辽宁省沈阳市第一七O中学2019_2020学年高一数学上学期阶段性测试试题

辽宁省沈阳市第一七O 中学2019-2020学年高一数学上学期阶段性测
试试题
总分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）
1．已知a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，且a ∥b ，则|b |＝( ) A.2 5
B. 5
C.10
D.5
2．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( )
A.π2
cm 2
B.3π2
cm 2 C ．πcm 2
D ．3πcm 2
3．已知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为（ ）
A. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡30π， B. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π， D. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡60π，
4．如图，AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →
＝( )
A.a －1
2
b
B.12a －b
C.a ＋1
2
b D.1
2
a ＋
b 5. 已知sin 、cos α是方程3x 2
－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为( )
A.65 B ．－56 C.3
4
D.4
3
6.对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a ·b |≤|a ||b |
B.|a －b |≤||a |－|b ||
C.(a ＋b )2
＝|a ＋b |2
D.(a ＋b )·(a －b )＝a 2
－
b 2
7. (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1
B.0
C.1
D.2
8. 将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π
4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象
对应的表达式为( )
A.y ＝sin 2x
B.y ＝sin 2x ＋2
C.y ＝cos 2x
D.y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4 9. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(2，1)，则向量p ∥q 的概率为( ) A.1
18
B.112
C.19
D.16
10.设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°
1－tan 2
14°，c ＝1－cos 50°
2，则有( ) A.a ＜c ＜b
B.a ＜b ＜c
C.b ＜c ＜a
D.c ＜a ＜b
11．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2
α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )
A.－25
5
B.－3510
C.－31010
D.
25
5
12. 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB →＝PB →·PC →
＝PC →·PA →
，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心 垂心 B ．重心 外心 内心 C ．外心 重心 垂心 D ．外心 重心 内心
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．
13. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ⊥v ，则实数x 的值为____. 14. 在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5
6，则m ＝________.
15. 已知0)cos(2)sin(=+--απαπ，则
)(cos )2
cos()2sin(
22απαπ
απ
+--+=_____. 16. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和
最低点的距离为22，且过点⎝
⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17.（10分） 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；
(3)若AB →＝a ，BC →
＝b ，求△ABC 的面积.
18.（12分）已知0<β<π2<α<π,且cos(2-βα)＝－19,sin ）
（βα
-2＝23,求cos ）（βα+的值.
19. (12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x
.
(1)求f (x )的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－4
3，求f (α)的值．
20. （12分）已知向量1
(cos ,),,cos2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .
(1) 求f (x)的最小正周期.
(2) 求f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
21. （12分）某市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？
(2)在(1)的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
22. (12分)已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ，
(1)若f (x )的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π
2，求ω的取值范围；
(2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡6,6-
ππ，，时，f (x )的最大值为2，求k 的值．
高一数学试题答案
一．BBCDB BDABD AC 二．13.
2-217或 14. 3 15. －1 16. )6
2sin(ππ+x 三、
17.解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2
－4a ·b －3|b |2
＝61.
又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，
∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－1
2
.
又0≤θ≤π，∴θ＝2π
3.------------------------------------3分
(2)|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝|a |2
＋2a ·b ＋|b |2
＝42
＋2×(－6)＋32
＝13，∴|a ＋b |＝13.----------------------6分 (3)∵与的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π
3.
又||＝|a|＝4，||＝|b |＝3，BC 边上的高为23 ∴S △ABC ＝＝1
2
×3×23＝3 3.------------------10分
18.解 ∵0<β<π2<α<π,∴π4<α－β2<π,－π4<α2－β<π
2，-----2分
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，------4分
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β＝
1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α
2－β＝53
，---------6分
∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β--------8分
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53
＋459×23＝7527-------------10分
∴cos(α＋β)＝2cos
2
α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239
729
.-------12分 19.解 (1)由cos x ≠0得x ≠k π＋π
2
(k ∈Z )，---------2分
故f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋π
2，k ∈Z
.--------4分 (2)因为tan α＝－4
3，且α是第四象限的角，
所以sin α＝－45，cos α＝3
5，------------6分
故f (α)＝1－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α－π4cos α
＝
1－2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
22sin2α－22cos2αcos α
---------8分
＝1－sin2α＋cos2αcos α＝2cos 2
α－2sin αcos α
cos α-------10分
＝2(cos α－sin α)＝14
5.---------12分
20.：解 (Ⅰ) ()·f x =a b =)6
2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π
-=-=-⋅
x x x x x x -- 2分
最小正周期ππ==22T .所以),6
2sin()(π
-=x x f 最小正周期为π. -----4分 (Ⅱ)
上的图像知，
在，由标准函数时，当]6
5,6-
[sin ]6
5,6-
[)6
2(]2
,
0[π
ππ
ππ
π
x y x x =∈-
∈----------------6分
]1,2
1
[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-
=πππ
f f x x f . ---------10分
所以,f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为2
1
,1-
.------- 12分 21. 解 (1)第3组的人数为0.06×5×100＝30， 第4组的人数为0.04×5×100＝20，
第5组的人数为0.02×5×100＝10，---------3分 ∵第3，4，5组共有60名志愿者，
∴利用分层抽样方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为： 第3组：30
60×6＝3；
第4组：20
60×6＝2；
第5组：10
60
×6＝1；
即应从第3，4，5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者.-------6分
(2)记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)， (A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，
(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有15种.---------------10分
其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名志愿者被抽中的有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有9种，∴第4组至少有一
名志愿者被抽中的概率为915＝3
5.-------12分
22. [解析] ∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．
∴f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2
ωx ＋k ＝
32sin2ωx －12cos2ωx ＋12
＋k
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12＋k .-------------4分 (1)由题意可得：T 2＝2π2×2ω≥π
2
.
∴ω≤1，又ω>0，
∴ω的取值范围是0<ω≤1.--------6分 (2)∵T ＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12＋k ∵－π6≤x ≤π6，∴－π2≤2x －π6≤π
6.--------8分
∴当2x －π6＝π6
，
即x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.--------10分 ∴sin π6＋1
2
＋k ＝2.∴k ＝1.------12分。