拓扑学第三章几种特殊类型的拓扑空间

第三章 几种特殊类型的拓扑空间
说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。

在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中看我能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。

本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。

§ 3-1 第一与第二可数公理
基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。

而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。

所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。

定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和局部可数基。

解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。

定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。

定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。

例1 （1C 空间的例子）
结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。

解释：因为，设(,)x X d ∈，记 1
{(,)
}x B x n N n =∈B （注：1(,
)B x n
为半径
1n
的球形邻域）
则x B 为x 的邻域族。

设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε⊂。

因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。

即X 是1C 空间。

例2 （非1C 空间的例子）
结论：设X 为不可数无穷集，{C
C A
A τ=是X 的可数子集}{}⋃∅ 为X 上的余可数拓扑，
(,)C X τ为拓扑空间，则X 不满足1C 公理。

解释：首先，对于x 的每一邻域x U （即C τ中的开集），C
x U 是可数集。

利用反证法。

现设x V 是点x 处的可数局部基，由于对X 中每一个异于x 的点y ，有{}C
y 是x 的邻域（因为，{}y 是X 的可数集），故必存在y x V ∈V 使得{}C
y V y ⊂，即{}C
y y V ⊂。

于是，异于x 的全体{}C
y x =，有
{}x x
C
C C y
x
y x
U x V
U
≠∈⊂
⊂
V
在上式中，左侧{}C
x 是不可数集，而右侧是可数个可数集的并，仍是可数集，而不可能有
“可数集⊃不可数集”
故而是矛盾的，即说明x V 的可数局部基假设是错误的，即X 不满足1C 公理。

例3 （2C 空间的例子） 结论：实数空间R 是2C 空间。

解释：令B 为所有以有理数为端点的开区间构成的集族，可知B 是可数族，并且可以证明B 是
R 的基（留给同学自己证明）。

故R 满足第二可数公理。

例4 （非2C 空间的例子）
结论：设X 为不可数无穷集，(,)X τ是离散拓扑空间，则(,)X τ不是2C 空间。

解释：设 (,)X τ是离散拓扑空间，X 为不可数无穷集。

可知，所有单点集{}x 都属于τ。

又由于单点集不能表示成异于自身的其他τ中成员的并，故单点集必属于基B 中成员。

由于X 为不可数无穷集，则单点集不是可数的。

即，(,)X τ不是2C 空间。

定理1 2C 空间一定也是1C 空间。

事实上，若X 有可数拓扑基B ，则任意点x 有可数局部基{,}B B x B ∈∈B 。

分析： X 是2C ⇒X 是1C ； 反之，X 是1C ⇏X 是2C
X 不是1C ⇒X 不是2C ； 反之，X 不是2C ⇏X 不是1C
例如，任一离散空间X （X 是不可数集），对于每一x X ∈，单点集{}x 就是x 处的局部基（只含{}x 的一个成员，则是可数的），所以满足第一可数性公理；
又由例4知，X 不满足第二可数性公理。

定理2 可分的度量空间是2C 空间。

（注释：若X 存在可数稠密子集，称X 是可分的） 证明： 若(,)X d 是可分的度量空间，A 是它的一个可数稠密子集，即 1
{(,)
,B a a A n n =∈B 为自然数}
则B 是一个可数的开集族。

下面证明B 是(,)X d 的拓扑基。

提示：只要证明X 上的任何开集U 及x U ∈，总存在a A ∈（可数稠密集）和自然数n ，使得1
(,)x B a U n ∈⊂。

（如右图所示）
取0ε>，使得(,)B a U ε⊂，取2
n ε
>，a A ∈，使得1(,)d x a n
<
，
则1
(,)x B a n ∈。

若1(,)y B a n
∈，则1(,)d x a n
<
，由三角不等式，有2(,)d x y n
ε<
<，从而(,)y B x ε∈（说明：
1(,
)B a n
不仅是x 的局部基，而且是其中任何点的局部基，即是X 的基成员）。

于是
1
(,)(,)B a B x U n
ε⊂⊂
而1
(,)B a n
∈B ，即B 是X 的可数基。

例5 Hilbert 空间E ∞
是一个可分的度量空间。

（下面是Hilbert 空间E ∞
的定义）
所有平方收敛的实数序列构成的集合（线性空间），其中规定内积
1
,i i i x y x y ∞
=<>=⋅∑
它决定了一个度量
(,)d x y =
则由此得到的度量空间记为E ∞
，成为Hilbert 空间。

（Hilbert 空间E ∞
中的元素为无穷实数序列。

） 记
{{}
{}n n A x x E
∞
=∈，n x 为有理数，且只有有限个不是0}
则A 是E ∞
的可数稠密集，因此，E ∞
可分，故是2C 空间。

定义4 设:f X Y →为拓扑空间X 到Y 中的映射。

如果X 中每一开集（闭集）在f 下的象都是Y 中的开集（闭集），则称f 为开映射（闭映射）。

注释：f 是开映射，意味着
1
f
-是连续的。

定理3 设X ，Y 为拓扑空间，:f X Y →为在上的连续开映射。

若X 是1C （或2C ）空间，则Y 也是1C （或2C ）空间。

证明略。

定理说明：可数性公理是拓扑不变性质。

问 题：在上的连续开映射，是同胚吗？
（缺少一一对应，同胚是开映射，反之不然）
定理4 1C （或2C ）空间的子空间仍是1C （或2C ）空间。

定理4 若12,,,n X X X 是1C （或2C ）空间，则12n X X X ⨯⨯⨯ 也是1C （或2C ）空间。

上述几个定理均不证明，只做解释：
定理4 称为可遗传性；定理5称为可乘性。

有上述定理，我们自然会得出如下结论：
“n 维欧氏空间n E 的任一子空间均满足第一和第二可数公理” 因为，1E 是2C 空间，由定理1知也是1C 空间； 又由定理5，1
1
1
n E E E E
=⨯⨯⨯ 也
是2C 空间（1C 空间）；再由定理4，故有此结论。

●（以下为重要结论） 下面的讨论可以看出，在1C 空间中的序列性质与微积分（实分析）中序列的性质有较多相似之处。

定理6 设X 为拓扑空间，且在点x X ∈处有可数局部基，则点x 有可数局部基12{,,}V V 满足条件12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。

证明： 设点x 的可数局部基为12{,,}U U ，令 12,
1,2,i i V U U U i =⋂⋂⋂=
显然，12{,,}V V 是x 的可数邻域族，且满足12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。

下面仅需证明它是x 的局部基。

因为，对于x 的任一邻域U ，由于12{,,}U U 是x 的局部基，故存在j U U ⊂。

于是
12j j
j
V U U U
U
U =⋂⋂⋂⊂⊂
即j V U ⊂，故12{,,}V V 是x 的局部基。

定理7 设A 是1C 空间X 的子集，点x X ∈为A 的聚点{}A x ⇔-中有序列收敛于x 。

证明：
（⇐充分性） 设序列{}i i N x ∈在{}A x -中，且lim i i
x x =。

若U 是x 的任一邻域，则存在n N ∈，
使得当i n >时，i x U ∈（且{}i x A x ∈-）。

于是({})U A x ⋂-≠∅，故x 是A 的聚点。

（⇒必要性）设x 是A 的聚点，则x 处有可数局部基，由定理6，设12{,,}V V 是点x 的局部基，并满足条件12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。

因为x 是A 的聚点，于是，对于1,2,i ∀= ，由于({})i V A x ⋂-≠∅。

任取({})i i x V A x ∈⋂-，序列{}i i N x ∈在{}A x -中。

于是，对于x 的每一邻域U ，存在n N ∈，使得n V U ⊂，从而当1i i n V V V U -⊂⊂⊂⊂ 。

于是i n >时，i x U ∈，即lim i i
x x =。

定理8 设X ，Y 为拓扑空间，X 满足公理1C ，x X ∈，映射:f X Y →在点x 处连续⇔若
X 中序列{}i i N x ∈收敛于x ，则Y 中序列{()}i i N f x ∈收敛于()f x 。

定理9 设X ，Y 为拓扑空间，X 满足公理1C ，则映射:f X Y →连续⇔若X 中序列{}i i N
x ∈收敛于x X ∈，则Y 中序列{()}i i N f x ∈收敛于()f x 。

上述两个定理的证明可详见教材，证略。

定理8说明在点x 处收敛的充要条件，定理9说明f 连续的充要条件。

§ 3-2 林德勒夫（Lindel öf ）空间
定义1 设A 为集族，B 为集合。

如果A B A ∈⊂
A
，则称集族A 为集合B 的覆盖；当A 为可
数集或有限集时，分别称A 为B 的可数或有限覆盖，
若集族A 为集合B 的覆盖，且A 的子族1A 也是B 的覆盖，则称1A 是覆盖A 关于B 的子覆盖。

拓扑空间X 的开（闭）集族A 是X 的子集B 的覆盖，则称A 为B 的开（闭）覆盖。

▲ 在数学分析中知：
“实数空间中，A 为有界闭集的充要条件是A 的每一开覆盖都有有限子覆盖”。

这种利用有限覆盖描述闭集以及收敛问题的方法，对于拓扑空间极为有用（以后讨论紧性用到）。

但是，我们也看到，有限覆盖性质对于实数空间R 也不能成立。

故而，人们考虑对“有限”性加以
放宽，引入了Lindel öf 空间概念。

定义2 设X 为拓扑空间，如果X 的每一开覆盖都有可数的子覆盖，则称X 为Lindel öf 空间。

下面几个定理都是描述Lindel öf 空间性质的。

定理1 （Lindel öf 定理） 2C 空间都是Lindel öf 空间。

证明：设拓扑空间X 为2C 空间（具有可数基），令B 为X 的可数基。

又设A 是X 的一个开覆盖，即对于A ∀∈A ，A 是开集（即A τ∈），则A 为B 中某些成员的并，即存在A ⊂B B ，使得A
B A B ∈=
B。

令 1A A B ∈=
B A
（注：A B 是并成A 的B 中成员族，于是，1B 是覆盖A 中所有成员在基B 中的组成元素） 而1B 是B 的子集族，而B 是可数的，则1B 也是可数的，且有
1
()A
A
A B A B A B B B B A X ∈∈∈∈∈∈
=
=
=
=
B B
B
A
A
A
即1B 也是X 的覆盖。

（注：1B 是B 的子集族，而不是A 的子集族，于是，下面证明：存在A 的可数子集族覆盖X ） 对于每一1A A B B ∈∈=
B A
，由于存在A ∈A ，使得B A ∈B ，所以B A ⊂。

因此，我们可以选定一
个B A ∈A ，使得B B A ⊂。

记 1
1{}B A B =∈B A
提示：下面的内容是： 即1B ∈B ，可找到一个B A ∈A ，使得B A B ⊃； 又
1
B B X ∈=
B ，则
1
B B A X ∈=
B
1
A
是A 的子族，且
1
1
1
B A B B A A B X ∈∈∈=
=
=
B B A
故1
A
是A 的子覆盖。

又由于1B 可数，则1
A
也可数。

于是A 有可数子覆盖1
A。

证毕。

利用拓扑遗传性质，我们不难得出如下结论： 推论1 2C 空间的子空间也是Lindel öf 空间。

推论2 n 维欧氏空间的每一子空间都是Lindel öf 空间。

★ 注：定理1的逆命题不成立，即Lindel öf 空间不一定是2C 空间。

下面来求证：（见本章§3-1节，例2）
设X 为不可数无穷集，C τ为余可数拓扑。

我们已经证明了X 不是1C 空间，因此，也推出X 不是2C 空间（因为2C ⇒1C ；则不是1C ⇒不是2C ）。

但是，能证明(,)C X τ是Lindel öf 空间。

理由如下：
因为，若A 是X 的开覆盖，任取A ∈A （即A 是开集，C A τ∈），A ≠∅，则C
A 为可数集，且{}A -A 覆盖C
A 。

对于C
x A ∀∈，选取{}x A A ∈-A ，有{}{}C x A x A A ∈⋃为X 的开覆盖，而{}C
x A x A ∈是
可数开覆盖，于是{}{}C
x A x A A ∈⋃是A 的可数子覆盖。

故X 是Lindel öf 空间。

● 下面几个定理不加以证明的给出，理解其含义即可。

定理2 Lindel öf 的度量空间是2C 空间。

定理3 Lindel öf 空间的每一闭子空间都是Lindel öf 空间。

定理4 若拓扑空间X 的每一子空间都是Lindel öf 空间，则X 的每一不可数子集A 都有A 的聚点。

推论3 2C 空间X 的每一不可数子集A 都有A 的聚点。

（由定理4）
推论4 n 维欧氏空间的任意不可数子集A 都有A 的聚点。

（由定理4和推论2） ● 本章讨论的各类型空间之间的关系如下图：
§ 3-3 分离性公理
分离公理是关于两个点或两个闭集能否用邻域来分隔的性质，它们也是对拓扑空间的附加要求。

0T 公理 —— 任何两个不相同的点,x y X ∈，或x 有开邻域U ，使得y U ∉，或者y 有开邻域V ，
使得x V ∉。

1T 公理 —— 任何两个不相同的点,x y X ∈， x 有开邻域不含y ，且y 有开邻域不含x 。

2T 公理 —— 任何两个不相同的点,x y X ∈，有不相交的开邻域。

3T 公理 —— 若任一点x X ∈及X 的闭集A ，且x A ∉，则x 与A 分别有开邻域,U V ，使得
U V ⋂=∅。

（说明：有的教材成为正则的）
4T 公理 —— 任何两个不相交的闭集，有不相交的开邻域。

（说明：有的教材成为正规的）
度量
A
A
B
U
V
V 1T 公理 2T 公理 3T 公理 4T 公理
定义：（1）满足0T 公理的拓扑空间X 称为0T 空间。

（2）满足1T 公理的拓扑空间X 称为1T 空间。

（3）满足2T 公理的拓扑空间X 称为Hausdorff 空间。

（4）满足1T 公理同时满足3T 公理的拓扑空间X 称为正则空间。

（5）满足1T 公理同时满足4T 公理的拓扑空间X 称为正规空间。

● 先分析各个分离公理的关系： 显然有：
2T 公理⇒1T 公理⇒ 0T 公理
反之不成立。

例如：
① {,,}X a b c =，{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=∅，则X 满足0T 公理，即,a b X ∈，存在a 的开邻域{},a U b U =∉。

但是X 不满足1T 公理。

因为不存在b 的开邻域V ，使得a V ∉。

（即说明0T ⇏1
T
）
② (,)f R τ是余有限拓扑，下面验证满足1T 公理。

因为任给x y ≠，记{},{}U R y V R x =-=-。

显然，,f U V τ∈，即,U V 是开集，有
,x U y V ∈∈，且,y U x V ∉∉。

故X 不是1T 空间。

但是，U V ⋂≠∅，故X 不是2T 空间。

● 下面我们关心的是：是否有如下关系？
4T ⇒3T ⇒2T
结论是，上述关系不成立。

例如：考虑拓扑空间(,)R τ，其中{(,)}a a τ=-∞-∞<<∞
在(,)R τ中，开集(,)a -∞的余集(,)[,)C
a a -∞=∞是闭集。

可知，对于拓扑空间R 上任给两个闭集[,),[,)A a B
b =∞=∞，若,A B 均非空，则A B ⋂≠∅。

如果,A B 中有一个空集，此时，,A B 不相交，并且开集R 和∅分别是A 和B 的不相交的开邻域，这说明(,)R τ是满足4T 公理的。

但是，可以证明(,)R τ不满足1T ，2T 和3T 公理。

（其中，不满足3T 公理的结论同学练习着证明，提示：(,)R τ上的邻域形式都是(,)x -∞） ● 为使各个分离公理具有蕴含关系，我们对3T 和4T 公理补充条件，其中，下述结论很重要。

命题1 X 满足1T 公理⇔X 的有限子集是闭集。

证明： ()⇒若x X ∈，由于X 是1T 空间，则对任意,y X y x ∈≠，y 有开邻域V ，使得x V ∉，即{}V x ⋂=∅，即{}y x ∉（闭包）。

上述说明，只要y x ≠，则y 就不是x 的聚点，则{}{}x x =（即点x 的闭包就是自身），即独立点集是{}x 闭集。

所以，X 的有限子集也是闭集。

(参见右图)
()⇐ 设y x ≠。

因为{}y 是闭集，所以{}
{}C y X y =-是x 的开邻域，且它不
含y ；
同样，{}{}C
x X x =-也是y 的不含x 的开邻域。

即X 是1T 空间。

x
由命题1，得到如下的蕴含关系：
如果X 满足1T 公理时，有
4T ⇒3T ⇒2T
● 解释上述关系成立的理由：
由于1T 空间的每一独立点集都是闭集，此时，4T 空间必是3T 空间，而3T 空间也必是2T 空间。

于是，我们有
正规空间⇒正则空间⇒Hausdorff 空间⇒1T 空间⇒0T 空间
§ 3-4 满足分离公理的拓扑空间性质
命题2 若X 满足1T 公理，A X ⊂，点x 是A 的聚点，则x 的任一开邻域U 与A 的交U ⋂A 是无限集。

证明： 用反证法。

设x 有开邻域U ，且与U ⋂A 是有限集。

记 (){}B U A x =⋂-
则它也是有限集。

由命题1，有限集是闭集，故B 是闭集。

于是C
B
是开集，进而C
U B U B -=⋂是开集（U ,B 是开的，则交是开的），
且是x 的邻域。

但是，U B -中除了x 以外，不再含A 中任何点，说明x 不是A 的聚点。

这与假设矛盾。

命题3 Hausdorff 空间中一个序列不会收敛到两个及以上的点（只有一个极限点）。

证明： 设Hausdorff 空间X 中序列{}n n N x ∈收敛到0x ，又设0x x ≠，我们只要证明n x ↛x . 取0x 和x 不相交开邻域U 和V 。

因为0n x x →，所以U 中含有{}n x 的几乎所有项（即当n m >时，{}n x 都属于U ），于是，V 中最多只能含有{}n x 的有限个元素，从而n x ↛x .
证毕。

注释：命题3 对于1T 空间不成立，同学们自己去找反例。

命题4 度量空间满足1T ，2T ，3T 和4T 公理。

不证明。

命题5 X 是拓扑空间
（1）X 满足3T 公理⇔任意点x 和它的开邻域W ，存在x 的开邻域U ，使得U W ⊂。

（2）X 满足4T 公理⇔任意闭集A 和它的开邻域W ，有A 的开邻域U ，使得U W ⊂。

证明：由于（1），（2）的证明方法雷同，故知证明（2）。

()⇐ 设A 与B 是不相交的闭集，则C
B 是A 的开邻域。

由条件，存在A 的开邻域U ，使得C
U W B ⊂=。

记 ()C
V U =，则V 是开集，且B V ⊂，有U V ⋂=∅
，
A
U
A
B
U
()
C
U V
=C
B
W
=
A
B
()C
U
U
U
故X 满足4T 公理（见图）。

()⇒ 记C
B W =，则A 与B 是不相交的闭集。

由4T 公理，存
在A 与B 是不相交的开邻域U 与V ，有C
C
U V B
W ⊂⊂=，故命
题得证。

§ 3-5 乌雷松（Urysohn ）定量化定理
本节主要介绍从分离公理和可数公理引出的拓扑学中较深刻的定理。

由于证明非常枯燥，所以，本届只是简单的介绍定理的基本思想，不做详尽证明。

因此本节只是简介。

定理1 （Urysohn 引理） 若拓扑空间X 满足4T 公理，则对于X 的任意两个不相交的闭集A 和
B ，存在X 上的连续函数:[0,1],f X →使得x A ∈时，()0f x =，当x B ∈时，()1f x =。

解释：Urysohn 引理。

能够构造这个函数，则有
当x A ∈时，()0f x =，
当x B ∈时，()1f x =；
也就是说，若()(0,1)f x ∈时，x A ∉且x B ∉。

即A ，B 是可分离的。

所以引理的结论是的等价条件。

定理2 （Tirtze 铁策扩张定理）如果X 满足4T 公理，则定义在X 的闭集A 上的连续函数可以连续地扩张到X 上去。

Tirtze 铁策扩张定理的另一种描述：
若X 满足4T 公理 ⇔ 对于X 的任意闭子集A 以及A 上的任意连续映射0:[,]f A a b →，0f 都有一个在X 上的连续扩张:[,]f X a b →。

★ 关于“引理”和“扩张定理”的意义解释：
如果存在一个拓扑空间[,]a b R ⊂上的连续函数，则可找到X 到实数集上的一一对应，而[,]a b 是可度量的，则可以在X 上决定度量。

▲ 那么，什么是可度量化，这里做以解释：
在第二章，我们介绍了度量空间可以自然导出拓扑，即
对于任何度量空间(,)X d ，d τ是有度量d 导出的拓扑，于是，(,)X d 可以转化成拓扑空间
(,)d X τ。

（通常取开集(,)B x ε为拓扑基）
反之，设(,)X τ为给定的拓扑空间，如果存在X 上的度量d ，使得由d 导出的拓扑d τ与已知的拓扑τ相同，即d τ=τ。

那么，就成拓扑空间(,)X τ可度量化。

▲ 关于“嵌入映射”的概念
如果:f X Y →是单的连续映射，并且:()f X f X →是同胚映射，则称:f X Y →是嵌入映射。

（即X 与()f x 同胚）
▲ 下面给出Urysohn 度量化定理以及相应的几个重要结论。

命题6 拓扑空间X 可度量化 ⇔ 存在从X 到一个度量空间的嵌入映射。

证明：()⇒ 设X 是度量空间，d 是X 上的度量，d τ为X 的拓扑，则恒同映射:(,)
x I X X d →U
V
A B
U
C
W B
=
是同胚映射。

（即x I 是嵌入映射）
()⇐ 令(,)Y d 为度量空间，设:(,)f X Y d →是嵌入映射，记()B f X =，B d 是d 在B 上诱
导的度量，则是同胚映射。

于是，我们规定X 上的度量ρ为：
(,)((),())B x x d f x f x ρ''= 则1
:(,)(,)B f
B d X ρ-→是保持度量的一一对应，从而是同胚。

于是：恒同映射1
:x I f f - 是两个同胚映射的合成，故x I 是同胚:(,)x I X X ρ→。

即ρτ是X 上的
原有拓扑。

证毕。

★ 下面的定理是本节的重要结论：
定理1 （Urysohn 度量化定理）拓扑空间若满足14,T T 和2C 公理（即，正规的2C 空间），则X 可以嵌入到Hilbert 空间E ∞
中。

由于定理证明非常复杂，故略。

下面重点解释乌雷松度量化定理的含义：
（1） 我们知道， Hilbert 空间E ∞
是度量空间，是可分的，是2C 空间。

（2） 一个拓扑空间若满足2C 和正规的，则X 可以嵌入到Hilbert 空间E ∞
中，即X 是可以度量化的。

（3） 由于
“正规空间⇒正则空间⇒Hausdorff 空间⇒1T 空间”
且 “21C C ⇒”
于是，当X 满足1234,,,T T T T 和12,C C 这所有6个公理时，X 一定可以度量化；
反之不然，即度量空间未必一定满足全部的6个公理（如，有的度量空间未必是2C 空间，见§3-1中例4）。

（4）已知2C 空间都是Lindel öf 空间（见§3-2中定理1），另外，还有一个（未证明的）结论：“每个满足3T 公理的Lindel öf 空间都是4T 空间”。

这意味着：
对于满足2C 公理的拓扑空间X ，有 “X 是3T ⇒X 是4T ”。

于是，许多教科书中关于定理1（Urysohn 度量化定理）的描述是：
定理1'（度量化定理） 每个满足2C 公理的3T 空间都可以嵌入到Hilbert 空间E ∞
的一个子空间中。

即凡满足2C 公理的3T 空间都可以度量化。

（5） 由前面讨论知：Hilbert 空间E ∞
是可分的，而满足2C 公理的3T 空间X 与E ∞的一个子空间同胚，则X 也是可分的度量空间；
又由前面的定理知，可分的度量空间是2C 空间，且“度量化空间一定是3T 空间”。

于是，可分的度量空间一定是满足2C 公理的3T 空间。