定积分的微元法与平面图形的面积

y
因为面积元素为ydx， 所以
b
A1
a
ydx
0
，
椭圆的参数方程为: xa cos t ， yb sin t ，
于是
注意上下限
y O dx
x2 y2 1 a2 b2
ax
a
A1 0
ydx 0 b sin t d (a cos t) - a b 0 sin 2t d t
•在[, d ] 上曲边扇形的面积元素：
dA
1 2
[()] 2d
． DA
用圆扇形面积近似替代

小曲边扇形面积－以常代变
+d
ρ ()
•曲边扇形的面积为
A 1 [()] 2d ． O
2
x
例4 计算阿基米德螺线ρ a (a >0)上相应于从0变到2 的
所求图形的面积为：
A=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=f 下(x) x x+dx
bx
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积：
所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差
b
b
A= a f 上(x)dx - a f 下(x)]dx．
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
a
x
摆线一拱的面积
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
.
x
摆线一拱的面积
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
y
x
2 a2 sin 2
y
x
(6) 三叶玫瑰线
a sin 3

3


a
cos
3

2
-


6
x cos y sin
-
6
例 求双纽线 2 2a2 cos 2 所围面积
由对称性
S 4
4
1

2 (
于是面积元素为 dA = ( x -x 2)dx ，
以( x -x 2)dx为被积表达式，
1
以[0, 1]为积分区间求定积分
y2x yx 2
得所求的图形面积
11
A ( 00
x
-x
22)dx
[
2 3
x
- 33//22
1 3
x] 130130

1 3
．
0
x x+dx 1
x
求出积分区间后,可直接套公式.
一段弧与极轴所围成的图形的面积．
解
A
2 1 02
[
a
]2
d

a 2[
1 3

3]02
4 3
a 2 3．
2a
O
x
d
ρ a
dA= 1 [ a ] 2 d
2
例5 计算心形线ρ a(1cos ) (a>0) 所围成的图形的面积．
解

A2
1 [ a(1cos )] 2d
一、平面图形的面积 二、平面曲线的弧长 三、体积
7.2.1 平面图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积 二、在极坐标情形下求图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积．
面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．


2
2

1
a 1ba
b2Leabharlann (2 1(-1c-ocos s22tt))dd t

11
aabb··

1
a1bab．．
2 2 00
22 2 2 4 4
A 4A1 a b．
一般地，若曲线由参数方程
x x t

y

y
t

x t 不变号且连续，y ( t ) 连续．
第七章 定积分应用和广义积分
7.1 微元法 7.2 几何应用 7.3 物理应用 7.5 广义积分
7.1 定积分的微元法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题 y
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
x b所围成。
Oa
b
A a f ( x)dx
y = f(x) bx
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x) f(i)
得n个小区间： [xi-1 , xi ]
f(2) f(1)
区间[xi-1 , xi ]的长
度Dxi xi -xi-1 ．
f(i)Dxi
(i=1, 2 , ···, n)． n
A DAi i 1
需要我们找出的 被积表达式
注 DU f x dx 中，f (x)dx必须是DU的线性主部，
即要 DU - f x dx o Dx
此时实际上 f (x)d x = d U
几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
应用： 物理：功；水压力；引力
计算：平均值等．
7.2 几何应用
O
a 1 x1 2 x2
xi-1 i xi
xn-1 b x
•任取i [xi-1，xi ] ,∆Ai ≈ f ( i) Dxi i=1,2,…,n.
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (i )Dxi ．
四步哪一步 最重要？
i1
•记 max{Dx1, Dx2， ···, Dx n }．则


0
a
ax

. . . . .
6
1
3]
6
y4
-2
3]14-82．18．
思考: 选x为积分变量?
2
8
A 0 [ 2x - (- 2x)]dx 2 ( 2x - x 4)dx
例3
求椭圆 x2 y 2 1所围成的图形面积． a2 b2
解 设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1．
第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为[0，a]．
3 a2
a
2
2
0
2 0
(3 1 cos 2t)dt 22
2
sin tdt cos 0
tdt
0
摆线一拱的面积是母圆面积的3倍。
y
0
2a
x
二、在极坐标情形下求图形的面积
•曲边扇形及曲边扇形的面积：
由曲线ρ()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．
[, d ] [, ],
a 1 cos
0.4 0.2
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
1 0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1
a sin
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.4-0.2 0.2 0.4
a 1- sin
-1
-0.5
-0.5
0.5
1
-1
-1.5
-2
a 1- cos
部分的面积
由 3cos =1+cos
得交点的坐标 θ
y
=3cos

S = 2
π 3
1 (1

cosθ
)2
dθ
02

π
2 π
3
9 cos 2 θ 2
dθ
π
x
o3
S
2
3

=1+cos
. . . . .
例 求由双纽线 ( x y )
内部的面积。
双纽线化成极坐标 2 a2
a(x
cos 2θ
-
y ) 所围而且在圆周 x
令 = 0, θ k

y

a2 2
由对称性
令 a , θ k
y
2

S = 4
π a2
12 2
+
π
4 π
6
1a 2
2cos2θ
dθ
( - )a
θ π 4 θ π 6
l2
故两切线为 l : y x - , l : y - x
其交点的横坐标为
x
x
o

3

3
A = 2 [4x - 3 - (- x 2 4x - 3)]dx 0


[- x


-
(- x

x
-
)]dx

–3

例 求曲线 3cos θ及 1 cos θ分别所围成的公共
讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？
y
是否要讨论f上, f下 的正负?
只有x能做积分变量?
y
y=f 上(x)
d x=f 左( y)
x=f 右( y)
Oa
A1
bx
A3
y=f 下(x)
y
c
a
y=f 上(x)
O
A2
y=f 下(x)
bx
O
x
A1=A2=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
2) x, x dx a,b， U在[x, x + dx]上的部分量
DU f x dx dU
3）
U

b
a
f
x dx
y=f 上(x) y
O
a
y=yf=下f(下x)(x) bx
例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积。
解 两曲线的交点(0,0) , (1,1). 选 x为积分变量x [0,1]
[x, x dx] [0,1]
在[x,x+dx]上 DA ( x -x 2)dx ， y
02
a 2 0
( 1 2cos
2
1 cos 2 ) d
2
a 2[ 3 2sin
2

1 4
sin2]0
3 a 2 ．
2
d
dA = 1 [ a(1cos )] 2d
2
ρ a(1cos )
2a
O
x
几种常见的曲线
(1)圆
a cos
(2)心形线
)d
02




a cosd

2a 2
y

4
0
2a x
. . . .
例 求抛物线 y - x x - 与其在点 (0,-)和点(3,0)处的
切线所围成图形的面积
。
y
由 y - x
。 。
得两切线的斜率为 k , k -
l1
1 0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.5
-1
a 1 sin
2 1.5
1 0.5
-1
-0.5
0.5
1
(3) 星形线
2
2
2
x3 y3 a3
1
0.5
-1
-0.5
-0.5
0.5
1
-1
(4)螺旋线
a
1
-2 -1 -2 -3 -4
2
4
6
(5)双纽线
2 a2 cos 2
给出，
当y ( t ) > 0
A

b
a
ydx



y
t

x

t

dt
当y ( t ) ＜ 0
A

b
-a
ydx


-
y
t

x

t

dt

A
y t
x t dt
其中 , 是与积分限 a, b 对应的参数值．
注意： 不一定比 小．
摆线一拱的面积
n
•曲边梯形的面积的精确值为：A=
lim
0
i1
f (i )Dxi
．记
b
f ( x) dx
a
y
简化步骤：
任取 x, x dx a,b
DA f x dx dA
面积元素 O a
A

b
a
f
x dx
y = f(x)
f(x)dx
x x+dx
bx
二、元素法（微元法）
[ y, y dy] [-2, 4],
2
y=x-4
在[y, y+dy]上面积元素为
dA = (y 4 - 1 y2)dy ，
所求的图形面积为
2
0 2 4 6 8x
-2
(2, -2)
A
4
A
-2
(4y
-2
(y
4
4--1212yy22))dyy
[[1212y
2y24y4-y1-y
A3 = d [f 右(y)-f 左(y)]dy． c
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积．
解 画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)．
将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]．
y 2=2x
选 y 为积分变量 y [-2, 4] 4
(8, 4)
2a
a
t
0
a
a
2a x
摆线一拱的面积 x = a (t – sint)
y = a (1– cost)
2 a
2
A 0
ydx 0 a(1- cos t) a(1- cos t)dt
a2
2 0
(1-

2
a
cos t
23 2
cos2
t 2 0
t)dt
当所求量U 符合下列条件： “整体量 = 部分量之和”
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关的
量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相应
地分成许多部分量，而整体量U 等于所有部分
量之和；
（3）部分量 DU 的近似值可表示为 f (x)Dx 。