高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲

第10讲 函数的图象
1．利用描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点、连线．
首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换
y ＝f (x )――→a >0，右移a 个单位
a <0，左移|a |个单位y ＝__f (x －a )__； y ＝f (x )――→
b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝__f (x )＋b __；
(2)伸缩变换
y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→0<ω<1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1
ω
倍
ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
ω
倍
y ＝__f (ωx )__；
y ＝f (x )――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍
0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝__Af (x )__；
(3)对称变换
y ＝f (x )关于x 轴对称,y ＝__－f (x )__； y ＝f (x )关于y 轴对称,y ＝__f (－x )__； y ＝f (x )关于原点对称,y ＝__－f (－x )__.
(4)翻折变换
y ＝f (x )――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图
将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝__f (|x |)__； y ＝f (x )――→保留x 轴上方图
将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝__|f (x )|__.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致．( × )
(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( × )
(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( × ) 解析 (1)错误．前者是函数y ＝f (x )图象本身的对称，而后者是两个图象间的对称． (2)错误．例如，函数y ＝|log 2x |与y ＝log 2|x |，当x >0时，它们的图象不相同． (3)错误．函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )分别是对函数y ＝f (x )作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图象不同．
(4)错误．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象．
2．函数y ＝x 2＋ln|x |x
的图象大致为( C )
解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e f (1)<0，故由零点存在定理可得函数在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1上存在零点，故排除
A ，D 项；又当x <0时，f (x )＝x 2
＋ln (－x )x ，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ＝1e
2＋e>0，排除B 项，故选C ．
3．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称的图象过点( D )
A ．(1，－2)
B ．(2，－2)
C ．(3，－2)
D ．(4，－2)
解析 由已知有f (4)＝2，故函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，函数y ＝f (x )的图象
关于x 轴对称的图象过点(4，－2)，故选D ．
4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x
关于y 轴对称，则
f (x )＝( D )
A ．e x ＋1
B ．e x －1
C ．e
－x ＋1
D ．e
－x －1
解析 依题意，与曲线y ＝e x
关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x
，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x
向左平移1个单位得到的，
∴f (x )＝e
－(x ＋1)
＝e
－x －1．
5．若将函数y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则f (x )＝__lg(3－x )__.
解析 把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得到y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象，∴f (x )＝lg(3－x )．
一 函数图象的作法
函数图象的作法
(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．
【例1】 作出下列函数的图象．
(1)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；
(3)y ＝2x －1x －1
；(4)y ＝x 2
－2|x |－1．
解析 (1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥0)的图象，再将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
(x ≥0)的图象以y 轴为对称轴翻折
到y 轴的左侧，即得y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
的图象，如右图中实线部分．
(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，
即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如右图．
(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1
x 的图象向右平移1个单位，再向上平
移2个单位而得，如图．
(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x －1，x ≥0，
x 2
＋2x －1，x <0
且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，
再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y ＝x 2
－2|x |－1的图象，如下图．
二 函数图象的识别
函数图象识别的两种方法
(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象． (2)利用间接法排除筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手： ①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； ②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势； ③从函数的奇偶性判断图象的对称性； ④从函数的周期性判断图象的循环往复； ⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．
【例2】 (1)(2018·湖北天门、仙桃、潜江三市联考)已知图(1)是函数y ＝f (x )的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是( C )
A ．y ＝f (|x |)
B ．y ＝|f (x )|
C ．y ＝f (－|x |)
D ．y ＝－f (－|x |)
(2)函数f (x )＝
ax ＋b
(x ＋c )
2的图象如图所示，则下列结论成立的是( C )
A ．a >0，b >0，c >0
B ．a <0，b >0，c >0
C ．a <0，b >0，c <0
D ．a <0，b <0，c <0
解析 (1)由图(2)知，图象对应的函数是偶函数，故B 项错误，且当x >0时，对应的函数是y ＝f (－x )，显然A 项，D 项不正确．故选C ．
(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠－c }，由题中图象可知－c ＝x p >0，即c <0，排除A 项，B 项．
令f (x )＝0，可得x ＝－b
a ，则x N ＝－
b a
， 又x N >0，则b a
<0.所以a ，b 异号，排除D 项．
三 函数图象的应用
函数图象的两个应用
(1)利用函数的图象研究方程根的个数：
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．
(2)利用函数的图象研究不等式：
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
【例3】 (1)(2018·湖北华师一附中检测)若函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
，x ≤1，ln x ，x >1，
则函数y
＝f (x )－
33x ＋1
2
的零点的个数为( D ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝
x ＋1
x
与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1
m
(x i ＋y i )＝( B )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
解析 (1)分别作出y ＝f (x )与y ＝g (x )＝
33x －1
2
的图象，如图．
显然直线y ＝g (x )与曲线y ＝1－x 2
(x ≤1)有两个交点；对于直线y ＝
33x －1
2
与曲线y ＝ln x (x >1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x →＋∞时，直线y ＝g (x )的图象肯定在y ＝ln x (x >1)的上方，又f (3)＝ln 3，g (3)＝1
2
，
∴f (3)＝ln 3＝12ln 3>12ln e ＝1
2，
∴f (3)>g (3)，故两图象有4个交点． (2)因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1
x
的图象都关于点(0,1)对称，
所以∑i ＝1m
x i ＝0，∑i ＝1
m
y i ＝m
2×2＝m
，故选B ．
1．(2018·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是(
A )
A ．f (x )＝ln|x |
x
B ．f (x )＝e
x
x
C ．f (x )＝1
x
2－1
D ．f (x )＝x ＋1
x
解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 项，C 项．若函数f (x )＝x ＋1
x
，
则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D 项，故选A ．
2．(2017·辽宁大连测试)函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2的图象大致是( D )
解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A 项，B 项．
f ′(x )＝2－4cos x ，x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π
2
，
令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2， 得x ＝±π
3
，故选D ．
3．为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 图象上所有点的( A ) A ．纵坐标缩短为原来的1
2，横坐标不变，再向右移1个单位
B ．纵坐标缩短为原来的1
2，横坐标不变，再向左移1个单位
C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左移1个单位
D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右移1个单位
解析 把函数y ＝log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的1
2，横坐标不变，得到函
数y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位，得到函数y ＝1
2log 2(x －1)的图象，即函数y ＝
log 2(x －1)1
2 ＝log 2x －1的图象．
4．(2017·北京东城二模)对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ，a －b ≥1，
a ，a －
b <1，设f (x )＝(x 2
－1)⊙(4＋x )＋k ，若函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是( D )
A ．(－2,1)
B ．[0,1]
C ．[－2,0)
D ．[－2,1)
解析 令g (x )＝(x 2
－1)⊙(4＋x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4＋x ，x ≤－2或x ≥3，
x 2
－1，－2<x <3，其图象如图所示．
f(x)＝g(x)＋k的图象与x轴恰有三个交点即y＝g(x)与y＝－k的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k≤2，即－2≤k<1，故选D．
易错点1 混淆函数图象变换规律
错因分析：①左右平移只针对x，且“左加右减”；②不能正确认识对称变换．
【例1】设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于( )
A．直线y＝0对称B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称D．直线x＝1对称
解析f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f(－(x －1))的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图象关于y 轴(即直线x＝0对称)，因此f(x－1)与f(－(x－1))的图象关于直线x＝1对称，故选D．答案 D
【跟踪训练1】已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(1－x)的图象为( D)
解析方法一把函数y＝f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度．得到y＝f(x＋1)的图象，再把所得的图象关于原点对称，即可得到y＝－f(1－x)的图象，故选D．方法二取函数y＝f(x)的图象上的点(2,4)，则有f(2)＝4，因为－f(1－(－1))＝－f(2)＝－4，所以函数y＝－f(1－x)的图象过点(－1，－4)，排除A项，B项，C项，故选D．易错点2 赋值不准，根的范围或根的个数产生偏差
错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要用赋值法讨论，看它们图象的交点有几个． 【例2】 已知f (x )＝x 2
－3，g (x )＝m e x
，若方程f (x )＝g (x )有三个不同的根，则m 的取值范围是( )
A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，6e 3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，6e 3
C ．⎝
⎛⎭⎪⎫－2e ，6e 3 D ．(0,2e)
解析 当m ＝0时，f (x )＝g (x )⇒x ＝±3，只有两个实根，排除B ，C 项．对于A 项，D 项，赋值m ＝1，方程f (x )＝g (x )变为x 2
－3＝e x ，在同一直角坐标系中，作出f (x )＝x 2
－3，
g (x )＝e x 的图象，由图可知，两图象在y 轴左侧有且仅有一个交点，很明显，当x >0时，g (x )
＝e x 的增长速度较f (x )＝x 2－3要快．又由f (3)＝0，g (2)＝e 2
>1＝f (2)，…，
故两图象只有一个交点，∴排除D 项，故选A ． 答案 A
【跟踪训练2】 已知函数f (x )＝x 2
－2x ＋a (e x －1
＋e
－x ＋1
)有唯一零点，则a ＝( C )
A ．－1
2
B ．13
C ．1
2
D ．1
解析 由f (x )＝x 2
－2x ＋a (e
x －1
＋e
－x ＋1
)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e
2－x －1
＋e
－(2－x )＋1
]＝x 2
－4x ＋4－4＋2x ＋a (e
1－x
＋e
x －1
)＝x 2
－2x ＋a (e
x －1
＋e
－x ＋1
)，所以f (2－x )＝f (x )，
即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，
即f (1)＝12
－2×1＋a (e
1－1
＋e
－1＋1
)＝0，解得a ＝1
2，故选C ．
课时达标 第10讲
[解密考纲] 数形结合是数学中的重要思想方法．利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题，解决函数的零点、方程的解的问题，解决求解不等式的问题等．
一、选择题
1．函数y ＝2x ln x
的图象大致为( D )
解析 由题意知x ≠1，∵0<x <1时，2x >0，ln x <0.∴y <0，图象在x 轴下方，排除B 项，
C 项；当x >1时，2x >0，ln x >0，∴y >0，图象在x 轴上方，当x →＋∞时，y ＝2x
ln x →＋∞，
故选D ．
2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1
的图象如图所示，则f (－3)＝( C ) A ．－1
2
B ．－5
4
C ．－1
D ．－2
解析 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，
∴f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋5，x <－1，
ln (x ＋2)，x ≥－1，
故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C ．
3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝( A ) A ．3 B ．2 C ．1
D ．－1
解析 ∵函数f (x )图象关于直线x ＝1对称，
∴f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (2)＝f (0)，即3＋|2－a |＝1＋|a |，排除D 项，C 项，又f (－1)＝f (3)，即|a ＋1|＝4＋|3－a |，用代入法知选A ．
4．(2018·四川成都模拟)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式
f (x )－f (－x )
x
<0的解集为( D ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1)
解析 f (x )为奇函数，所以不等式
f (x )－f (－x )x <0化为f (x )
x
<0，即xf (x )<0，则f (x )的大致图象如图所示，所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
5．(2018·河南统考)若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴方程是( C )
A ．x ＝－1
B ．x ＝－1
2
C ．x ＝1
2
D ．x ＝1
解析 ∵f (2x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴对称，
而f (2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴f (2x )的图象可由f (2x ＋1)的图象向右平移1
2个单位得到，即f (2x )的图象的对称轴方
程是x ＝1
2
.
6．(2018·广东名校模拟)已知函数f (x )＝4－x 2
，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为( D )
解析 易证函数f (x )＝4－x 2
为偶函数，又g (x )是奇函数，所以函数f (x )·g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 项、B 项．当x >0时，f (x )·g (x )＝(4－x 2
)log 2x 有两个零点1,2，且0<x <1时，f (x )·g (x )<0，因此排除C 项，故选D ．
二、填空题
7．若函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__[－1,0)__.
解析 首先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |的图象(如图所示)，欲使y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交
点，则－1≤m <0.
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
2x
，x ≤0且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数
a 的取值范围是__(0,1]__.
解析 当x ≤0时，0<2x
≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0<a ≤1．
9．定义在R 上的函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
lg|x |，x ≠0，
1，x ＝0关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有
三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝__0__.
解析 函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.
三、解答题
10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；
(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；
(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.
(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x (x －4)＝(x －2)2
－4，x ≥4，
－x (x －4)＝－(x －2)2
＋4，x <4.
f (x )的图象如图所示：
(3)由图象知f (x )的减区间是[2,4]．
(4)由f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
11．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1
x
＋2的图象关于点A (0,1)对称．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a x
，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，
则点P 关于点(0,1)的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1
x
(x ≠0)．
(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋
a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1
x
2.
∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1
x 2
≤0在(0,2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2
在(0,2]上恒成立，
∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝2x
，x ∈R .
(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式f 2
(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解析 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x
－2|，
G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：
由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，
函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．
(2)令2x
＝t (t >0)，H (t )＝t 2
＋t ，
因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1
4
在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以当t >0时，H (t )>H (0)＝0.
因此要使t 2
＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。