE 可得∠EAO 的度数．
3 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O， ∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB 的长是( A )
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
知识点 4 直角三角形斜边上中线的性质
在左图的Rt△ABC
A
D 中，OB与AC有
O
何关系？
B
C
OB= 1 AC
2
※ 推 论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
解：如图所示，在矩形ABCD 中，∠AOD＝∠BOC＝120°， 所以∠AOB＝∠COD＝60°.因为AC＝BD＝8，所以 OA＝OB＝OC＝OD＝4， 所以△AOB 为等边三角形，所以AB＝OA＝OB＝4. 在Rt△ABD 中，AD＝ BD2－AB2＝ 64－16＝ 48
≈6.93. 即这个矩形的边长分别为4，6.93，4，6.93.
解：四边形ABCD 是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2， ∴AD∥BC．∵l1∥l2， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD 为矩形．
总结
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边 形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
总结
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两 条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问 题经常通过转化到直角三角形和等腰三角形中来解决．
1 如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且 AD＝DE，连接BE 交CD 于点O，连接AO，下列结论
1 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
解：是，它有2条对称轴．
2 下列说法不正确的是( B ) A．矩形是平行四边形 B．矩形不一定是平行四边形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有
知识点 2 矩形的边角性质
A
D
首先研
究角的
性质
为什么?
B
C
※ 矩形的性质定理1
中不正确的是( A )
A．△AOB ≌ △BOC B．△BOC ≌ △EOD C．△AOD ≌ △EOD D．△AOD ≌ △BOC
2 如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM∥AB 交AD 于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB 的长为( D )
A．5 B．4 C. 34
2 D. 34
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
例3 如图，矩形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.
解： ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC 与BD 相等且互相平分. ∴OA=OB. 又 ∠AOB=60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴ AC=BD=2OA=8.
18.2 特殊的平行 四边形
第1课时
一般 平行两四组边对形边分 具有四别边平形行的的四 一切边性形质叫做平
A 行四边形 .
特殊
1.什么叫平行四边形？
2.平行四边形与四边形 有什么关系？
D 3.平行四边形有哪些性质？
①平行四边形的对角相等. ②平行
知识点 1 矩形的定义
平行四边形 有一个 角是直 角
长矩方形形
★矩形具有平行四边形的一切性质！
矩形定义： 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形.
A
D ∵在 ABCD 中，
∠A=90°
B
C ∴ ABCD 是矩形.
例1 如图所示，l1∥l2，A、B 是l1上的两点，过A、B 分 别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四 边形ABCD 是矩形吗?简述你的理由．
例4 如图(1)，BD，CE 是△ABC 的两条高，M，N 分别 是BC，DE 的中点．求证：MN⊥DE.
导引：如图(2)，连接EM，DM，由CE 与BD
为△ABC 的两条高，可得△BEC 与
△CDB 均为直角三角形，根据M 为BC
(1)
的中点，利用直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，可得EM 为BC 的一半，
知识点 3 矩形的对角线性质
A
D
两条对角线
有何关系?
B
C
※ 矩形的性质定理2 矩形的对角线相等.
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的 长．你有什么发现?
已知：如图所示，四边形ABCD 是矩形． 求证：AC=DB． 证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)． ∵AB=CD (平行四边形的对边相等)，BC =CB． ∴△ABC ≌ △DCB (SAS). ∴AC=DB．
1 求证：矩形的对角线相等.
解：已知：如图，四边形ABCD 是 矩形，AC 与BD 相交于点O. 求证：AC＝BD.
证明：因为四边形ABCD 是矩形， 所以∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC， 又BC＝CB， 所以Rt△ABC ≌ Rt△DCB， 所以AC＝DB，即AC＝BD.
2 一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一 个交角为120°.求这个矩形的边长 (结果保留小数点后两位).
DM 也为BC 的一半，通过等量代换可得
EM＝DM，又N 为DE 的中点，所以MN⊥DE.
(2)
证明：连接EM，DM，如图(2).
矩形的四个角都是直角.
例2 如图所示，在矩形ABCD 中，AE⊥BD 于点E， ∠DAE∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAO 和∠EAO 的度数．
导引：由∠DAE 与∠BAE 之和为矩形
的一个内角及两角之比即可求
出∠DAE 和∠BAE 的度数，从 而得出∠ABE 的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝ ∠ABE，即可求出∠BAO 的度数，再由∠EAO＝ ∠BAO－∠BAE 可得∠EAO 的度数．
3 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O， ∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB 的长是( A )
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
知识点 4 直角三角形斜边上中线的性质
在左图的Rt△ABC
A
D 中，OB与AC有
O
何关系？
B
C
OB= 1 AC
2
※ 推 论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
解：如图所示，在矩形ABCD 中，∠AOD＝∠BOC＝120°， 所以∠AOB＝∠COD＝60°.因为AC＝BD＝8，所以 OA＝OB＝OC＝OD＝4， 所以△AOB 为等边三角形，所以AB＝OA＝OB＝4. 在Rt△ABD 中，AD＝ BD2－AB2＝ 64－16＝ 48
≈6.93. 即这个矩形的边长分别为4，6.93，4，6.93.