2021年高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编含答案

2021年高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001
12
f x f x =+=-
，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）
A ．0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为
1346个 【答案】AC 【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得
052,6
x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6
x k k Z π
ωϕπ++=-
∈，两式相减可求出ω，进而求得
周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】
解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝⎭
，所以A 正确； 因为()()001
12
f x f x =+=-
， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令05
2,6
k k Z ωϕππ+=-
∈， ()012,6
x k k Z π
ωϕπ++=-∈，
两式相减得，23
πω=， 所以23T π
ω
=
=，即B 错误，C 正确；
因为3T =，
所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，
()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.
故选:AC . 【点睛】
本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．
2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC
外接圆半径为
7
D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】
对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2
A π
=
，由此确定选项
正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】
对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453
cos 0256604
A +-=
==>⨯⨯，
16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2
231
cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭
，cos2cos A C =.0,02
2
A C π
π
<<
<<
，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.
对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，
()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由
于0,0A B ππ<<<<，所以2
A π
=
，故B 选项正确.
对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<
，sin 8C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R
，则2sin 2sin 7c c
R R C C
=
⇒===
，故C 选项错误.
对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，
则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，
所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是
2sin a
R A
=，而不是sin a
R A =.
3．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
B ．()f x 是周期为2π的函数
C ．()f x 有对称轴
D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点
【答案】BD 【分析】
先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】
因为[][]
()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,
3x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，22
()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，而
cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数，故A 错误.
由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩
可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.
若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，
所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛
⎫=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛
⎫-
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③，
由②③可得cos 2sin 20
cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨
+=-⎩
， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π
2
a
或32a π=.
若π
2
a
，则2
1
116222222f π⎛⎛⎛⎫-=--+=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
而2
71116
2226f f π
π⎛⎛⎛⎫⎛⎫
=-=-+≠-
⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
若32a π=，则2
1911162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫
=+-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】
方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.
4．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为
三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是
（ ）
A ．ABC 的周长为10+
B ．AB
C 的三个内角A 、C 、B 成等差数
列
C ．ABC
D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】
本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =
ABC
S =△以及S =A 正确，
然后根据余弦定理求出1cos 2
C =
，则π
3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据
2sin c R C =
即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos B =，再根据cos B =求出CD 长，D 错误. 【详解】
A 项：设ABC 的内角A 、
B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，
因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =
设2a t =，3b t =，()0c t =>，
因为ABC
S =△，所以=
解得2t =，则4a =，6b =，c =
故ABC 的周长为10+A 正确；
B 项：因为2221636281
cos 22462
a b c C ab +-+-===⨯⨯，
所以π
3C =
，π2ππ233
A B C +=-=
=， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；
C 项：因为π3C =
，所以sin C =
由正弦定理得2
sin 3c R C =
==
，3R =，C 错误；
D 项：由余弦定理得222cos
214a c b B ac +-===
，
在BCD △中4BC =，BD =
由余弦定理得2cos
14B ==
，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】
本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222
cos 2a c b B ac
+-=，考
查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+<<< ⎪⎝
⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成
立，3y f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2
x π=
对称
D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 【答案】BD 【分析】
由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππ
ϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数可得
()3
k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】
因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫
=+=± ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±
⎪⎝⎭
，得()122k k ωππ
ϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数，
所以
()3
k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ②.
由①②可得
()(),3
12
2
k k k k ωπ
ωπ
π
π''-
=--
∈Z ，
即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)3
3
k k k k π
π
ϕππ=+
=-
'∈'Z ，得3πϕ=，
所以2n 2)3(si f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，
由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22
T π
π=
=，所以B 正确；
2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，所以C 不正确；
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，k ∈Z ，得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立”得到“
212f π⎛⎫
=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”
后，能根据“3y f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
为奇函数”得到“()3k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ”.
6．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．π4g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦
【答案】BC 【分析】
首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝
⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质.
【详解】
()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
1sin 462
g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
π上单调递增，
故C 正确；,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小
值-1，当23
3
x π
π
-=
⎡-⎢⎣
⎦.
故选：BC 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
7．已知函数()1
cos cos 632
f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减 C ．51,62π⎛⎫
⎪⎝
⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为
1
2
【答案】ABC 【分析】
利用三角恒等变换思想化简()11
sin 2232
f x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】
cos cos sin 326
6x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，
()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，32232x πππ≤+≤， 此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，
51511
11sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，
所以，51,62π⎛⎫
⎪⎝
⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 11
1122
f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
()sin y A ωx φ=+形式，
再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
8．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6
π
个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()6
2
k x k Z π
π
=-+
∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫
-+-+∈⎪⎢⎣⎭
D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
【答案】AC 【分析】
首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】
cos 2y x =的图象上所有点向左平移
π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再向下平移
1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛
⎫
==+- ⎪⎝
⎭
， 对于A ，令23
x k π
π+
=，解得,6
2
k x k Z π
π
=-
+
∈，函数的对称轴是,6
2
k x k Z π
π
=-
+
∈，故A 正确； 对于B ，令23
2
x k π
π
π+
=
+，解得：,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈，所以函数的对称中心
,1,122k k Z ππ⎛⎫
+-∈ ⎪⎝⎭
，故B 不正确； 对于C ，令2223
k x k π
πππ-+≤+≤，解得：236
k x k ππ
-
+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-+-+∈⎢⎥⎣⎦
，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调
递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫
-
+-+∈⎪⎢⎣⎭
也正确，故C 正确；
对于D ，令2223
k x k π
πππ≤+
≤+，解得：6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，所以函数单调递减
区间是,63k k ππππ⎡⎤
-++⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC 【点睛】
方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，
()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的
1
ω
倍，得到函数的解析式是
()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解
析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.
9．设函数()()1sin 022f x x x πωωω⎛⎫
=++> ⎪⎝⎭
，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）
A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=
B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点
C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】AD 【分析】
化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，令6
t x πω=+，由[]
0,x π∈可求得
,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+> ⎪⎝⎭
的图象，可判断AB 选项
的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误.
【详解】 ()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭
的图象如下图所示：
对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-， 所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确；
对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；
对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346π
πωππ≤+<，解得
172366
ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,
2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上不单调，C 选项错误. 故选：AD.
【点睛】 关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x π
ω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,6
6ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.
10．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A ．tan ϕ=
B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为
6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移
2
π个单位得到 【答案】ABC
【分析】
首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.
【详解】 解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以
11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛
⎫+
= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6
π=ϕ；
对于A ，tan tan 6π
ϕ==
，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭，得26
k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为
6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝
⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=+
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π
个单位得到，故D 错误.
故选：ABC .
【点睛】
关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.。