山东省烟台市高三数学5月适应性练习(三)理

2013-2014学年度高三适应测试（三）
数 学（理）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、在复平面内，复数
52i
i
-的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2、设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分不必要条件是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥
3、甲、乙两个一次射击比赛各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
B ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
C ．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 4、若tan 3α=sin cos αα等于（ ）
A 3
B 3
C 3
D 3 5、在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在 正方形与曲线y x = ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．45
6、正ABC ∆中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅u u u r u u u r
等于（ ）
A ．
21
2
B ．152
C ．132
D ．92
7、已知函数
()291lg 1
x x f x x x ⎧+≤=⎨
>⎩，记
()()
1f x f x =，
()()2132(()),(()),f x f f x f x f f x ==L ，则()201410f 等于（ ）
A ．lg109
B ．2
C ．1
D ．10
8、已知实数,x y 满足约束条件22
2441x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩，若向量(,)a x y =r ，向量(3,1)b =-r ，设z 表示
向量a r 在向量b r
方向上的投影，则z 的最大值是（ ）
A ．10-
B
．210- C ．10
D ．6 9、函数()lg(1)0
cos 02
x x f x x x π
+>⎧⎪
=⎨<⎪⎩图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，则n 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．5 D ．无穷多
10、若实数,,,a b c d 满足2
2
(ln )(2)0b a c d -+-+=，则2
2
()()a c b d -+-的最小值为（ ）
A ．2
B ．12
C ．2
D ．92
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

11、执行如图所示的程序框图，如输入0x =，则输出y 的值为
12、2014年亚冠联赛中国共有四支足球队参赛，分别为广州恒大、贵州人和、山东鲁能和背景国安，为了打出中国足球的精神面貌，足协项派五名官员给这四支球队做动员工作，每支球队至少派一名官员，且甲、乙官员不能到同一支球队，则不同的安排方法的种数 13、已知圆2
2
2
:()()C x a y b r -+-=的圆心为抛物线2
4y x =的交点，直线3420
x y ++=
与圆C 相切，则该圆的方程为
14、已知正四棱锥O ABCD -的体积为2
O 为球心，OA 为半径的球的表面积为
15、在直角坐标系中，定义两点1122(,),(,)P x y Q x y 之间的“直角距离”为
1212(,)d P Q x x y y =-+-
现有下列四个命题：
①已知两点2
2
(2,3),(sin ,cos )()P Q R ααα∈，则(,)d P Q 为定值；
②原点O 到直线10x y -+=上任一点P 的直角距离(,)d O P
③若PQ 表示,P Q 两点间的距离，那么(,)2
PQ d P Q ≥
； ④设点(,)A x y 且,x y Z ∈，若点A 在过点(0,2)P 与(5,7)Q 的直线上，且点A 到点P 与Q 的“直角距离”之和等于10，那么满足条件的点A 只有5个。

其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）。

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）
已知函数()2
2sin sin()2cos (,0)2
f x wx wx wx wx x R w π
=+
+∈>，在y 轴右侧
的第一个最高点的横坐标
6π，若将函数()f x 的图象向右平移6
π
个单位后，再将得到图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象。

（1）求函数()g x 的最大值及单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，3a b c =+=且()2f A =， 求ABC ∆的面积。

17、（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是首项为(0)a a ≠公比为q 的等比数列，设1()n n n b a a n N *
+=-∈。

（1）求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（2）设4log n n c b =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若2,2a q ==，是否存在正整数k ，使得
1231111
n
k S S S S ++++>L 对任意正整数n 恒成立？若存在，求出正整数k 的值或范围；若不存在，请说明理由。

18、（本小题满分12分）
某校非常重视校本课程的开发，开设了,,,,A B C D E 共5门校本课程，要求每个学生必须且只能选修1门校本课程，现有该校甲、乙、丙、丁4名学生。

（1）求恰有2门校本课程没有被这4名学生选择的概率；
（2）设这4名学生选择A 校本课程的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ。

19、（本小题满分12分）
如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1112,60AB AC AA BC AA C ====∠=o
，平面
1ABC ⊥平面11AAC C ，1AC 与1A C 相交于点D
（1）求证：BD ⊥平面11AAC C
（2）设点E 是直线11B C 上一点，且//DE 平面11AA B B ， 求二面角1E BD C --的余弦值。

20、（本小题满分13分）
已知向量(3),(1,0)a x y b ==r r ，且(3)(3)0a b a b ⋅=r r 。

（1）求点(,)Q x y 的轨迹C 的方程；
（2）设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，又点(0,1)A -， 当AM AN =时，求实数m 的取值范围。

21、（本小题满分14分） 已知函数()2
,,ax b f x e a b R x
+=
∈，且0a > （1）当2,1a b ==，求函数()f x 的极值； （2）设()()(1)x g x a x e f x =--
①当1a =时，对任意()0,x ∈+∞，都有()1g x >成立，求b 的最大值； ②设()g x '为()g x 的导函数，若存在1x >，使得()()0g x g x '+=成立，求b
a
的取值范围。

高三适应性测试(三) 数学（理）答案
一．选择题（每题5分，共10题）
BCADB BDCAD
二．填空题（每题5分，共5题）
11. 23
-
12. 216 13. 22
(1)1x y -+= 14. 24π 15. ①③
三．解答题（本大题共6小题，共75分）
16.解：(1)()1332cos 2=sin(2)2262
f x x x x πωωω=
++++. 令2=
6
2
x π
π
ω+
，将6
x π
=
代入可得1ω=.
所以()3=sin(2)62f x x π
++，所以()3
=sin()62
g x x π-+. ……3分 当22()3x k k ππ=+∈Z 时，函数取得最大值5
2
. …………4分 令3222
6
2
k x k π
π
π
ππ+
≤-
≤+
,
即252 2(33x k k k ππππ⎡⎤∈+
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ，）为函数的单调递减区间. ……6分 （2）()3sin(2)62f x x π
=+
+，()2f A =Q ，2
1
)62sin(=+∴πA ， 而132666A πππ<+<，ππ6562=+∴A ，3
π
=∴A ， …………8分 由余弦定理知bc
a c
b A 2cos 222-+=，
所以22
3b c bc +-=，即2
()33b c bc +-=，
又3b c +=，所以2bc =， …………10分
2
3
sin 21=
=
∴∆A bc S ABC . …………12分 17．解：（1）1
=n n a aq
-Q ，11
1=(1)n n n n n n b a a aq aq aq q --+∴=--=-， ……2分
当1q =时， =0n T ； …………3分
当1q ≠时，{}n b 是公比为q ，首项为()1a q -的等比数列，
(1)(1)=(1)1n n n a q q T a q q --∴=--， …………5分
综上=(1)n
n T a q -. …………6分
（2）由题意=2n
n b ，
所以44log =log 22
n
n n n
c b ==， …………8分 所以(1)
4
n n n S +=
，14114((1)+1n S n n n n ==-+）. 则
1211111111
=41)2231
n S S S n n +++-+-++-+L L （ 11
=41)41)2+12
n -
≥-=（（， …………10分 即2k <，所以正整数k 的值为1. …………12分
18解：（1）恰有2门校本课程这4名学生都没选择的概率：P =22354345C C A =72
125
. ……4分
（2）设A 校本课程被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4 .
(0)P ξ==4445=
256
625， (1)P ξ==134445C =256625 ， (2)P ξ==224445C =96625， (3)P ξ==314445C =
16625
， (4)P ξ==4
445C =1
625. 分布列如下图：
………10分
∴E ξ=0×256625+1×256625+2×96625+3×16625+4×1625=4
5
. …………12分
19．解：（1）由已知得侧面11AAC C 是菱形，D 是1AC 的中点，
因为1AB BC =，所以BD ⊥1AC ， …………2分
Q 平面1ABC ⊥平面11AAC C ，且1BD ABC Ì平面，
平面1ABC Ç平面11AAC C =1AC ，∴BD ⊥平面11AAC C . …………4分 （2）设点F 是11A C 的中点，因为点D 是1AC 的中点，所以DF //平面11AA B B ，
又因为//DE 平面11AA B B ，所以平面//DEF 平面1
1AA B B ，
又平面DEF ⋂平面111A B C EF =，平面11AA B B ⋂平面11111A
B C A B =
， 所以11//EF A B ，所以点E 是11B C 的中点. …………6分 如图，以D 为原点，以1,,DA DA DB 所在直线分别为x 轴, y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得
112,1,AC AD BD A D DC BC =====
=
所以
11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0)D A A B C -
设平面EBD 的一个法向量是()x y z =，，m ，
由DB ⊥u u u r
m 0=，0z =.
111111()()
22
DE DC DB DC DB AA =+=++u u u r u u u u r u u u u r u u u u
r u u u r u u u r
1 22
=-，, 由DE ⊥u u u r m
得()10x y z ⋅-=，，，
0x y -=， 令1x =
得y =
，所以⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
10m . ………8分
平面1ABC ^平面11AA C C ，11DA AC ⊥， 所以1DA ⊥平面1ABC
∴1DA u u u u r 是平面1ABC
的一个法向量是1DA =u u u u r
， ………10分
1cos 7DA <>=
=u u u u r ，m 即二面角1E BD C --
. …………12分 20．解：(1)
由题意得()=x a
，()
=x -a ，
∵(
)(
)0⋅=a a
，∴(
0x x =，
化简得22
13x y +=，∴Q 点的轨迹C 的方程为2213
x y +=. ………4分 (2)由22
13
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222
316310k x mkx m +++-=， 由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴0∆>，即2
2
31m k <+. ①……6分 (i)当0k ≠时，设弦MN 的中点为()P P P x y ，，M N x x 、分别为点M N 、的横坐标，则23231
M N P x x mk
x k +=
=-+， 从而2=31P P m y kx m k +=+，2131
3P AP P y m k k x mk
+++==-
， …………8分 又AM AN =，∴AP MN ⊥.
则2311
3m k mk k
++-=-，即2231m k =+，
②
将②代入①得22m m >，解得02m <<，由②得2
2103m k -=
>，解得1
2
m >，
故所求的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2. …………10分
(ii)当=0k 时，AM AN =，∴AP MN ⊥，2
2
31m k <+，
解得11m -<<. …………12分
综上，当0k ≠时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2，当=0k 时，m 的取值范围是()1 1-，. ……13分
21. 解：（1）当2a =，1b =时，()1
2+e x
f x x
=（），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以()2
1)(21)e x
x x f x x
+-'=
（． …………2分 令()0f x '=，得121
1x x =-=，，列表
由表知()f x 的极大值是()1
1e
f -=
，()f x 的极小值是12f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. ……4分 （2）① 因为()()(1)e =2)e x
x b
g x a x f x ax a x
=---
-（， 当1a =时，()=2)e x b
g x x x
-
-（． 因为()1g x ≥在()0 x ∈+∞，上恒成立， 所以2
2e x
x
b x x ≤--
在()0 x ∈+∞，上恒成立． ……………6分 记()22(0)e
x x
h x x x x =-->，则()(1)(2e 1)e x x
x h x -+'=． 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在()0 1，上是减函数； 当1x >时，()0h x '>，()h x 在() +∞1，上是增函数．
所以()()min 111e
h x h ==--．
所以b 的最大值为1
1e --
． ……………8分 ②因为()2)e x b g x ax a x =--（，所以()2()e x b b
g x ax a x x
'=+--．
由()+g x ()=0g x '，得22)e +()e =0x x b b b
ax a ax a x x x
--+--（，
整理得32
2320ax ax bx b --+=．
存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立等价于存在x ＞1，使2ax 3
－3ax 2
－2bx ＋b ＝0 成立． ………………10分
因为0a >，所以32
23=21
b x x a x --．
设()3223=(1)21x x u x x x ->-，则()2233
8[()]
416(21)
x x u x x -+'=-． 因为1x >时，()0u x '>恒成立，所以()u x 在() +∞1，是增函数， 所以()()11u x u >=-， 所以
1b a >-，即b
a
的取值范围为() +∞-1，． ……………14分。