2.3.3-4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质导学案

2.3.3-4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质导学案
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
罗田一中高一数学必修2导学案
2.3.3～4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
编者：刘秀丹 审核：杨德兵 学生____________
一．学习目标
1.掌握直线与平面垂直的性质定理及平面与平面垂直的性质定理的应用。

2.进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想。

3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律，培养空间想象能力、逻辑思维能力和类比思维能力。

二．自学导引
1.直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________. （线面垂直→线线平行）.符号表示：_______________________________.
拓展:直线与平面垂直的其它性质：
⑴ 直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线；
⑵ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行
2.平面与平面垂直的性质定理： _________________________________________ __________________________________________.（面面垂直→线面垂直） 符号表示：
拓展:两个平面垂直的其它性质：
⑴ 如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在
这个平面内；
⑵ 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面； ⑶ 三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.
三.典型例题：
题型一 直线与平面垂直的性质的应用
例一．已知,l CA αβα⋂=⊥与A ，B ,CB a a AB βα⊥⊂⊥于点，，求证//a l
［规律方法］利用线面垂直的性质证明线线平行，关键是找（构造）出平面，使所证直线都与该平面垂直。

［变式1］已知一条直线l 和一个平面α平行，求证:直线l 上各点到平面α的距离相等
题型二 平面与平面垂直的性质的应用
例二．在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是等边三角形，平面VAD ⊥底面ABCD.
(1) 求证：AB ⊥平面VAD.
(2) 求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值。

［变式2］如图，平面α⊥平面β，AB αβ=，a ∥α，a AB ⊥，求证：a β⊥.
［规律方法］若已知有面面垂直的条件，可设法找出一个平面上的一条直线垂直于它们的交线，这样就能得到线面垂直的结论。

注意：1.两个平面垂直的性质定理及应用,可证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角；2.判定定理和性质定理的交替运用，三种垂直关系的相互转化.
题型三 线面、面面垂直的探究问题
例三．如图，已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是
AC 、AD 上的动点，且 ）
（10<<==λλAD
AF AC AE （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？
β
α
a
B
A
四．跟踪训练
1.下列命题中，正确的是（ ）
A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C.若,a b 异面，过a 一定可作一个平面与b 垂直
D.,a b 异面，过不在,a b 上的点M ，一定可以作一个平面和,a b 都垂直. 2.两条平行直线在平面内的射影可能是:①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；
④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
3.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是 （ ）
A.,//m n m α⊥,//n β
B.,,m n m n αβα⊥⋂=⊂
C.//,,m n n m βα⊥⊂
D.//,,m n m n αβ⊥⊥
4. 下列命题错误的是（ ）.
A.αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于β
B.αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于β
C.α不垂直β⇒α内不存在直线垂直β
D.α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于β 5. 已知αβ⊥，下列命题正确个数有（ ）. ①αβ内的已知直线必垂直于内的任意直线 ②αβ内的已知直线必垂直于内的无数条直线 ③α内的任一直线必垂直于β
A.3
B.2
C.1
D.0
6. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（ ）.
A.a ∥β
B. a 与β相交不垂直
C. a β⊥
D.不能确定 7.从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是 （ ） A.0条 B.1条
C.2条
D.无数条
8.已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成1ϕ角，a 在α上的射影c 与b 相交成2ϕ角，则有 （ ）
12.cos cos cos A θϕϕ=⋅
12.cos cos cos B ϕθϕ=⋅
12.sin sin sin C θϕϕ=⋅ 12.sin sin sin D ϕθϕ=⋅
9.与空间四边形四个顶点距离相等的平面共有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个
10. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为_____________________.
11. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥,αβ⊥
，则n 和β的位置关系为__________.
12.如图,,,CD CD AB αββ⊥⊂⊥,CE ,EF ⊂α,90FEC ∠=°, 求证:面EFD ⊥面DCE .
13.如图，三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，侧面PAB ⊥侧面PBC ，求证:AB ⊥BC
14、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点
求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD
15. R t △ABC 中,AB=AC= 2 ,AD 是斜边BC 上的高,以AD 为折痕将△ABD 折起,
使
∠BDC=90°.
(1)求证:平面ABD ⊥平面BDC; (2)求证:∠BAC=60°;
F
E A
C
D
P
β
α
D
F E C
B
A
(3)求点A到平面BDC的距离;
(4)求点D到平面ABC的距离.。