河南省三门峡市陕州中学届高三数学下学期尖子生专题训练试题文【含答案】

2015-2016学年下期高三尖子生专题训练
（文科）数学试题
试卷满分：150分考试时间：120分
5.设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, 下列命题中正确的是
A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥β
C．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是
A ．． C ． 6 D ．9.已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a
x x y 00
22内的任意一点，当该区域的面积为4时，
y x z -=2的最大值是
A ．2
B ．6
C ．0
D ．22
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知),1(x a =
和)2,2(-+=x b ，若a b ⊥，则=+b a __________.
14. 以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln x y =，其变换后得到线性回归方程
0.34z x =+，则c ＝ .
15. 已知A ，B ，C 是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O 到平面ABC 的距离等于该球半径的
12
， 则此球的表面积为__________.
16. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直
径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，且3
271
,48a a a == （Ⅰ）求{}n a 的通项公式
（II ）若()
1n n n b a a n N +
+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S
某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，下表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：
（Ⅰ）根据上表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．
小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？
图 4
图 5
D
B
F
如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,A B A C 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,
AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,
其中
2BC =
. (Ⅰ) 证明:DE //平面BCF ;(Ⅱ) 证明:CF ⊥平面ABF ;
(Ⅲ) 当
2
3AD =
时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V
-.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分，多答按所答第一题评分． 22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
已知圆O 是△ABC 的内切圆，与AC ，BC 分别切于D ，E 两点，如图所示，连接BD 交圆O 于点G ，
BC ＝BA ＝AC=4 （I ）求证：EG ∥CO ；（II ）求BC 的长。

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为1cos ,(sin x y α
αα
=-⎧⎨
=⎩为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C 2的方程为2sin ρθ=。

（I ）求C 1和C 2的普通方程；（II ）求C 1和C 2公共弦的垂直平分线的极坐标方程。

24．（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲 设关于x 的不等式|x 一2|＜a （a R ∈）的解集为A ，且
．
（Ⅰ）对于任意的x ∈ R ，｜x 一1｜＋｜x 一3｜2
a a ≥+恒成立，且a ∈N ，求a 的值； （II ）若a 十b=1，求
的最小值，并指出取得最小值时a 的值．
文数参考答案
1—5 CADAC 6—10AABBA 11—12DD 13.5 14. 4
e 15. 400
3
π 16. 3 17. 解：（1）由于1{
}n a 为等差数列，若设其公差为d ，则327
11118,4a a a ==⋅， 1
128d a +=，11111(6)4d d a a +=+，解得11
2,3d a ==， ………4分
于是
1
23(1)n
n a =+-，整理得131n a n =
-； ………6分 （2）由（1）得11111
()(31)(32)33132n n n b a a n n n n +==
=--+-+， ………8分
所以1111111()32
558
31322(32)
n n
S n n n =-+-++
-=-++. ………12分 18.
19. (1)在等边三角形ABC 中,AD AE =
AD AE
DB EC ∴
=
,在折叠后的三棱锥A BCF -中
也成立,//DE BC ∴ ,
DE ⊄平面BCF , BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;
(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,
12BF CF ==
.
在三棱锥A BCF
-中
,2
BC=
,
222
BC BF CF CF BF
∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF
⋂=∴⊥平面;
(3)由(1)可知//
GE CF,结合(2)可得GE DFG
⊥平面
.
1111111
32323323324
F DE
G E DFG
V V DG FG GF
--
⎛
∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=
⎝⎭
20．（1）设M的坐标为(,),
x y P，P的坐标为(,),
p p
x y由已知得
,
5
,
4
p
p
x x
y y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
(2)
分
P在圆上，22
5
()25,
4
x y
∴+=即C的方程为
22
1
2516
x y
+=.................................... 4分（2）过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线方程为
4
(3)
5
y x
=-，设直线与C的交点为
1122
(,),(,)
A x y
B x y，将直线方程
4
(3)
5
y x
=-代入C的方程，得
22
(3)
1
2525
x x-
+=，即2380
x x
+-=.................... 8分
∴
12
x x
-=
AB=
41
5
==...................................... .. 12分
21.解：（1）'()ln2(1)
f x x a x
=--当
1
2
a=时，'()ln(1)
f x x x
=--....................... 2分令()ln(1)
g x x x
=--，则'
11
()1
x
g x
x x
-
=-=................................................. 4分(0,1)
x∈时'()
g x＞0；(1,)
x∈+∞时'()
g x＜0.∴()(1)0
g x g
≤=，即'()0
f x≤（只在1
x=处取等号）∴()
f x的单减区间是(0,)
+∞；............................................................................ 6分
（2）'()ln2(1)
f x x a x
=--，
令'()0
f x=，则l n2
x a x
=-且函数ln x在1
x=处的切线为1
y x
=-，.................................................... 8分
由（1）知，
1
2
a=时，()
f x在[1,)
+∞上单减且(1)0
f=，∴()0
f x≤，合题意.
当a＞
1
2
时，数形结合知，()
f x在[1,)
+∞上仍单减且(1)
f=，
∴()(1)0
f x f
≤=................................. 11分
综上：若
1
2
a≥且[1,)
x∈+∞，恒有()0
f x≤................................................... 12分。