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2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用课时跟踪检测(五十九) 二项式定理 含解析

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2020年浙江高考数学一轮复习： 二项式定理

2020年浙江高考数学一轮复习： 二项式定理

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角度三：由已知条件求 n 的值或参数的值 5．(2019·浙江考前冲刺)若二项式(2x＋a x)n 的展开式中所有
项的二项式系数和为 32，x3 的系数是 160，则 n＝________， a＝________. 解析：∵2n＝32，∴n＝5，二项展开式的通项 Tr＋1＝ Cr5(2x)5－rarx2r＝C5r25－rarx5－2r，当 5－2r＝3 时，r＝4， ∴C45×2×a4＝160，解得 a＝±2. 答案：5 ±2
x
的展开式中，x2
的系数为________．
解析：x－2
1
5
x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr5x5－r·－12r·x－2r＝－12rC5rx 5－32r .
令 5－32r＝2，解得 r＝2.
故展开式中 x2 的系数为－122C52＝52. 答案：52
[通法在握]
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求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝ Cnkan－kbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通 项求解，注意 k 的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”
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[题点全练] 角度一：求展开式中的某一项
1．二项式4x2－1x6 展开式中的第 4 项为
A．－1 280x3
B．－1 280
C．240
D．－240
()
解析：4x2－1x6 展开式中的第 4 项为 T3＋1＝C36(4x2)3－1x3＝ －1 280x3，选 A.
答案：A
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2．(2019·浙江名校联考)(1＋x－2)( x－2)5 的展开式中的常数

2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练(五十九)用样本估计总体

2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练(五十九)用样本估计总体

课时跟踪练(五十九)A组基础巩固1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45B．50C．55D．60解析：由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.所以该班学生人数n＝150.3＝50.★答案★：B2．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：观察2014年的折线图，发现从8月至9月，以及10月开始的三个月接待游客量都是减少的，故A选项是错误的．★答案★：A3.(2019·肇庆检测)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．5，8 B．4，9C．6，7 D．3，10解析：由题意根据甲组数据的中位数为15，可得x＝5；乙组数据的平均数为16.8，则9＋15＋18＋24＋10＋y5＝16.8，求得y＝8.★答案★：A4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15C．16 D．32解析：已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.★答案★：C5．(2019·西宁检测)某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90，100]内的人数分别为( )A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，4解析：由频率分布直方图可得分数在[50，60)内的频率是0.008×10＝0.08，又由茎叶图可得分数在[50，60)内的频数是2，则被抽测的人数为20.08＝25.又由频率分布直方图可得分数在[90，100]内的频率与分数在[50，60)内的频率相同，则频数也相同，都是2，故选C.★答案★：C6．(2019·陕西质检)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为________．解析：因为一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x －2)，所以4x －2＝16，得x －＝2(负舍)，所以x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＋x 4＋24＝x －＋2＝4.★答案★：47．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析：底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.★答案★：248．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如图：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892为________．解析：易知x －甲＝90，x －乙＝90. 则s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.★答案★：29.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平．解：(1)根据题意，x －甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x －乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10. 所以m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，因为x－甲＝x－乙，s2甲>s2乙，所以甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．10．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．B组素养提升11．(2019·信阳三中月考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：甲地5天的气温为26，28，29，31，31， 其平均数为x －甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29；方差为s 2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；标准差为s 甲＝ 3.6.乙地5天的气温为28，29，30，31，32， 其平均数为x －乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30；方差为s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；标准差为s 乙＝2，所以x －甲＜x －乙，s 甲＞s 乙． ★答案★：B12．一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( )A ．－11B ．3C ．9D ．17解析：设没记清的数为x ，对x 进行讨论．若x ≤2，则这列数为x ，2，2，2，4，5，10，平均数为25＋x7，中位数为2，众数为2，所以2×2＝25＋x7＋2，解得x ＝－11.若2<x ≤4，则这列数为2，2，2，x ，4，5，10，平均数为25＋x 7，中位数为x ，众数为2，所以2x ＝25＋x7＋2，解得x ＝3.若x >4，则这列数为2，2，2，4，x ，5，10，或2，2，2，4，5，x ，10，或2，2，2，4，5，10，x ，平均数为25＋x7，中位数为4，众数为2，所以2×4＝25＋x7＋2，解得x ＝17，所以－11＋3＋17＝9.故选C.★答案★：C13．某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.★答案★：(1)3(2)6 00014．(2019·周口抽测调研)甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：(1)请填写下表(写出计算过程)：分类平均数方差命中9环及9环以上的次数甲乙①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．解：由题图，知甲射击10次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射击10次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.(1)x—甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，x—乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，s2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.填表如下：(2)①平均数相同，s2甲<s2乙，所以甲成绩比乙稳定．②因为平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，所以乙成绩比甲好些．③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020年高考数学一轮复习(新课改)课时跟踪检测(五)函数及其表示

2020年高考数学一轮复习(新课改)课时跟踪检测(五)函数及其表示

课时跟踪检测(五) 函数及其表示[A级基础题一一基稳才能楼高]1. (2019重庆五校联考)下列函数中，与y= x相同的函数是()A. y= x2B. y= lg 10x2C . y=牛D . y= ( ,x- 1)2+1解析：选B 选项A, y= x2= |x|与y= x的对应法则和值域不同，不是相同函数；选2x项B, y= lg 10x= x，是相同函数；选项C, y= — = x(x丰0)与y= x的定义域不同；选项 D , 函数的定义域不相同，不是相同函数•故选 B.e'-1, x w 1, nt2. (2019 山西名校联考)若函数f(x)i 2 d 则f(f(2))=( )5 -x , x>1,A. 1B. 4C. 0D. 5 - e2解析：选 A 由题意知，f(2) = 5 —4= 1, f(1) = e°= 1，所以f(f(2)) = 1.3. (2019马鞍山质量检测)已知函数f(x)= c 1, x为有理数，c 田務则f(1)+f(U2)+f(°)+ 0, x为无理数，+ f^/2120)=( )A. 44 B.45C. 1 009 D.2 018解析：选A 由442= 1 936,452= 2 025可得1, 2, 3,…，2 020中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f(1) + f( .2)+ f( 3) +…+ f( 2 020) = 44.4. (2019邯郸调研)函数y= ——2的定义域为()A.(―汽1]B. [ —1,1]C. -1，- 2 -1，1O 匚1，-扣•— 2，"I厂 21-x >0,解析：选C 要使函数有意义，需。

22x2—3x —2 丰 0,1<x<1所以函数y2x2- 3x- 2*| —1VXV —2或-1<x<1 .的定义域为了=_护*4皐解不等式组得,x A 2a ,•••函数f(x)=lx<b.厂 x —1 e , x<2, lo93 x — 1 , x > 2,B . 5x — 2a + ln(b — x)的定义域为[2,4),•2a = 2,b = 4, a = 1,b = 4, •••a + b = 1 + 4= 5.故选 B. A . (1,2) B.C. 1, 4解析：选 A 当 x<2 时，不等式 f(x)>1 即 e x 1>1x — 1>0 , • x>1 ,则 1<x<2 ；当 x > 2D . [2,+^ )1 4 时，不等式f(x)>1即—log j (x — 1)>1 ,••• 0<x — 1<3, • 1<x<3,此时不等式无解.综上可得, 3 3 不等式的解集为(1,2).故选A. 准做快做达标] 1. [B 级保分题 (2019玉溪模拟)与函数y = 10lg(x — °的图象相同的函数是( ) y = x — 1 y = B . y = |x — 1|x 2— 1D . y=不 解析：选C 函数y = 10lg(x —1)的定义域为{x|x>1} . y = x — 1与y = |x — 1|的定义域都为R , 故排除A , B ; y = £二」的定义域为{X |X M — 1},故排除D ; y = x +1 的定义域为{x|x>1}, 解析式可化简为y = x — 1,因此正确，故选 C. 2. (2019全国名校联考)设函数f(x) = 3a x , x w 1, log a 2x +4 , x>1,且 f(1) = 6 则 f(2)=() C . 3 D . 6 解析：选 C 由题意，得 f(1) = 3a = 6,解得 a = 2,所以 f(2) = log 2(2 x 2 + 4) = log ?8= 3, 故选C. 3. (2019 •西名校联考)若函数f(x)满足f(3x + 2) = 9x + 8，则f(x)的解析式是( ) A. f(x)= 9x + 8 B. f(x)= 3x + 2 C. f(x)=— 3x — 4解析：选B 要使函数有意义，则x — 2a > 0, 6. (2019乌鲁木齐一诊)函数f(x)= c则不等式f(x)>1的解集为D . f(x)= 3x + 2 或 f(x) = — 3x — 4t — 2 t — 2解析：选 B 令 t = 3x + 2，则 x =匚-，所以 f(t)= 9X 二-+ 8 = 3t + 2.所以 f(x)= 3x + 2,3 3 故选B.B . 3 D . 301 — x 2解析：选C 由于f(1 — 2x)= 才(x 工0),则当1 —15.故选C.log 2X + a , x>0, 亠5. (2019福州检测)已知函数f(x)=x —,门 右f(a)= 3,则f(a — 2)=( )|4— 1, x W 0,C . - 63或3解析：选 A 若 a>0 ,则 f(a)= log 2a + a = 3,解得 a = 2，贝U f(a — 2) = f(0) = 4—2 — 1=—15；若a w 0,则4 2 — 1 = 3,解得a = 3,不合题意.综上f(a — 2)=—池.故选A.6. (2019邵阳检测 股函数f(x) = log 2(x — 1) + 2 — x ,则函数 诗 的定义域为( )A . [1,2]B . (2,4]C . [1,2)D . [2,4)解析：选 B •••函数 f(x)= log 2(x — 1) +72— x 有意义，•••「解得 1<x w 2,12 — x > 0,•函数的f(x)定义域为(1,2], • 1<2 < 2,解得x € (2,4]，则函数f 亍的定义域为(2,4].故 选B.—x ?+ 4x , x W 4,7.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a , a + 1)上单调递增，贝U 实数alog 2x , x>4.的取值范围是()B . [1,4]D . (— a, 1] U [4,+^ )解析：选D 作出函数f(x)的图象如图所示,4.(2019郑州外国语学校月考)若函数f(1 — 2x) =2'(X 丰 0)」f 1=()15 15 16B . 3—坐或 16A .(―汽 1] C . [4 ,+s )1 1 2x= 1时，x = 4,所以由图象可知，若f(x)在(a, a+ 1)上单调递增，需满足a》4或a + 1w 2,即a< 1或a>4,故选D.8. (2019山东省实验中学段考)已知函数f(x)的定义域为(0,+^ )，则函数y =的定义域是_________ .—x1 2—3x+ 4解析：•••函数f(x)的定义域为(0, + ),••• f(x+ 1)的定义域为(一1,+ )，要使函数y = f(x有意义，则—x2—3x+ 4>0，•—4<x<1，•函数y= 的定义—x2—3x+ 4 —x2—3x+ 4域为(—1,1).答案：(一1,1)9. 若函数f(x)在闭区间［—1,2］上的图象如图所示，则此函数的解析式为________ .1解析：由题图可知，当一1 < x<0时，f(x)= x+ 1 ;当0W x< 2时，f(x)= —^x,x+ 1，—1 < x<0,所以f(x)= I1—2x, 0 W x< 2. L 2"x+ 1, —1 W x<0 ,答案：f(x)=(1—2x, 0 W x< 2 L 2f2x + 2ax, x> 2, 210.已知函数f(x) =1 x若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是___________ .I2x+ 1, x<2,解析：由题知，f(1) = 2+ 1 = 3, f(f(1)) = f(3) = 32+ 6a，若f(f(1))>3a2，则9 + 6a>3a2, 即a?—2a —3<0 ,解得—1<a<3.答案：(一1,3)ax+ b , x<0 ,1 求f(x)的解析式；2 画出f(x)的图象.了=_护*4皐11•设函数f(x)= 2x x》0且f(—2)= 3 , f( —1) = f(1).I- I h I _ I b I I I铲.■严呻..^4 ・・■$■・h-i-—-4—i—i—iF -I F I I |i I P P -I P I I F I F(2)f(x)的图象如图:f(X + 3), x— 1， 12•设函数 f(x)= 2x+ 2,— 1<x<1，已知 f(a)>1 , _^1一一1, x > 1, x求a 的取值范围.解：法一：(数形结合)画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y = 1，由图可见，符合 f(a)>1的a 的取值范围为(一R,— 2)U — 1, 1 .法二：(分类讨论)①当 a < — 1 时，由(a + 1)4>1，得 a + 1>1 或 a + 1< — 1，得 a>0 或 a< — 2, 又 a < — 1,.・.a< — 2;1②当一1<a<1 时，由 2a + 2>1，得 a>— , 1又•••— 1vav1,「.— 2<a<1 ；3 1 ③当a > 1时，由丄一1>1，得Ovav 1, a 2 又••• a > 1,「.此时a 不存在.解：⑴由f —2尸3,f -1 尸 K 1 > —2a + b = 3, —a + b = 2, 解得F_— 1b = 1,所以f(x)才—x + 1, x<02x , x > 0.综上可知，a的取值范围为(一R,—2)U —1，1 .。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十九二项式定理含解析

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十九二项式定理含解析

课时跟踪检测（四十六） 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．(2019·广西陆川中学期末)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －1＝0的位置关系是( )A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为＋2＋＋2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25 B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17 D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋－2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－32＝1.即d ＝|2k |1＋k2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A. 5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)，∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为－2＋－2＝2，所截得的最短弦长为222－22＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选 C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254解析：选 C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝r 2，a 2＋＋2＝r 2，a 2＋－2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.9．(2018·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：选C 因为圆C 的圆心的坐标C (6,8)， 所以OC 的中点坐标为E (3,4)， 所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，故以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选B ∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，∴直线y ＝kx ＋3过圆心(1,1)，即1＝k ＋3，解得k ＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P 为直线x ＋y －2＝0上的点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，切点为M ，N ，若∠MPN ＝90°，则这样的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 连接OM ，ON ，则OM ＝ON ，∠MPN ＝∠ONP ＝∠OMP ＝90°，∴四边形OMPN 为正方形， ∵圆O 的半径为1，∴|OP |＝2，∵原点(圆心)O 到直线x ＋y －2＝0的距离为2， ∴符合条件的点P 只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝11＋k2，则|AB |＝21－d 2＝21－11＋k2＝2k 21＋k2，当k ＝1时，|AB |＝212＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x－y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋－b 2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －722＝54.答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________． 解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝－2＋－2－2＝5.答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，a ＋2＋b ＋2＝52－r ，－a2＋－6－b2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32，∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18课时跟踪检测（四十七）系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系[A 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·昆明模拟)若点A ，B 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，弦AB 的中点为D (1,1)，则直线AB 的方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －2＝0解析：选D 因为直线OD 的斜率k OD ＝1，所以直线AB 的斜率k AB ＝－1，所以直线AB 的方程是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，故选D.2．(2019·湖北七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3B ．4C ．2 3D ．8解析：选B 由题意知O 1(0,0)与O 2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得5＜|m |＜3 5.再根据题意可得O 1A ⊥AO 2，∴m 2＝5＋20＝25，∴m ＝±5，∴|AB |2×5＝25×5，解得|AB |＝4.故选B.3．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)解析：选C ∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，∴2－b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，∴6＋b ＜0，解得b ＜－6.综上，实数b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.4．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a2＝1，解得a ＝±24.5．(2019·昆明高三质检)已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )A ．3＋6或3－ 6B ．3＋26或3－2 6C ．9或－3D ．8或－2解析：选A 由题知圆C 的圆心为C (0,3)，半径为6，取AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，在△ACD 中，AC ＝6，∠ACD ＝60°，所以CD ＝62，由点到直线的距离公式得|－3＋m |32＋1＝62，解得m ＝3±6，故选A. 6．(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能解析：选C 由已知得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋2c ＝0的距离d ＝|2c |a 2＋b 2＞2，所以c 2＞a 2＋b 2，在△ABC 中，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．7．(2019·武汉模拟)若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y ＋m ＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m ＝0，得m ＝0.答案：08．(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.答案：39．(2019·广西两市联考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦长为23，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆心为(a ，b )(a ＞0，b ＞0)，半径为r ，则由题可知a ＝2b ，a ＝r ，r 2＝b 2＋3，解得a ＝r ＝2，b ＝1，所以所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝410．(2019·广东佛山一中检测)已知圆C 经过点(0,1)且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．解：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则|－k －3|1＋k2＝2， 所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. 由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝－2＋－1－2－2＝2 2.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝y 1y 224＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝m 2＋2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516. [B 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·成都名校联考)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ―→·OB ―→的值是( )A ．－12B ．12C ．－43D ．0解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ―→·OB ―→＝1×1×cos 120°＝－12.2．(2019·天津南开中学月考)若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.23 B ．1 C.12D ．34解析：选B 因为a 2＋b 2＝43c 2，所以圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝32，所以直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－d 2＝2×12＝1，选B. 3．(2019·贵州安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围；(2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)．(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5， ∴|OC |＝2，|AM |＝1.∴MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线的方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0，或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0，因此MN 所在直线的方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.课时跟踪检测（四十五） 直线与方程[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．(2019·永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则直线l 1与直线l 2之间的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知，直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝ 2.3．(2019·成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为( )A. 2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q(2,1)，所以点P (3，2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，P Q 垂直直线，即m ·2－13－2＝－1，∴m ＝－1，故选C.4．(2019·济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( )A ．x －y ＝0B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y 15＝1，即x ＋4y －30＝0.综上所述，可知选C.5．(2019·深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选 A 由题意知k ≠±1.联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x －ky ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k1－k 2，y ＝11－k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k1－k 2＜0，11－k 2＞0，∴－1＜k ＜0.故选A.6．(2019·银川月考)点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3)D ．(－6,3)解析：选C 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2－＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广州月考)已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析：选C 设直线AB 的倾斜角为α. ∵A (1，3)，B (－1,33)，∴k AB ＝33－3－1－1＝－3，∴tan α＝－3，∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.故选C.2．(2019·惠阳月考)点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255解析：选C 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.故选C.3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7 B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A 因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以x 2＋y 2的最小值即为原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，d ＝|－4|1＋1＝22，d 2＝8.5．(2019·重庆第一中学月考)光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由对称性可得光线从A 到B 的距离为|AB ′|＝－3－2＋[5－－2＝510.故选C.6．(2019·黄陵期中)不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)解析：选D ∵直线方程为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5， ∴直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.∵不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.故选D.7．(2018·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|PA |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1，0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2,3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.8．(2019·大庆一中期末)设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 解析：选B 直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，可得直线PA 的斜率k PA ＝－52，直线PB 的斜率k PB ＝43.若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.9．(2019·河南新乡期末)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.10．(2019·淮安期末)若三条直线x ＋y －2＝0，mx －2y ＋3＝0，x －y ＝0交于一点，则实数m 的值为________．解析：直线x ＋y －2＝0，x －y ＝0的交点为(1,1)，所以m －2＋3＝0，解得m ＝－1. 答案：－111．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝012．直线l ：x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 解析：设直线l 的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，直线l 的斜率k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π13．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是________________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m2－3x 2＋23mx ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞ 14．(2019·江苏如皋联考)“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)解析：若l 1∥l 2，则m (m －2)－3＝0，解得m ＝3或m ＝－1(此时两直线重合，舍去)，所以m ＝3，必要性成立；若m ＝3，k 1＝k 2，l 1∥l 2，充分性成立，所以“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的充要条件．答案：充要15．(2019·四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ，y 轴上的截距相等． (1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点P (a ，b )在直线l 上，求3a＋3b的最小值． 解：(1)①截距为0时，l ：y ＝2x ；②截距不为0时，k ＝－1，l ：y －2＝－(x －1)，∴y ＝－x ＋3.综上，l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l ：x ＋y －3＝0，∴a ＋b ＝3，∴3a＋3b≥23a·3b＝23a ＋b＝63，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立，∴3a ＋3b的最小值为6 3.16．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0. 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5.课时跟踪检测（四十一） 直线、平面垂直的判定与性质1．(2019·厦门期末)若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αB ．若m ∥α，n ⊥m ，则n ⊥αC ．若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则α∥βD ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥n解析：选D 选项A 中，m 与α的关系是m ∥α或m ⊂α，故A 不正确；选项B 中，n 与α之间的关系是n ⊥α或n 与α相交但不垂直或n ∥α，故B 不正确；选项C 中，α与β的关系是α∥β或α与β相交，故C 不正确；选项D 中，由线面平行的性质可得命题正确．故选D.2．(2019·广西五市联考)若α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．若α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则α⊥βB ．若α⊥β，α∩β＝m ，α∩γ＝n ，则m ⊥nC ．若m 不垂直于平面α，则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线D ．若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β解析：选D 对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，选项A错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．故选D.3．(2019·南昌调研)如图，四棱锥P­ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：选B 对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P­ABCD中，△PAB 与△PBC是正三角形，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD ⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.4．(2019·唐山一模)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n解析：选B 由m⊥l1，m⊥l2及已知条件可得m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β；反之，α⊥β时未必有m⊥l1，m⊥l2，故“m⊥l1，m⊥l2”是“α⊥β”的充分不必要条件，其余选项均推不出α⊥β，故选B.5．(2018·泉州二模)在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 均为所在棱的中点，易知E ，F ，G ，M ，N ，Q 六个点共面，直线BD 1与平面EFMN Q G 垂直，并且选项A 、B 、C 中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D 中的直线BD 1与平面EFG 不垂直，满足题意．故选D.6．(2019·赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部解析：选B 如图，连接AC 1.∵∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵BC 1⊥AC ，BC 1∩AB ＝B ，∴AC ⊥平面ABC 1，又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面ABC 1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC 1内一点C 1向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上．故选B.7．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：128．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABCF .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：如图①所示，过点K 作KM ⊥AF 于点M ，连接DM ，易得DM ⊥AF ，与折前的图形对比，可知折前的图形中D ，M ，K 三点共线且DK ⊥AF (如图②所示)，于是△DAK ∽△FDA ，所以AK AD ＝AD DF ，即t 1＝1DF ，所以t ＝1DF ，又DF ∈(1,2)，故t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，19．(2019·唐山五校摸底)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若PC ＝2，求三棱锥C ­PAB 的高．解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC . 因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . (2)由PC ＝2，PC ⊥CB ，得S △PBC ＝12×(2)2＝1.由(1)知，AC 为三棱锥A ­PBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA ＝AB ＝PB ＝2，于是S △PAB ＝12×22sin 60°＝ 3.设三棱锥C ­PAB 的高为h ，则13S △PAB ·h ＝13S △PBC ·AC ，13×3h ＝13×1×2， 解得h ＝63，故三棱锥C ­PAB 的高等于63. 10．(2019·南京模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB .(1)求证：CD ⊥AP ；(2)若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB .证明：(1)因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP .又AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD .因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP .(2)由(1)知CD ⊥AP ，因为CD ⊥PD ，PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .①因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD .又AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .② 由①②得CD ∥AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB .11．(2019·长郡中学选拔考试)如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，点N 在线段AC 上．(1)若AN NC＝λ，且DN ⊥AC ，求λ的值； (2)在(1)的条件下，求三棱锥B ­DMN 的体积．解：(1)如图，取BC 的中点O ，连接ON ，OD ，因为四边形BCDE 为菱形，∠BCD ＝60°，所以DO ⊥BC ，因为△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，所以DO ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以DO ⊥AC ，又DN ⊥AC ，且DN ∩DO ＝D ，所以AC ⊥平面DON ，因为ON ⊂平面DON ，所以ON ⊥AC ，由O 为BC 的中点，AB ＝BC ，可得NC ＝14AC ，所以ANNC＝3，即λ＝3.(2)由平面ABC ⊥平面BCDE ，AB ⊥BC ，可得AB ⊥平面BCDE ，由AB ＝2，ANNC＝3，可得点N 到平面BCDE 的距离h ＝14AB ＝12，由∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，可得DM ⊥BE ，且DM ＝DE 2－EM 2＝22－12＝3，所以△BDM 的面积S ＝12×DM ×BM ＝32，所以三棱锥B ­DMN 的体积V B ­DMN ＝V N ­BDM ＝13Sh ＝13×32×12＝312.课时跟踪检测（四十） 直线、平面平行的判定与性质1．(2019·西安模拟)设α，β是两个平面，直线a ⊂α，则“a ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 依题意，由a ⊂α，a ∥β不能推出α∥β，此时平面α与β可能相交；反过来，由α∥β，a ⊂α，可得a ∥β.综上所述，“a ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，选B.2．(2019·四川名校联考)如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 由题可得A 1M ＝13A 1B ，AN ＝13AC ，所以分别取BC ，BB 1上的点P ，Q ，使得CP＝23BC ，B Q ＝23BB 1，连接M Q ，NP ，P Q ，则M Q 綊23B 1A 1，NP 綊23AB ，又B 1A 1綊AB ，故M Q 綊NP ，所以四边形M Q PN 是平行四边形，则MN ∥Q P ，Q P ⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ，则MN ∥平面BB 1C 1C ，故选B.3．(2019·枣庄诊断)如图，直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA ′＝4，点E ，F ，G ，H ，M 分别是边AA ′，AB ，BB ′，A ′B ′，BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC ′A ′，则动点P 的轨迹长度为( )A ．2B ．2πC ．2 3D ．4解析：选D 连接MF ，FH ，MH ，因为M ，F ，H 分别为BC ，AB ，A ′B ′的中点，所以MF ∥平面AA ′C ′C ，FH ∥平面AA ′C ′C ，所以平面MFH ∥平面AA ′C ′C ，所以M 与线段FH 上任意一点的连线都平行于平面AA ′C ′C ，所以点P 的运动轨迹是线段FH ，其长度为4，故选D.4．(2019·成都模拟)已知直线a ，b 和平面α，下列说法中正确的是( ) A ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b B ．若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥bC ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bD ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b解析：选B 对于A ，若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 或a 与b 异面，故A 错；对于B ，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错；对于D，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错．5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MN Q不平行的是( )解析：选A 法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以M Q∥CD，所以AB∥M Q .又AB⊄平面MN Q，M Q⊂平面MN Q，所以AB∥平面MN Q.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MN Q.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接O Q，则O Q∥AB.因为O Q与平面MN Q有交点，所以AB与平面MN Q有交点，即AB与平面MN Q不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MN Q.故选A.6．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C 对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.7．如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O 为BC 1的中点，∴D 为A 1C 1的中点，则A 1D ∶DC 1＝1.答案：18．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1； ③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D ，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因为AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④9．在三棱锥P ­ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：810．(2019·南宁毕业班摸底)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥底面ABC ； (2)求几何体ADEBC 的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，AB 的中点N ，连接GM ，FN ，MN .∵G ，F 分别是EC ，BD 的中点， ∴GM ∥BE ，且GM ＝12BE ，NF ∥DA ，且NF ＝12DA .又四边形ABED 为正方形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD ，∴GM ∥NF 且GM ＝NF .∴四边形MNFG 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又MN ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)连接CN ，∵AC ＝BC ，∴CN ⊥AB ， 又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED .易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CN ＝12AB ＝12，∵C ­ABED 是四棱锥，∴V C ­ABED ＝13S 四边形ABED ·CN ＝13×1×12＝16.11．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点，求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)如图，连接AE ，设DF 与GN 的交点为O ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O . 连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线， 所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN . 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点， 所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .12．(2019·河南八市联考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD＝2，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，PA 的中点，点Q 是BC 上一个动点．(1)当Q 是BC 的中点时，求证：平面BEF ∥平面PD Q ；(2)当BD ⊥F Q 时，求B QQ C的值．解：(1)证明：∵E ，Q 分别是AD ，BC 的中点， ∴ED ＝B Q ，ED ∥B Q ，∴四边形BED Q 是平行四边形， ∴BE ∥D Q.又BE ⊄平面PD Q ，D Q ⊂平面PD Q ， ∴BE ∥平面PD Q ，又F 是PA 的中点，∴EF ∥PD ， ∵EF ⊄平面PD Q ，PD ⊂平面PD Q ， ∴EF ∥平面PD Q ，∵BE ∩EF ＝E ，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ∥平面PD Q. (2)如图，连接A Q ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD . ∵BD ⊥F Q ，PA ∩F Q ＝F ，PA ⊂平面PA Q ，F Q ⊂平面PA Q ， ∴BD ⊥平面PA Q ，∵A Q ⊂平面PA Q ，∴A Q ⊥BD ，在矩形ABCD 中，由A Q ⊥BD 得△A Q B 与△DBA 相似， ∴AB 2＝AD ×B Q ， 又AB ＝1，AD ＝2， ∴B Q ＝12，Q C ＝32，∴B Q Q C ＝13.课时跟踪检测（五十八）排列与组合[A级基础题——基稳才能楼高]1．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )A．2 160 B．720C．240 D．120解析：选B 分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，则共有10×9×8＝720种分法．2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．(2019·安徽调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )A．250个B．249个C．48个D．24个解析：选C ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.4．(2019·漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( ) A．540 B．480C．360 D．200解析：选D 由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15 C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．5．(2019·福州高三质检)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服。

2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第十章+第二节+二项式定理+Word版含解析

2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第十章+第二节+二项式定理+Word版含解析

第二节 二项式定理突破点一 二项式的通项公式及应用[基本知识]1．二项式定理2.二项式系数与项的系数 [基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．( ) (2)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (3)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1.⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 答案：452．在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为________． 答案：2403.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．答案：3[全析考法]考法一 形如(a ＋b )n 的展开式问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10B ．20C ．40D ．80(2)(2019·陕西黄陵中学月考)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式中常数项为( ) A.52 B ．160 C ．－52D ．－160[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 36＝52，选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．考法二 形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题[例2] (1)(2018·广东一模)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5的展开式中，x 3的系数为( ) A ．120 B ．160 C ．100D ．80(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5＝x (1＋2x )5＋1x (1＋2x )5，∵x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为x ·C 25(2x )2＝40x 3，1x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为1x ·C 45(2x )4＝80x 3，∴x 3的系数为40＋80＝120.故选A.(2)根据(1＋x )8和(1＋y )4的展开式的通项公式可得，x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.[答案] (1)A (2)D [方法技巧]求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．考法三 形如(a ＋b ＋c )n 的展开式问题[例3] (1)(2019·枣阳模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60(2)(2019·太原模拟)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是________． [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r， 令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k ， 令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.(2)由⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15＝⎝⎛⎭⎫－1＋2x ＋1x 5，则其通项公式为(－1)5－r C r 5⎝⎛⎭⎫2x ＋1x r (0≤r ≤5)，其中⎝⎛⎭⎫2x ＋1x r 的通项公式为2r －t C t r x r －2t (0≤t ≤r )． 令r －2t ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0，t ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2，t ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，t ＝2， 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中的常数项为(－1)5C 05＋(－1)3C 25×2C 12＋(－1)1C 45×22C 24＝ －161.[答案] (1)C (2)－161[方法技巧]三项展开式问题的破解技巧破解(a ＋b ＋c )n 的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．[集训冲关]1.[考法一](2＋33)100的展开式中，无理数项的个数是( )A ．84B ．85C ．86D ．87解析：选A (2＋33)100展开式的通项为T r ＋1＝C r 100(2)100－r·(33)r ＝C r 100250－r 2×3r3，r＝0,1,2， (100)所以当r 是6的倍数时，T r ＋1为有理项， 所以r ＝0,6,12，…，96，共17项，因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A. 2.[考法二](x 2－2)⎝⎛⎭⎫1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( ) A ．60 B ．50 C ．40D ．20解析：选A 由通项公式得展开式中x－1的系数为23C 35－22C 15＝60.3.[考法二](x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选D (2x －y )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－y )r ，当r ＝2时，T 3＝240x 4y 2，当r ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D.4.[考法三]在⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24D ．－24解析：选B 由⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16＝C 06⎝⎛⎭⎫x ＋1x 6－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5＋C 26⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4＋…－C 56⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 05C 16＝－6，故选B.突破点二 二项式系数性质及应用[基本知识]二项式系数的性质[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (2)在(1－x )9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．( )(3)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为________．答案：842．已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________.答案：33．若(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 答案：2[全析考法]考法一 二项展开式中系数和的问题 赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[例1] (1)(2019·郑州一中月考)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27(2)(2019·襄阳四中月考)设(x 2＋1)(2x ＋1)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10的值为________．[解析] (1)依题意得2n ＝8，解得n ＝3，取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A.(2)在所给的多项式中，令x ＝－1可得(1＋1)×(－2＋1)8＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝2.[答案] (1)A (2)2 [易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．考法二 二项式系数或展开式系数的最值问题 求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．[例2] (1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中，x 3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20 (2)(2019·福州高三期末)设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －2x 3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝3，则r ＝1，所以－a ×5＝－5，即a ＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C 25＝10，选B.(2)依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.[答案] (1)B (2)112[方法技巧] 求展开式系数最值的2个思路[集训冲关]1.[考法一、二]设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中， 令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ； 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2.[考法一](a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3. 答案：33.[考法二]设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：依题意得，M ＝4n ＝(2n )2，N ＝2n ， 于是有(2n )2－2n ＝240，(2n ＋15)(2n －16)＝0， ∴2n ＝16＝24，解得n ＝4.要使二项式系数C k4最大，只有k＝2，故展开式中二项式系数最大的项为T3＝C24(5x)2·(－x)2＝150x3.答案：150x3。

2020高考数学(理)一轮复习课时作业59二项式定理 含解析

2020高考数学(理)一轮复习课时作业59二项式定理 含解析
A．－84B．－14
C．14D．84
解析：由二项式系数之和等于128，得2n＝128，解得n＝7.二项展开式的通项Tr＋1＝C (2x2)7－r· r＝27－r(－1)rC x14－3r，令14－3r＝－1，得r＝5，展开式中含 项的系数为27－5×(－1)5×C ＝－84，选A.
答案：A
9．[2019·合肥检测]已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6展开式所有项系数之和为()
优解令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3①；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝－243②.①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＝－120.又a6＝1×25＝32，所以a0＋a2＋a4＝－152，故选D.
答案：D
7．[2019·洛阳统考]若a＝ sinxdx，则二项式 6的展开式中的常数项为()
答案：－48
答案：B
二、填空题
11．[2018·天津卷]在 5的展开式中，x2的系数为________．
解析：本题主要考查二项展开式特定项的系数．
由题意得Tr＋1＝C x5－r r＝ rC x5－ r，
令5－ ＝2，得r＝2，所以 rC ＝ 2C ＝ .
故x2的系数为 .
答案：
12．[2019·福州四校联考]在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________．(用数字作答)
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.
答案：－1
[
15．[2019·石家庄检测]若a＝2 (x＋|x|)dx，则在 a的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有()

2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题57 二项式定理(解析版)

2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题57 二项式定理(解析版)

考点57 二项式定理1．(2-x)(1+2x)5展开式中,含x2项的系数为()A.30B.70C.90D.-150【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为T r+1=·,∴展开式中,含x2项的系数为2××22-×2=70,故选B.2．(1－3x)7的展开式的第4项的系数为()A．－27C37B．－81C47C．27C37D．81C47【答案】A【解析】(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C37×17－3×(－3x)3＝－27C37x3，其系数为－27C37，选A.3．设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.2【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为=·=(-1)k,令=0,得k=,∴n可取10.4．(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为()A．－30 B．120C．240 D．420【答案】B【解析】[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C26(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C34×23，x2y2项的系数为C24×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为C26C34×23－C26C24×22＝480－360＝120，故选B.5．设a=sin xdx,则的展开式中常数项是()A.160B.-160C.-20D.20【答案】B【解析】由题意得a=sin xdx=(-cos x)=2.∴二项式为,其展开式的通项为T r+1=·=(-1)r·26-r·x3-r,令r=3,则得常数项为T4=-23·=-160.故选B.6．(x＋y＋z)4的展开式的项数为()A．10 B．15C ．20D ．21【答案】B【解析】(x ＋y ＋z )4＝[(x ＋y )＋z ]4＝C 04(x ＋y )4＋C 14(x ＋y )3z ＋C 24(x ＋y )2z 2＋C 34(x ＋y )z 3＋C 44z 4，运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1＝15项，选B. 7．(x 2+3y-y 2)7展开式中x 12y 2的系数为( ) A.7B.-7C.42D.-42【答案】B【解析】将(x 2+3y-y 2)7看作7个因式相乘,要得到x 12y 2项,需要7个因式中有6个因式取x 2,1个因式取-y 2,故x 12y 2的系数为×(-1)=-7.8．1-90+902-903+…+(-1)k 90k +…+9010除以88的余数是( ) A.-1 B.1 C.-87 D.87 【答案】B【解析】1-90+902-903+…+(-1)k 90k +…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1.∵前10项均能被88整除, ∴余数是1.9．⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25 D ．25【答案】C【解析】⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＝x 2⎝⎛⎭⎫1－1x 5－3x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5，⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r ⎝⎛⎭⎫1x r ，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝⎛⎭⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2⎝⎛⎭⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C.10．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中的常数项为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18【答案】B【解析】在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，∴A ＝4n ，该二项展开式的二项式系数之和为2n ，∴B ＝2n ，∴4n ＋2n ＝72，解得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3的展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0得r ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13＝9，故选B. 11．(x-y)(x+2y+z)6的展开式中,含x 2y 3z 2的项的系数为( ) A.-30 B.120 C.240 D.420【答案】B【解析】由(x-y)(x+2y+z)6=(x-y)[(x+2y)+z]6,得含z 2的项为(x-y)(x+2y)4z 2=z 2[x(x+2y)4-y(x+2y)4], ∵x(x+2y)4-y(x+2y)4中含x 2y 3的项为xx(2y)3-yx 2(2y)2=8x 2y 3, ∴含x 2y 3z 2的项的系数为×8=15×8=120,故选B. 12．若a 0x 2 016+a 1x 2 015(1-x)+a 2x 2 014(1-x)2+…+a 2 016(1-x)2 016=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 2 016的值为( ) A.1 B.0 C.22 016 D.22 015 【答案】C【解析】1=[x+(1-x)]2 016=x 2 016+x 2 015(1-x)+…+(1-x)2 016, ∴a 0+a 1+…+a 2 016=++…+=22 016,故选C.13．在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________. 【答案】－2 【解析】⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a 5－4＝－10，解得a ＝－2. 14．(1+2x)3(1-x)4展开式中x 2的系数为 . 【答案】-6【解析】∵展开式中x 2项为13(2x)0·12(-x)2+12(2x)1·13(-x)1+11(2x)2·14(-x)0, ∴所求系数为·+·2··(-1)+·22·=6-24+12=-6. 15．若(x －1)5＝a 5(x ＋1)5＋a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 【答案】31【解析】令x ＝－1可得a 0＝－32.令x ＝0可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－a 0＝－1＋32＝31.16．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中x 2的系数是________． 【答案】120【解析】在⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4,23C 35⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2，所以在这几项的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02＝40＋80＝120.17．在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n 项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= . 【答案】120【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为=x r ,(1+y)4展开式的通项公式为=y h , ∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h . ∴f(m,n)=.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+++=20+60+36+4=120.18．若⎝⎛⎭⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________. 【答案】8【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n n －18，由其依次成等差数列，得n ＝1＋nn －18，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8. 19．二项式⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，含x 2项的系数是________． 【答案】60【解析】由二项展开式的通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r＝C r 6x 6－2r (－2)r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 26(－2)2＝60.20．⎝⎛⎭⎫x ＋ax 210展开式中的常数项为180，则a ＝________. 【答案】±2【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋a x 210展开式的通项为C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫a x 2r ＝a r C r 10x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，又a 2C 210＝180，故a ＝±2.21．设⎝⎛⎭⎫1x ＋x 24的展开式中x 2的系数为m ，则直线y ＝m3x 与曲线y ＝x 2所围成的图形的面积为________． 【答案】43【解析】⎝⎛⎭⎫1x ＋x 24的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r －4·x 2r ＝C r 4x 3r －4，令3r －4＝2，得r ＝2，则m ＝C 24＝6.又直线y ＝2x 与曲线y ＝x 2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S ＝⎠⎛20(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝43.,22．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256.(1)求n 的值；(2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) 8 (2) 8【解析】(1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x)8－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r 3， 令8－4r3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 23．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) 3 432 (2) 16 896x 10【解析】(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124·23＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123·24＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫127·27＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第r ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x)12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 124r ≥C r －1124r －1，C r 124r ≥C r ＋1124r ＋1. ∴9.4≤r≤10.4，又r ∈N *，∴r ＝10.∴展开式中系数最大的项为第11项，T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10.。

2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第10章第2节二项式定理含答案

2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第10章第2节二项式定理含答案

第二节二项式定理[考纲传真]会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质和1．C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.2．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项． ( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(4)通项T k＋1＝C k n a n－k b k中的a和b不能互换．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )A．6 B．－6C．24 D．－24A [(1－2x )4展开式中第3项的二项式系数为C 24＝6.故选A.]3．(教材改编)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( )A ．5B ．－20C ．20D ．－5A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r(－2y )r.根据题意，得⎩⎨⎧5－r ＝3，r ＝2，解得r ＝2.所以x 3y 2的系数是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123×(－2)2＝5.故选A.] 4．(教材改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( ) A ．1 B ．2C ．2 019D ．2 019×2 020B [原式＝22 01922 020－1＝22 01922 019＝1.故选A.]5．(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.10 [∵T 6＝C 5n x 5，又仅有第6项的系数最大，∴n ＝10.]【例1】 (1)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(2)(2018·广州二模)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答)(1)D (2)－120 [(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x 2项，第二个因式取1x 2项得x 2×1x 2×C 15(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C 55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6表示6个因式x 2－2x ＋y 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y ，其余的3个因式中有2个选x 2，剩下一个选－2x ，即可得到x 3y 3的系数．即x 3y 3的系数是C 36C 23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.]2n (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )A ．±2 B.12C ．－2D ．±12(2)已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________． (1)A (2)454x 2，－638，45256x－2[(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T r＋1＝，令12－3r ＝0，得r ＝4.故C 46·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝1516，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝116，解得a ＝±2.故选A.(2)由T r ＋1＝r＝.∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r3＝0，即n ＝10.当⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z时，即r ＝2,5,8时10－2r3∈Z ，所以展开式中的有理项分别为454x 2，－638，45256x －2.]►考法1 【例2】 (1)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120(2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．(1)C (2)－3或1 [(1)令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n 2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53rx 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90，故选C.(2)令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.] ►考法2 二项式系数的性质【例3】 设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [根据二项式系数的性质知，(x ＋y )2m 的二项式系数最大的项有一项，即C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的二项式系数最大的项有两项，即C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b.又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．]偶数项系数之和为 (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中的二项式系数和为32，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．(1)255 (2)40 [(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k n(x 2)n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k n (－1)k x2n －3k， 当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－1x n的展开式中的二项式系数和为32，所以2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的各项系数的和为(1＋a )(2－1)5＝2，所以a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为C 35·(－1)3·25－3＋C 25·(－1)2·25－2＝40.]1．(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35C [因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20C ．30D ．60C [法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.]。

2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-二项式定理

2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-二项式定理

一、自我诊断 知己知彼1．在()()()()()12345x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A.-15 B.85 C.-120 D.274 【答案】A【解析】 本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。

故含4x 的项的系数为()()()()()1234515-+-+-+-+-=- 2.()52y x x++的展开式中，25y x 的系数为（ ）A.10B.20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】r r r r y x x C T -++=5251)(，令r=2,则232253)(y x x C T +=，对于二项式()32x x +，由tt t t t t x C x x C T --+=⋅=633231)(，令t=1, 所以25y x 的系数为301325=C C .【易错点】通项公式易错.【方法点拨】求二项展开式特定项的系数的关键是求出满足条件的r 的值，因此应通过求出二项展开式的通项，然后根据已知条件列出方程，解出r 的值，最后代入通项中，求出特定项的系数. 3.()4x y y x -的展开式中，55y x 项的系数为________． 【答案】6【解析】由二项展开式的通项可得22244441)1()()(r r r rr rrr yxC x y y x C T +--+⋅-=-⋅-=.令⎩⎨⎧4－r 2＝32＋r2＝3解得r ＝2，所以展开式中55y x 的系数为()61242=-C .4．若512⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x a x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D【解析】令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的通项为()()r r r rrrrr x C x x C T 25555512112---+⋅⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=. 令521r -=，得2r =.令521r -=-，得3r =∴展开式的常数项为()()233223551212804040C C -⨯⋅+-⋅⋅=-=二、温故知新 夯实基础1.二项式定理公式())(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b aC a C b a nn n k k n k n n n n n nΛΛ叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，其中的系数),,1,0(n k C k n Λ=叫做二项式系数，式中的kk n k n b a C -叫做二项展开式的通项，用1+k T 表示. 2.二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=.（2）增减性与最大值：二项式系数kn C ，当21+<n k 时，二项式系数逐渐增大，当21+>n k 时，二项式系数逐渐减小.当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大.（3）各二项式系数的和：nb a )(+展开式的各个二项式系数的和等于n2，即nn n n n C C C 210=+++Λ（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即131202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ.三、典例剖析 思维拓展考点一 求展开式中的指定项例1 ()52y x x ++的展开式中，25y x 的系数为（ ）A.10B.20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】r r r r y x x C T -++=5251)(，令r=2,则232253)(y x x C T +=，对于二项式()32x x +，由tt t t t t x C x x C T --+=⋅=633231)(，令t=1, 所以25y x 的系数为301325=C C .【易错点】通项公式易错.【方法点拨】求二项展开式特定项的系数的关键是求出满足条件的r 的值，因此应通过求出二项展开式的通项，然后根据已知条件列出方程，解出r 的值，最后代入通项中，求出特定项的系数.例2.6221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，常数项是( ) A. 54-B. 54 C ．1516- D. 1516【答案】D【解析】 ()rr rr rr r xC x xC T 312662612121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为161521464=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C .故选D .例3.8421⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的有理项共有________项． 【答案】3 【解析】()4316848812121rrr r rrr xC x x CT --+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Θ，∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项．考点二 利用二项式定理求参数例1 .若521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ax 的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.【答案】-2 【解析】rrr r xaC T 2510551--+=，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以80325-=a C ，a ＝－2.例2.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24【答案】C【解析】727777112)2(---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x rr r rr r r x a C x a x C T .令2r －7＝3，则r ＝5.由8425572=⋅a C 得a ＝1.故选C.考点三 二项式系数的和或各项系数的和例1.二项式()923x y -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值之和．【答案】（1）92（2）1- （3）9512- （4）95【解析】设()992728190932ya y x a y x a x a y x ++++=-Λ.(1)二项式系数之和为9992919092=++++C C C C Λ.(2)各项系数之和为9210a a a a ++++Λ，令x ＝1，y ＝1，得()13299210-=-=++++a a a a Λ.(3)由(2)知19210-=++++a a a a Λ，①令x ＝1，y ＝－1，得992105=--+-a a a a Λ，②①＋②得215986420-=++++a a a a a ，此即为所有奇数项系数之和．(4)92109210a a a a a a a a --+-=++++ΛΛ，令x ＝1，y ＝－1，得9921092105=--+-=++++a a a a a a a a ΛΛ，此即为各项系数绝对值之和．考点四 项的系数的最值问题例1.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2323的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）322270x；（2）326405x.【解析】令x ＝1，则展开式中各项系数和为()nn2231=+.又展开式中二项式系数和为2n.∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5.（1）∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，()622332253903x x x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴， ()322322323542703x x x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由()3410525325133k k k kkk k xC x x C T +-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--151515153333k k k k k k k k C C C C ∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为()32642324554053xx x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.考点五 与整除有关的问题例1.设a Z ∈，且013a ≤<，若201851a +能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12【答案】D【解析】 由于51521=-，()15252521521201720182017120182018020182018+-+-=-C C C Λ，又由于13整除52，所以只需13整除1a +，013a ≤<，a Z ∈，所以12a =考点六 求近似值问题例1.求60.998的近似值，使误差小于0.001. 【答案】0.988【解析】()()()()62660.99810.002160.002150.0020.002=-=+⨯-+⨯-++-L∵()23150.0020.000060.001T =⨯-=<， 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001， ∴从第3项起，以后的项可以忽略不计， 即()()660.99810.002160.0020.988=-≈+⨯-=四、举一反三 成果巩固考点一 求展开式中的指定项1.8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式中22y x 的系数为 ( ) A. 70 B. 80 C. －1 D. －80 【答案】A【解析】因为8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式的通项公式为2832388881)1(---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r rr rrr r yx C x y y x C T令3388222r r --==，得4r =所以22y x 的系数为70)1(448=-C .2．的展开式中，的系数为__________．【答案】90【解析】把()621+-y x 看成6个相同因式12+-y x 的乘积， 6个因式中有两个因式提供2x ， 余下的4个因式有两个提供y -，其余的因式提供常数，故系数为()9011222426=⨯-C C ．填90．点睛：一般地，()s s r rn sr rn nc b aC C c b a --=++，其中rn C 表示n 个因式()c b a ++中有r n -个因式提供a ，s r C 表示余下的r 个因式()c b a ++中有s 提供c ，余下的s r -个因式()c b a ++提供b ，这样的思想方法来自二项展开式的推导过程．3.已知nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+12的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求n 的值； （2）求n x x )12(+的展开式中2x 项的系数；（3）求n xx xx )12)(1(+-展开式中的常数项.【答案】（1）5；（2）80；（3）-30.【解析】（1）由题意结合二项式系数的性质可得322=n ， 解得5=n ． （2）由题意得5)12(xx +的通项公式为()23555551212rr r rr r r x C x x C T ---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 令2235=-r，解得2=r ， 所以5)12(xx +的展开式中2x 项的系数为802253=⨯C ．（3）由（2）知，5)12(xx +的展开式的通项为2355512r r rr xC T --+=，令1235-=-r，解得4=r ； 令21235=-r ，解得3=r ．故2nx x⎛ ⎝展开式中的常数项为5445335522104030C C ---=-=-考点二 利用二项式定理求参数1．若6)(xa x -的展开式中含23x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）A.2B.-2C. 22D. -22 【答案】B【解析】二项式6)(xa x -的展开式的通项为23661)(r r rr xC a T -+-=，令23236=-r ，解得3=r ，160)(363=-∴C a ， 解得2-=a故选B.2．已知5)1)(1(xax x -+的展开式中常数项为-40，则a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2±D. 4【答案】C 【解析】5)1(x ax -展开式的通项公式为：r r r r r r r r x C a xax C T 2555551)1()1()(---+-=-=， 令125-=-r 可得：，结合题意可得：3=r 40)1(35353-=--C a ，即40102=a ，2±=∴a .本题选择C 选项.3.若52)12)(3(xx a x --的展开式中3x 的系数为80，则a= . 【答案】-2.【解析】二项式5)12(x x -展开式的通项为r r r r r r rr x C xx C T 25555512)1()1()2(---+-=-=， 故展开式中3x 的系数为a C a C 801202)1()(23154253+=⋅⋅-⨯-+⋅⨯，由题意得8080240=+a ， 解得2-=a ．考点三 二项式系数的和或各项系数的和 1. 已知)()1()1()1()1()21(201720172016201622102017R x x a x a x a x a a x ∈-+-++-+-+=-Λ，则=+-+-+-20172016432120172016432a a a a a a Λ .【答案】-4034. 【解析】因为)()1()1()1()1()21(201720172016201622102017R x x a x a x a x a a x ∈-+-++-+-+=-Λ，两边同时求导可得)()1(2017)1(2016)1(2)21(201722016201720152016212016R x x a x a x a a x ∈-+-++-+=-⨯-Λ，令0=x ，得40342017201643220172201720164321-=+-+-+-=⨯-a a a a a a Λ．2. 已知6)(b ax +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与-18，则6)(b ax +的展开式中所有项系数之和为______________． 【答案】10.【解析】因为6)(b ax +的展开式中4x 项的系数为135，所以1352426=b a C ；又因为6)(b ax +的展开式中5x 项的系数为-18，所以181516-=b a C ，解得3,1=-=b a ，或3,1-=-=b a ，令1=x ，可得6)(b ax +的展开式中所有项系数之和为6426=．3.若()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++=__________． 【解析】对等式两边求导得()42341234510232345x a a x a x a x a x -=++++， 令1x =得12345102345a a a a a =++++，故答案为10.考点四 项的系数的最值问题1．设nn n x a x a x a a x ++++=-Λ2210)12(展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ； （2）求n a a a a ++++Λ210;（3）求n n a a a a 222233221++++Λ. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1. （1）由二项式系数的对称性，101012=+n，2018=∴n . （2）2018201821020182103=+++-=++++a a a a a a a a ΛΛ.（3）12222201820183201822018120182018201833221-=++-+-=++++C C C C a a a a ΛΛ. 2．设)()1(*2210N n x a x a x a a x n n n ∈++++=+Λ，若6321=+++n a a a Λ，则展开式中系数最大的项是__________. 【答案】320x .【解析】因为)()1(*2210N n x a x a x a a x n n n ∈++++=+Λ，所以10=a ， 所以63121)11(21=-=-+=+++nn n a a a Λ，所以6=n ， 所以展开式中系数最大的项是333620x x C =.3. 求10)12(xx -的展开式中：（1）第10项 （2）常数项；（3）系数的绝对值最大的项.【答案】（1）820--x ；（2）-8064；（3）415360x -. 【解析】r r r r r r r r x C xx C T 210101010101)1(2)1()2(---+-=-=（1）10)12(xx -的展开式中第10项，即81020--=x T（2）常数项为第6项。

2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版

2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版

2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测六十三n次独立重复试验及二项分布

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测六十三n次独立重复试验及二项分布

课时跟踪检测（六十三） n 次独立重复试验及二项分布一、题点全面练1.如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( ) A.23 B.12 C.34D.14解析：选B 设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＋C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝3×18＋18＝12.2.(2018·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数1040805020命在30天以上的概率为( )A.1316 B.2764 C.2532D.2732解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2732. 3.(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29 B.13 C.49D.59解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 44＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24，∴P (A |B )＝n AB n B ＝24108＝29.4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分). 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( )A.14，59B.14，49C.15，59D.15，49解析：选A 由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P ABPB ＝14920＝59. 5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14 B.89 C.116D.532解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532.6.设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P ABP B ＝1412＝12.答案：127.事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝________，P (A B )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P AP B ＝16， ①PB PC ＝18， ②PAP BPC＝18， ③由③÷①得P (C )＝34，所以P (C )＝1－P (C )＝1－34＝14.将P (C )＝14代入②得P (B )＝12，所以P (B )＝1－P (B )＝12，由①可得P (A )＝13，所以P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝13.答案：12 138.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为14，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，14，即有P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫345－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.故P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫144×⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝151 024. 答案：151 0249.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列.解：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3， 同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k ·(1－0.3)3－k，k ＝0,1,2,3. 故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为3和4.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A 1为“甲连续射击4次，全部击中目标”.由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验.故P (A 1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681.所以P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－1681＝6581.所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝827，P (B 2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343×⎝⎛⎭⎪⎫1－341＝2764. 由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4D 3(D2D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D 2D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)＝14×14×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－14×14＝451 024.所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.35×14D.C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49解析：选B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79解析：选D 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P ABP A ＝730310＝79.3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________.解析：由题意得该产品能销售的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝34.易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34，所以P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ⎝ ⎛⎭⎪⎫144－k，所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝27128，P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫141＝2764， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫344⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝81256， 故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256. 答案：243256(二)交汇专练——融会巧迁移4.[与统计交汇]从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率； (2)假设该市高一学生的体重X 服从正态分布N (57，σ2).①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率；②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg 之间的人数为Y ，利用(1)的结论，求Y 的分布列.解：(1)这400名学生中，体重超过60 kg 的频率为(0.04＋0.01)×5＝14，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率为14.(2)①∵X ～N (57，σ2)， 由(1)知P (X ＞60)＝14，∴P (X ＜54)＝14，∴P (54＜X ＜60)＝1－2×14＝12，∴P (54＜X ＜57)＝12×12＝14，即高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率为14.②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验，其中体重介于54～57 kg 之间的人数Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14， 其中P (Y ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－i，i ＝0,1,2,3.∴Y 的分布列为Y 0 1 2 3 P27642764964164。

2020版高考数学一轮复习课时训练(五十九)二项式定理(含解析)新人教A版(2021-2022学年)

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课时跟踪检测（五十九）二项式定理一、题点全面练１.(201９·河北“五个一名校联盟”模拟）错误!３的展开式中的常数项为（）A.-3错误!未定义书签。

B.3错误!C。

６ﻩＤ。

－6解析：选D通项Ｔr+1=Ｃ错误!未定义书签。

错误!３－ｒ·(-x4)ｒ=Ｃ错误!(错误!）3－r·(-1)r x-6＋6r,当-６+6r=０，即ｒ＝1时为常数项,T２=-6，故选D.2.设(2-x）5=a０+a1x＋ａ2x2＋…+a5x5,则错误!未定义书签。

的值为( )A．－＼f(61,６0）ﻩB。

－错误!C。

-错误!未定义书签。

D.-错误!解析：选C由二项式定理,得a1=－C＼o＼ａl(1，5)２4=-80,a2=C错误!未定义书签。

2３＝80,a3=-C错误!未定义书签。

2２＝-40，a4=C错误!未定义书签。

2=10，所以错误!未定义书签。

=－错误!．3。

若二项式错误!7的展开式的各项系数之和为-１,则含x２项的系数为（)A。

560ﻩB。

－56０C。

280ﻩD。

-280解析:选A取x=１,得二项式错误!未定义书签。

７的展开式的各项系数之和为(1+a)7,即(1+a)7=-１,1＋ａ=-1,a=－2.二项式错误!7的展开式的通项T r＋1＝Ｃ错误!·(x2)7-r·错误!ｒ=C错误!·(-２）r·ｘ14-３r。

令14-3r=2，得r＝4．因此,二项式错误!7的展开式中含x2项的系数为C错误!·(-2）４=56０.４。

（2018·山西八校第一次联考）已知(１+x）n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(）A．29Ｂ.21０Ｃ.２１1 D.21２解析：选A 由题意得C错误!＝C错误!未定义书签。

,由组合数性质得ｎ=１0，则奇数项的二项式系数和为２n－１＝29。

ﻬ5。

二项式错误!9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )Ａ．－671ﻩＢ。

2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：11.2 二项式定理 Word版含解析

2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：11.2 二项式定理 Word版含解析

11.2二项式定理挖命题【考情探究】分析解读 1.二项式定理是高考常考内容之一,考查集中在“性质”上,尤其是对于通项的考查.2.主要集中在对系数和常数项的考查上.3.预计2020年高考试题中,考查二项式定理的可能性较大.破考点【考点集训】考点二项式定理及其应用1.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),7)若(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)2 017=a0+a1x+a2x2+…+a2 017x2 017,则a3的值为()A. B.-1 C. D.-1答案D2.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),12)已知的展开式中各项系数绝对值之和为256,则n=,该展开式中含项的系数为.答案4;54炼技法【方法集训】方法1求指定项或指定项系数的方法1.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,13)的展开式的第3项的系数为,展开式中x的系数为.答案21;-352.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,11)(1+x)6的展开式中含x3项的系数为.答案14方法2 求二项式系数或展开式系数之和的方法1.(2018浙江台州第一学期期末质检,14)若(x2-2x-3)n的展开式中所有项的系数之和为256,则n=,含x2项的系数是(用数字作答).答案4;1082.(2018浙江嘉兴第一学期期末,12)已知(1-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则含x2项的二项式系数是;|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=.答案15;64过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点二项式定理及其应用1.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案C2.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.答案16;43.(2016浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求a2的值.解析因为(1+2x)4的展开式的通项为T r+1=(2x)r,r=0,1,2,3,4,(1-x2)3的展开式的通项为T r+1=(-x2)r,r=0,1,2,3,所以a2=·22·+··(-1)=21.4.(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开式中含x3项的系数相同,求n的值.解析(1+x)2n中含x3项的系数为,(1+2x3)n中含x3项的系数为2n.由=2n得=2n,解得n=2.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点二项式定理及其应用1.(2018课标全国Ⅲ理,5,5分)的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80答案C2.(2017课标全国Ⅲ理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80答案C3.(2018天津理,10,5分)在的展开式中,x2的系数为.答案4.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=. 答案 45.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为.(用数字作答)答案606.(2016山东,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=. 答案-2C组教师专用题组考点二项式定理及其应用1.(2017课标全国Ⅰ理,6,5分)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35答案C2.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案A3.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案C4.(2015湖北,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案D5.(2015湖南,6,5分)已知的展开式中含的项的系数为30,则a=()A. B.- C.6 D.-6答案D6.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.7答案C7.(2014湖北,2,5分)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=()A.2B.C.1D.答案C8.(2014湖南,4,5分)的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20答案A9.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10答案C10.(2013陕西,8,5分)设函数f(x)=则当x>0时, f(f(x))表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15答案A11.(2013课标Ⅰ,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8答案B12.(2013课标Ⅱ,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案D13.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)答案1014.(2016天津,10,5分)的展开式中x7的系数为.(用数字作答)答案-5615.(2015课标Ⅱ,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.答案 316.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为.(用数字作答)答案4017.(2015天津,12,5分)在的展开式中,x2的系数为.答案18.(2015重庆,12,5分)的展开式中x8的系数是(用数字作答).答案19.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)答案8020.(2015广东,9,5分)在(-1) 4的展开式中,x的系数为.答案 621.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案-4022.(2015安徽,11,5分)的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)答案3523.(2014大纲全国,13,5分)的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)答案7024.(2014安徽,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.答案 325.(2014山东,14,5分)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为. 答案 226.(2014课标Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)答案27.(2014课标Ⅰ,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案-20【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,2)(1+x)6的展开式中含x4项的系数是()A. B. C. D.答案B2.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,3)二项式的展开式中的常数项为()A.6B.12C.15D.20答案C3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),2)设(1-3x)8=a0+a1x+…+a8x8,则|a0|+|a1|+…+|a8|的值为()A.28B.38C.48D.58答案C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共52分)4.(2019届浙江名校协作体高三联考,13)已知(1+2x)n的展开式中第三项的二项式系数为15,则n=,含x2项的系数是.答案6;605.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,11)已知n∈N*,若的展开式中存在常数项,则n的最小值为,此时常数项为.答案5;26.(2019届浙江温州九校联考,14)已知(1+x)5=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a5(1-x)5,则a3=.答案-407.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,13)若的展开式中,x3的系数为6,则a=,展开式中的常数项为.答案1;158.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,13)若(x+1)6+x6=a0+x+a2(x+1)4x2+a3(x+1)3x3+a4(x+1)2x4+a5(1+x)x5,且a i(i=0,1,2,3,4,5)是常数,则a0=;a1+a3=.答案1;269.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,12)在(x+1)·(2-x)3的展开式中,常数项是,含x项的系数是.答案8;-410.(2018浙江金华十校模拟(4月),13)若(x+y)(2x-y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2+a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6,则a4=,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=.答案40;211.(2018浙江诸暨高三上学期期末,14)已知(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+…+a6=;a2=.答案1;6012.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),13)已知x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a10(x+1)10,则a9=;系数a i(i=0,1,2,…,10)中最大的是.答案-10;a4或a6。

2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用课时跟踪检测(五十五) 题型上——全析高考常考的6大题型

2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用课时跟踪检测(五十五) 题型上——全析高考常考的6大题型

课时跟踪检测（五十五） 题型上——全析高考常考的6大题型1．(2019·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的A ，B 两点，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2,0)． 解：(1)由题设可知k ≠0，所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.①由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜12. 直线n 的方程为y ＝－1k x ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2，故k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫0，12. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k，则M ⎝⎛⎭⎫2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )． 直线M Q 的斜率k M Q ＝2k 2k 2－2k－2＝－k k 2＋k －1， 直线N Q 的斜率k N Q ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－k k 2＋k －1＝k M Q ， 所以直线MN 过定点Q (2,0)．2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为45. 解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2＜x 0＜2，所以k AM ＝y 0x 0＋2， 因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0， 所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2， 所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)． 由⎩⎨⎧ y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)，y ＝－y 0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE ＝12|BD |·|y E |，S △BDN ＝12|BD |·|y N |， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45， 结论成立．3．(2019·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD⊥EF ，求△ABD面积的最小值及此时直线AD 的方程．解：(1)依题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，解得p ＝2.当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 并整理，得y 2－2p k y －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，由y 1y 2＝－4得p 2＝4，解得p ＝2.综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设D (x 0，y 0)，B ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A ⎝⎛⎭⎫4t 2，－4t . 因为k EF ＝－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2t ， 则直线AD ：y ＋4t ＝2t ⎝⎛⎭⎫x －4t 2，化简得2x －ty －4－8t 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－2ty －8－16t 2＝0，Δ＝(－2t )2－4⎝⎛⎭⎫－8－16t 2＝4t 2＋64t 2＋32＞0恒成立， 所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t 2. 于是|AD |＝ 1＋t 24|y 1－y 0| ＝ 1＋t 24 (y 1＋y 0)2－4y 1y 0＝4＋t 2 t 2＋16t 2＋8， 设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪t 22－t 2－4－8t 24＋t 2＝⎪⎪⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t2. 所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝14 ⎝⎛⎭⎫t 2＋16t 2＋83≥16， 当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时取等号，即△ABD 的最小值为16.当t ＝2时，直线AD ：x －y －3＝0；当t ＝－2时，直线AD ：x ＋y －3＝0.4．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1， 因为点P ⎝⎛⎭⎫2，55在椭圆C 上， 所以4a 2＋15(a 2－4)＝1，解得a 2＝5或a 2＝165(舍去)， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→＝OD ―→得，D (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2， 直线OD 的斜率k OD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2， 由⎩⎨⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－15，所以k AB ·k OD ＝－15. 故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15. 5．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2，0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)＝144－3t 2≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，4 3 ]，所以符合题意的直线l 不存在．6．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫1，22. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，其中t ∈⎝⎛⎭⎫263，2，求|AB |的取值范围． 解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k 2)＞0，解得k 2＜12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋2k 2. 由OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，得P ⎝⎛⎭⎪⎫8k 2t (1＋2k 2)，－4k t (1＋2k 2)， 代入椭圆C 的方程得t 2＝16k 21＋2k 2. 由263＜t ＜2，得14＜k 2＜12， ∴|AB |＝1＋k 2·22·1－2k 21＋2k 2 ＝22(1＋2k 2)2＋11＋2k 2－1. 令u ＝11＋2k 2，则u ∈⎝⎛⎭⎫12，23， ∴|AB |＝22u 2＋u －1∈⎝⎛⎭⎫0，253. ∴|AB |的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，253.。

全国版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十九二项式定理含解析88

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课时跟踪检测（五十九） 二项式定理[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5D ．20解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y3的系数为－20，选A.2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k ＝2k C k10，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180. 3．在(1＋x )n (x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C 二项式中仅x 5项系数最大，其最大值必为C n2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.4．(2019·东北三校联考)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( )A ．0B ．1C ．32D ．－1解析：选A 由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r5(－x )r＝C r5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0.则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.故选A.5．(2019·广西阳朔中学月考)(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( ) A ．－30 B ．120 C ．240D ．420解析：选B [(x ＋2y )＋z ]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y )4z 2，(x ＋2y )4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120，故选B.6．(2019·太原模拟)在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为________． 解析：因为二项式(1＋2x )6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y )5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 35＝120.答案：120[B 级 保分题——准做快做达标]1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C 由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x )n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝是常数项，可得n2－6＝0，解得n ＝12.2．(2019·新乡模拟)(1－3x )7的展开式的第4项的系数为( ) A ．－27C 37 B ．－81C 47 C ．27C 37D ．81C 47解析：选A (1－3x )7的展开式的第4项为T 3＋1＝C 37×17－3×(－3x )3＝－27C 37x 3，其系数为－27C 37，选A.3．(2019·益阳、湘潭高三调考)若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( )A ．22 018－1B ．82 018－1C ．22 018D ．82 018解析：选B 由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝82 018－a 0＝82 018－1，故选B.4．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，即A ＝4n，二项展开式中的二项式系数之和为2n ，即B ＝2n .∵A ＋B ＝72，∴4n ＋2n＝72，解得n ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0，得r ＝1，故展开式中的常数项为T 2＝3×C 13＝9，故选B.5．(2019·山西五校联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25D ．25解析：选 C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5－3x ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 5＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r5(－1)r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C.6．(2019·武昌调研)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项为( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.则⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫3x 5－r ·(－3x )r ＝C r 5·35－r ·(－1)r·，令r －52＋r3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·32·(－1)3＝－90，故选C.7．(2018·四川双流中学月考)在(x －2)6展开式中，二项式系数的最大值为m ，含x 5项的系数为n ，则n m＝( )A.53 B ．－53C.35D ．－35解析：选D 因为n ＝6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为m ＝C 36＝20，含x 5项的系数为n ＝(－1)C 16×2＝－12，则n m ＝－1220＝－35.故选D.8．(2019·河南师范大学附属中学月考)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D 由题意得，因为(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，两边同时求导，可得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…＋9a 9＝9，又(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＋8a 8＋9a 9)·(a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＋9a 9)＝310×9＝312.9．(2019·衡水调研)若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( )A.152B ．154C ．120D ．240解析：选B 由题意知，S ＝C 06＋C 16＋…＋C 66＝26＝64，P ＝C 46(－2)4＝15×16＝240，故P S ＝24064＝154. 故选B.10．(2019·达州期末)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，设(3x －1)n展开式的二项式系数和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n ∈N *)，S n 与T n 的大小关系是( )A ．S n ＞T nB ．S n ＜T nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ，n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n解析：选C S n ＝2n，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n，令x ＝0，得a 0＝(－1)n，所以T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝S n －a 0＝S n －(－1)n，所以当n 为偶数时，T n ＝S n －1＜S n ，当n 为奇数时，T n ＝S n ＋1＞S n ，故选C.11．(2019·成都检测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________.解析：⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝，令10－5r2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2.答案：－212．(2019·济南模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________．解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x ＝1，得(1－a )×1＝2，解得a ＝－1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝3，得r＝1，展开式中含x 3项的系数为T 2＝(－1)×24C 15＝－80，令5－2r ＝5，得r ＝0，展开式中含x 5项的系数为T 1＝25C 05＝32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－4813．(2019·贵阳调研)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，所以a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：014．(2019·天水一中一模)已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．解析：因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14·a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.答案：3。

2019-2020学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(五十三)二项式定理Word版含解析

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课时达标检测(五十三) 二项式定理[小题对点练一一点点落实]对点练(一)二项式的通项公式及应用1. 二项式£/x+X的展开式中的常数项是()A. 180B. 90C . 45D . 360解析：选A ©+ X10的展开式的通项为T k+1= %(寸打10_崎：=2k c1o x5-5k,令55 2 2—尹=0,得k= 2,故常数项为2 C10 = 180.2. 已知x—a. 5的展开式中含易的项的系数为30,则a=( )A. 3B. —3C. 6D. —6解析：选 D T r+1= C5(QX)5 r•打；r= C5(—8)・5~2空，由5 =号，解得r= 1•由c5(—a) = 30,得a = —6.故选D.3.在x(1 + x)6的展开式中，含x3项的系数为()A. 30B . 20C. 15D. 10解析：选C (1+ x)6的展开式的第r + 1项为「+1= C6x r，则x(1 + x)6的展开式中含x3 的项为C2x3= 15x3,所以系数为15.4 . (x2—x+ 1)10展开式中x3项的系数为()A. —210B. 210C . 30 D. —30解析：选A (x2—x+ 1)10= [x2—(x —1)]10= C0o(x2)10—C；o(x2)9(x—1) +…—C?0x2(x—1)9 + C：0(x —1)1°，所以含x3项的系数为：一C：o c9+ C10(—C：o) = —210，故选 A.5 . (2017 •东高考)已知(1 + 3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，贝V n = _________ .解析：(1 + 3x)n的展开式的通项T r+1 = c n3r x'■，二含有x2项的系数为C：32= 54 ,二n =4.答案：46. |ax+ ^6 J的展开式的第二项的系数为一＞/3,则J -2 x2dx的值为 ________________ .解析：该二项展开式的第二项的系数为fc6a5，由fc6a5=—3,解得a=- 1,因此答案：77. ______________________________________________________________________ 在(1 —x)5+ (1 —x)6+ (1 —x)7+ (1 —x)8的展开式中，含x3的项的系数是____________ . 解析：展开式中含x3项的系数为C3( —1)3+ C3(—1)3+ C7( —1)3+ C8(—1)3 = —121.答案：—1218. __________________________________________ (x —y)(x + y)8的展开式中x2y7的系数为_________________________________________________.(用数字填写答案)解析：x2y7= x (xy7)，其系数为C s, x2y7= y (x2y6)，其系数为—C6， - x2y7的系数为C —C6= 8—28=—20.答案：—20对点练(二)二项式系数的性质及应用1. 若(1 + mx)6= a°+ a1x+ a2X2+ …+ a6x6，且a1 + a2+ …+ a6= 63，则实数m 的值为( )A. 1 或3B. —3C. 1D. 1 或—3解析：选 D 令x = 0，得a0= (1 + 0)6= 1.令x= 1，得(1 + m)6= a0+ a1+ a2+…+ a6.又6 6a1+ a2+ a3+ …+ a6= 63，二(1+ m) = 64= 2 ，m = 1 或m =— 3.2. 若(1 + x)(1 —2x) = a o+ a1x+ a2X +…+ a$x，贝V a1+ a2+…+ a7=( )A. —2 B . —3C. 125D. —131解析：选 C 令x= 1，则a o+ a1 + a2+…+ a8= —2，令x= 0，则a°= 1.又a8 = C7(一2)? =—128，所以a1 + a2+ …+ a7 = —2— 1 —(—128) = 125.3. (2018河北省“五校联盟”质量检测)在二项式(1 —2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为()A.—960B. 960C. 1 120D. 1 680解析：选C 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128,所以在(1 —2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n= 256, n = 8，则(1 —2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5= C：( —2)4x4= 1 120x4，即展开式的中间项的系数为 1 120 ,故选C.4. 若胃—扌xj的展开式中第三项与第五项的系数之比为令，则展开式中常数项是A . — 10B . 10C .— 45的系数为解析：因为二项式展开式中， 偶数项与奇数项的二项式系数之和相等， 所以2n —1= 256,1 r 4 4 6 3 3 r x9— 3r.令9 — 3r = 1，解得r = 6，所以展开式中x 的系数为c 9x 93x 答案：846•在二项式x — 1 n 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是解析：•••在二项式x — 1 n 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大， • n = 8.v x —1 8的展开式的通项为 T r +1= (— 1)r c 8x 8—2r ，令8 — 2r = 2,则r = 3，•展开式中含x 2项的系数 是—C 8=— 56.答案：—567•在(x + y)n 的展开式中，若第 7项系数最大，则 n 的值可能等于 _________________ . 解析：根据题意，分三种情况： ①若仅T 7系数最大，则共有 13项，n = 12;②若T 7 与T 6系数相等且最大，贝U 共有12项，n = 11;③若T 7与T 8系数相等且最大，贝U 共有14叽 n = 13.所以n 的值可能等于11,12,13.答案：11,12,13［大题综合练一一迁移贯通］7 O 71 .已知(1 — 2x) = a ° + a j x + a 2X +…+ a ?x ，求: (1) a 1 + a 2+…+ a 7；(2) a 1 + a 3+ a 5+ a7；D . 45解析：选D 因为展开式的通项公式为 T r +1= c n (x 2)n —rr +1 r(—1) xr r r 5r2= C n ( — 1) x2n ——, 所以 C t = 14，• n = 10, • T r +1 = C 1o (— 1)r x20 —詈，令 20 ••• r = 8.A 常数项为T 9=C io (— 1)8= 45.5.在二项式.33x 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中 x解得n = 9.所以二项式1 \9x — ------ < 3扳」9的展开式中，通项为T r +1= C 9(9x)9—r■ = C999—(3) a o + a 2+ a 4 + a 6;(4) |a o |+ |a i |+ |a 2|+・・・+ |a 7|. 解：令x = 1,贝V a °+ a i + a ?+ 83+ 84+ 85+ a §+ a 7= — 1.① 令 x =— 1,贝U a °— a i + a 2— a 3+ a 4— a 5 + a 6 — a 7 = 3 .② (1) ■/ a o = C 7= 1,a * + a ? + 83+ …+ 87= — 2.—1 — 37(2)(①一②)_2,得 81+比+ 85+ 87= =— 1094.—1 + 3(3)(① + ②)_2,得 80+去+ 去+ 牝=2= 1 093.(4) ■/ (1 — 2x)7 展开式中 80, 82, 84, 86 大于零，而 81, 83, 85, 87 小于零，|8o |+ 向|+|82汁…+ |87|=(8o + 82+ 84+ 86) — (81+ 83 + 85 + 87) =1 093 — (— 1 094) = 2 187.2•已知(1+ m x)n (m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x 项的系数为112.(1) 求m , n 的值；(2) 求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3) 求(1 + m x)n (1 — x)的展开式中含 x 2项的系数.解：(1)由题意可得2n = 256,解得n = 8.T r +1 = C l m 'xf ，含x 项的系数为C 2m 2= 112, 解得m = 2或m =— 2(舍去).故m , n 的值分别为2,8.(2) 展开式中奇数项的二项式系数之和为 C 8 + C 8+ C 8 + C 8 + C 8= 2 1= 128. (3) (1 + 2 x)8(1 — x)= (1 + 2 x)8 — x(1 + 2 x)8, 所以含x 2的系数为C 424 — C822= 1 008.mn*3.已知f(x) = (1 + x) + (1 + 2x) (m , n € N )的展开式中x 的系数为11. (1) 求x 2的系数取最小值时 n 的值；(2) 当x 2的系数取得最小值时，求 f(x)展开式中x 的奇次幕项的系数之和. 解：(1)由已知得 c m + 2C n = 11,.・.m + 2n = 11.x 2 的系数为 c m + 22CS=m(；—1 + 2n(n — 1)=睬-1 = m —十T m€ N*，二m = 5时，x2的系数取得最小值22,此时n = 3.⑵由(1)知，当X2的系数取得最小值时，m= 5, n= 3.5 3••• f(x)= (1 + X)5+ (1 + 2x)3.设f(x)的展开式为f(x) = a°+ a i x+ a2X?+ …+ a5x5,令x = 1, 3o+ a<i + a? + a3 + a4 + a5= 2'+ 3?= 59,令x =—1, a°—a1 + a? —a3+ a4—a5=—1,两式相减得2(a1+ a3+ a5) = 60,故展开式中x的奇次幕项的系数之和为30.。

新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十九二项式定理含解析

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[A 级基础题一一基稳才能楼高]1x — 2y 5 的展开式中x 2y 3的系数是（）A. 180 C. 45解析：选A «/X + |)0的展开式的通项为T k+1 = tic•(X )10— k £j = 2k C ：” J 令5 —2k = 0,得k = 2,故常数项为2它0= 180. 3.在(1 + x )n (x € N *)的二项展开式中，若只有 x 5的系数最大，则n =()A. 8 B . 9 C. 10D . 11nn解析：选C 二项式中仅x 5项系数最大，其最大值必为6,即得2= 5,解得n = 10.523454. (2019 •东北三校联考 )若(1— x )= a °+ ax + a 2x + a 3X +a °x+ a §x ，贝U | a °| — | a 1| +I a 2| — | 空| + | a* — | a q =()A. 0B . 1课时跟踪检测（五十九）二项式定理1. A. -20 B .— 5C.解析：选 A 由二项展开式的通项可得，第四项 的系数为一20，选A.2.二项式x + 2 10的展开式中的常数项是90 3603(—2y )=1，故展开式中的常数项为E = 3xC= 9,故选B.6. (2019 •太原模拟)在多项式(1 + 2x )6(1 + y )5的展开式中，xy 3的系数为 _______________ . 解析：因为二项式(1 + 2x )6的展开式中含x 的项的系数为2d ，二项式(1 + y )5的展开式 中含y 3的项的系数为C 3,所以在多项式(1 + 2x )6(1 + y )5的展开式中，xy 3的系数为2C 6C 5= 120.答案：120[B 级 保分题一一准做快做达标]若二项式 压—x n 展开式中的第5项是常数，则自然数 n 的值为()B . 103 . (2019 •益阳、湘潭高三调考)若(1 — 3x ) + a 2 ・3 2+ …+ a 2 018 ^3 2 018 的值为( )1. A. C. 12D . 15=1，故展开式中的常数项为E = 3xC= 9,故选B.解析：选C 由二项式 x — I n 展开式的第5项C n ( x )n —4 - 一 ,口 n 可得-6= 0,解得n = 12.2 . (2019 •新乡模拟)(1 — 3x )7的展开式的第4项的系数为()A. — 27C 3B . — 81C 7D . 81C ；解析：选A (1 — 3x )7的展开式的第4项为T 3+1= Gxi 7— 3X ( — 3x ) 3= — 27C 7x 3,其系数 为—27C 7，选 A.2 0182 018=a o + a 1X + •••+ a>018X , x € R,贝y a 1 ・382 018故选B.4.在二项式jy x +Xi 的展开式中，各项系数之和为 A 各项二项式系数之和为 B,且A+ B = 72,则展开式中常数项的值为 ( ) A. 6 C. 12 D . 18 解析：选B 在二项式f/X + X !的展开式中，令 x = 1得各项系数之和为 4n , 即 A = 4n ,二项展开式中的二项式系数之和为 2n ，即卩B = 2n . T 冊B = 72,「. 4n + 2n = 72,解得n = 3,「.i\j'x + 3 n = 1 :\；x +1 3的展开式的通项为 T r +1 = C 3( X )3—r 3 r = 3r C 3x 3—1,令撐=0,得 r—x )= 是常数项,C. 27C 7故选C.该展开式中的常数项为()A.— 270 C. — 90r• ( — "J x) r = C 5 ・3"・(—1)r •，令 2 + 3= 0,解得 r = 3,.该展开式中的常数项为 T 4 = d • ( — 1)3=— 90,故选C.7. (2018 •四川双流中学月考)在(x — 2)6展开式中，二项式系数的最大值为m 含 项的系数为n ,则m =()解析：选D 因为n =6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最n12 3 大，其二项式系数为 m= d= 20,含x 5项的系数为n = ( — 1)06x 2=- 12,则-=—不=—2m205故选D.A. — 30 C.— 25 解析：选Cx 2— 3x + 4 '的展开式的通=C 5( — 1)4，易知当r = 4或r = 2时原式有常数项，令 r = 4, T 54,令 r = 2, T 3= C 5( — 1)2・f ,故所求常数项为C 5— 3xC = 5— 30= — 25,6. (2019 •武昌调研)若的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1 024，则B . 270 D . 90解析：选C3 3厂 眾—也的展开式中所有项系数的绝对值之和等于中所有项系数之和.令 x = 1,得4 = 1 024 ,.•• n = 5.则的展开式 D . 255. (2019 •山西五校联考) 的展开式中常数项为(2=x3，其通项T r + 1 = C 538. (2019 •河南师范大学附属中学月考)已知(x+ 2)9= a o+ a i x + azx2+…+a o x9,则(a i2 2 .+ 3a3+ 5a5 + 7a7+ 9a9)—(2 a2 + 4a4+ 6a6+ 8a s)的值为()A. 39 B . 310 C. 311D . 312解析：选 D 由题意得，因为(x + 2)9= a o + a i x + a 2x 2+…+ a 9X 9,两边同时求导，可得 9(x + 2)8 = a i+ 2a 2X + 3a 3X 2 +…+ 9a 9X 8,令 x = 1,得 a i + 2比 + 3a 3+…+ 9a 9= 31°,令 x = — 1, 得 a i — 2a 2 + 3a 3 — 4a 4 + …+ 9a 9 = 9,又(a i + 3a 3 + 5a s + 7a 7+ 9a 9) — (2 a 2 + 4a 4+ 6a 6 + 8a s )= (a i + 2a 2 + 3a 3+ 4a 4 + 5a s+ 6a 6 + 7a 7 + 8a s + 9a 9) •( a i — 2a 2 + 3a 3— 4a 4+ 5a s — 6a 6 + la — 8a s +9a 9)= 3i0x 9= 3i2.9. （20i9 •衡水调研）若（x — 2y ）6的展开式中的二项式系数和为11 . （20i9 •成都检测）在二项式i5A.—B .15~4 S , x 2y 4的系数C. i20D. 240解析：选B 由题意知，S = C ；+ C 6+…+ C 6= 26= 64,P = C ^( — 2)4= i5X i6= 240,―P 240 i5 故S =丽=才. 故选B.i0. (20i9 •达州期末)已知(3 x — i)n = a 0 + a i x + a 2X 2 + a 3X 3+…+ a n x n (n € N *)，设(3x — i)n 展开式的二项式系数和为S,T n = a i + a 2+ a 3+-+ a n ( n € N) ,S 与T n 的大小关系是( )A. S> T nB. Sv T nC. n 为奇数时，Sv T n , n 为偶数时，S> T nD. S n = T n解析：选 C Si = 2，令 x = i ，得 a °+ a i + 比+…+ a n = 2，令 x = 0，得 a °= ( — i),所 以 T n = a i+ a 2 + a 3 + -+ a n = S — a o = S — ( — i)n ，所以当 n 为偶数时，T = S — i v S ,当 n 为 奇数时，T n = S+ i >S ，故选C.（x 2+±］的展开式中，若常数项为一0,得 r = 4,所以 da 5 4=— i0,解得 a =— 2.答案：—2解析:ax 2 + i - 5的展开式的通项 T r +1= C 5( ax 2)5-r x 血:=①卩 ‘I 严「勢，令 i0—号=12. (2019 •济南模拟)«-丁；0 — X )的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含X 4项的系数为 _________ .解析：因为展开式中各项系数的和为2,所以令X = 1，得(1 — a ) x 1= 2，解得a =—1. ?x — 1 5展开式的通项公式为 「+1= C 5(2x )5—[―X ) = ( — 1)r 25—r C 5x 5—2r,令 5— 2r = 3,得 r =1，展开式中含x 3项的系数为 T 2= ( — 1) X2 46^=— 80,令5 — 2r = 5，得r = 0,展开式中 含x 5项的系数为T 1= 25C 5 = 32,所以 x - x 2 x — 2)的展开式中含x 4项的系数为一80+ 32 = —48.答案：—4813. (2019 •贵阳调研)x + a 9的展开式中x 3的系数为一84,则展开式的各项系数之和为________ . —84，所以a =— 1，所以二项式为'x — x 9,令x = 1,则(1 — 1)9 = 0,所以展开式的各项系< x 丿 数之和为0.答案：014. (2019 •天水一中一模)已知(1 — 2x ) 5(1 + ax )4的展开式中x 的系数为2,则实数a 的值为.解析：因为(1 — 2x )5的展开式中的常数项为1, x 的系数为C x ( — 2) =— 10； (1 + ax )4的展开式中的常数项为 1, x 的系数为a = 4a ,所以(1 — 2x )5(1 + ax )4的展开式中x 的系 数为 1X4 a + 1x ( — 10) = 2，所以 a = 3.答案：3C. 32D . — 1解析：选A 由(1 — x )5的展开式的通项 T +1= C 5( — x )r = d( — 1) r x r ，可知a 1, a 3, a 5都 小于 0.贝V | a °| — | a 1| + | a 2| — | a 3| + | a 4| — | a 5| = a °+ a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5.在原—项展开式中 令 x = 1，可得 a ° + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 0. 选 A.5. (2019 •广西阳朔中学月考)(x — y )( x + 2y + z )6 * * *的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( )A.— 30 B . 120 C. 240D . 420解析：选B [( x + 2y ) + z ]6的展开式中含z 2的项为C 6( x + 2y ) 4z 2, (x + 2y )4的展开式中 xy 3项的解析：二项展开式的通项r 9— r a rr r 9— 2rT-+1 = C 9xi x = a C 9x, 令 9 — 2r = 3,得 r = 3,所以 a 3d =系数为C!X23, x2y2项的系数为C i X22,^ (x—y)( x + 2y + z)6的展开式中x2y3z2的系数为C6C4 X23—dd X22= 480 —360= 120，故选B.2 018 ‘A. 2 —1C. 22 018解析：选B由已知，令x= 0,得a0= 1,令x= 3,得a0 + a • 3+ a2・32+…+ a2 018・32018 2 018 只2 018 2 小2 018 影018 只2 018 “=(1 —9) = 8 ，所以a1 • 3+ a2 • 3 +…+ 比018 ・3 = 8 —a°= 8 —1,。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第3讲 二项式定理 Word版含解析

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第3讲 二项式定理 Word版含解析

第3讲 二项式定理一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4B.15x 4C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7 B.7 C.－28D.28解析 依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B3.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A4.(2017·郑州质检)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则⎠⎛－2a x 2d x的值为( )A.53B.73C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1，∴⎠⎛－2a x 2d x ＝⎠⎜⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＝73.答案 B5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析 依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63B.64C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A. 答案 A7.若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( ) A.34(3n －1)B.34(3n －2)C.32(3n －2)D.32(3n －1)解析 在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝3（1－3n ）1－3＝32(3n －1).答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210 B.210 C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.11.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 36413.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( ) A.5B.6C.7D.8解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6. 答案 B14.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A.45 B.60 C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.15.(2017·合肥模拟)已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析 由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x 3－r，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135. 答案 13516.若(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ，则⎠⎛0a(3x 2－1)d x ＝________. 解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3＝1－3x ＋3x 2＋1x 3，∴(2＋x ＋x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2. 故⎠⎛0a (3x 2－1)d x ＝(x 3－x )|20＝6.答案 6。

2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版课时跟踪检测五十九统计含答案

2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版课时跟踪检测五十九统计含答案

课时跟踪检测（五十九） 统计1．(2019·福州质检)下面抽样方法是简单随机抽样的是( ) A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C ．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)解析：选D 平面直角坐标系中有无数个点，这与简单随机抽样中要求总体中的个体数有限不相符，故A 错误；一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故B 错误；50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C 错误．故选D.2．(2019·北大附中期末)某学院A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则应在该学院的C 专业抽取的学生人数为( )A ．30B ．40C ．50D ．60解析：选B C 专业的学生有1 200－380－420＝400名，由分层抽样知应抽取120×4001 200＝40名．故选B. 3．从2 015名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样方法从2 015人中剔除15人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502 015D ．都相等，且为140解析：选C 因为简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于M N ，故从2 015名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，每人入选的概率都相等，且为502 015.故选C.4．(2019·广西南宁毕业班摸底)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,20B ．200,20C ．200,10D ．100,10解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.5．(2019·福州质检)某学校共有师生4 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂餐饮问题的建议，已知从学生中抽取的人数为190，那么该校的教师人数为() A．100 B．150C．200 D．250解析：选C设教师人数为x，由题意知：2004 000＝200－190x，解得x＝200，故选C.6．(2019·南昌模拟)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n粒，若这批米合格，则n不超过() A．6 B．7C．8 D．9解析：选B由题意得，n235×100%≤3%，解得n≤7.05，所以若这批米合格，则n不超过7.故选B.7．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是()A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8解析：选C第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误．第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B错误.1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.04×5＝0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确.1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.02×5＝0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.8．(2019·黄陵中学期末)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17～18岁的男生体重(kg)，将他们的体重按[54.5,56.5)，[56.5,58.5)，…，[74.5,76.5]分组，得到的频率分布直方图如图所示．由图可知这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数是()A．20 B．30C．40 D．50解析：选C由频率分布直方图可得体重在[56.5,64.5)的学生的频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，则这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数为100×0.4＝40.故选C.9．(2019·广西五市联考)如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是()①2018年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2017年同期A省的GDP总量也是第三位．A．①②B．②③④C．②④D．①③④解析：选B①2018年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2017年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2017年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B.10．如图是一容量为100的样本重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的平均数与中位数分别为()A．13,12B．12,12C．11,11D．12,11解析：选B平均重量为7.5×5×0.06＋12.5×5×0.1＋17.5×(1－5×0.06－5×0.1)＝12，设中位数为x，则(x －10)×0.1＝0.5－5×0.06，解得x＝12.故选B.11．(2019·榆林二中模拟)某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，则n的值为________．解析：由频率分布直方图可得支出的钱数在[30,40)的同学有0.038×10n＝0.38n 个，支出的钱数在[10,20)的同学有0.012×10n＝0.12n个，又支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，所以0.38n－0.12n＝0.26n＝26，解得n＝100.答案：10012．(2019·河南高三联考)某班学生A ，B 在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A 的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m ＝________.解析：由题意，得73＋79＋82＋85＋(80＋m )＋83＋92＋938＝84，解得m ＝5.答案：513．(2019·沈阳期末联考)为了了解2 000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为________．解析：采用系统抽样的方法从2 000名学生中抽取容量为100的样本，则先分成100组，每组20人，即号码间隔为20，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为11＋20×(5－1)＝91.答案：9114．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个数据分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5.∵平均数为7，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7.又∵样本方差为4，∴4＝15[(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋…＋(x 5－7)2]，∴20＝x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25－2×7×(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋72×5，∴x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25＝265.又∵42＋62＋72＋82＋102＝265，∴样本数据中的最大值为10.答案：1015．(2019·湖南长郡中学选拔考试)据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”，这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语考试．如图是从某大学数学专业40人的英语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图．(1)通过这8人的英语四级成绩估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数和中位数；(2)在这8人中，从可以报考大学英语六级考试的学生中任取2人，求这2人都可以报考口语考试的概率． 解：(1)这8人的英语四级成绩的平均数为(386＋410＋450＋485＋520＋564＋575＋610)÷8＝500(分)，这8人的英语四级成绩的中位数为(485＋520)÷2＝502.5(分)，由此可估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500分，中位数为502.5分．(2)设可以报考大学英语六级考试但不能报考口语的3人为A 1，A 2，A 3，可以报考口语的3人为B 1，B 2，B 3，从这6人中任取2人，全部情况为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15种．这2人都可以报考口语考试的情况为(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共3种，则这2人都可以报考口语考试的概率P ＝315＝15.16．(2019·新乡一模)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值：x 甲＝110×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)，乙厂10个轮胎宽度的平均值：x 乙＝110×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)．(2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195， 平均数：x 1＝16×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，方差：s 21＝16×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝23，乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195， 平均数：x 2＝16×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，方差：s 22＝16×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝13，∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小， ∴乙厂的轮胎相对更好．。

2020年新高考一轮跟踪检测数学 跟踪检测55

2020年新高考一轮跟踪检测数学 跟踪检测55

跟踪检测(五十五) 二项式定理[基础训练]1．(1－x )4(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3D ．4答案：A 解析：原式＝(1－x )4(1＋x )4＝(1－x )4，于是x 的系数是C 14·(－1)＝－4.2．[2019四川成都一中模拟]设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：A 解析：令等式中x ＝－1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A.3．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4D ．20i x 4答案：A 解析：T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.4.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为( )A ．120B ．210C ．252D ．45答案：B 解析：由已知得，二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等，由展开式中只有第6项的系数C 52n 最大，可得展开式有11项，即2n ＝10，n ＝5.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x 5－12rx －13r ＝C r10x 5－56r ，令5－56r ＝0可得r ＝6， 此时T 7＝C 610＝210.5．[2019衡水模拟]⎝⎛⎭⎪⎫4x 2＋1x 2－44的展开式中常数项是( )A ．352B ．－352C ．1 120D ．－1 120答案：C 解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2＋1x 2－44＝⎝⎛⎭⎪⎫4x 2＋1x 24＋C 14⎝⎛⎭⎪⎫4x 2＋1x 23(－4)＋C 24⎝⎛⎭⎪⎫4x 2＋1x 22(－4)2＋C 34⎝⎛⎭⎪⎫4x 2＋1x 2(－4)3＋(－4)4，所以其常数项为C 2442＋C 24C 124(－4)2＋(－4)4＝1 120.6．若x ∈(0，＋∞)，则(1＋2x )15的二项展开式中系数最大的项为第________项．答案：11解析：T r ＋1＝C r 152r x r，由⎩⎨⎧C r －1152r －1≤C r 152r ，C r ＋1152r ＋1≤C r 152r，解得293≤r ≤323，故r ＝10，所以第11项的系数最大．7．[2017浙江卷]已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.答案：16 4 解析：a 4是x 项的系数，由二项式的展开式，得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16； a 5是常数项，由二项式的展开式，得 a 5＝C 33·C 22·22＝4.8．[2019江西赣州十四县联考]若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2的系数为________．答案：5627 解析：易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n9＝n (n －1)18，所以有4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0， 解得n ＝8或n ＝－1(舍)． 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 8中， 因为通项T r ＋1＝C r 8x8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r 83r ·x 8－2r， 令8－2r ＝2，得r ＝3， 所以展开式中x 2的系数为5627.9．[2019陕西西安期末]已知(2x ＋3)4 ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝________.答案：1 解析：令x ＝1，得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； 令x ＝－1，得(－2＋3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4.所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(－1)4＝1.[强化训练]1．[2019安徽蚌埠一模]已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( )A ．18B ．24C ．36D ．56答案：B 解析：∵(2x －1)4＝[(2x －2)＋1]4＝[1＋(2x －2)]4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，∴a2＝C24·22＝24，故选B.2．[2019湖北武汉调研]若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝()A．80 B．120C．180 D．240答案：D解析：对(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5两边求导，可得15(3x－1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋5a5x4，令x＝1，得15×(3－1)4＝a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5，即a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝240.故选D.3．[2019广西南宁二中模拟]1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1 B．1C．－87 D．87答案：B解析：原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C910×88＋1，因为前10项均能被88整除，故余数为1.4．[2019四川达州期末]已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n(n∈N*)，设(3x－1)n展开式的二项式系数和为S n，T n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n(n∈N*)，S n与T n的大小关系是()A．S n>T nB．S n<T nC．n为奇数时，S n<T n；n为偶数时，S n>T nD．S n＝T n答案：C解析：S n＝2n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a n＝2n，令x＝0，得a0＝(－1)n，所以T n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝S n－a0＝S n－(－1)n，所以当n为偶数时，T n＝S n－1<S n，当n为奇数时，T n＝S n＋1>S n，故选C.5．[2019湖南湘潭一模]若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x ∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为( )A．29B．29－1C．39D．39－1答案：D解析：(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选D.6．[2019湖北孝感期末]已知C0n－4C1n＋42C2n－43C3n＋…＋(－1)n4n C n n＝729，则C1n＋C2n＋…＋C n n的值等于()A．64 B．32C．63 D．31答案：C解析：因为C0n－4C1n＋42C2n－43C3n＋…＋(－1)n4n C n n＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n－1＝26－1＝63，故选C.7．[2019江西南昌第一次模拟]在多项式(1＋2x )6·(1＋y )5的展开式中，xy 3项的系数为________．答案：120 解析：由题意，得xy 3项的系数为C 16×2×C 35＝120.8．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除． 证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝1－25n1－2＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数， ∴原式能被31整除．。

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课时跟踪检测（五十九） 二项式定理一、题点全面练1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( )A.－32B.3 2C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( ) A.－6160B.－122121 C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34.3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x 14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560. 4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672D.673 解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________. 解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2. (3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r＝2－r C r82－(r －1)C r －18＝9－r 2r ≥1，a r ＋1a r ＋2＝2－r C r82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x8－2r，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C nn ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－48(二)交汇专练——融会巧迁移 4.[与复数交汇]设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( )A.iB.－iC.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1.5.[与导数交汇]已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.。

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