创新设计(江苏专用)高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题四 立体几何练习 理(2021年整理)

创新设计（江苏专用）2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何练习理
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专题四立体几何练习理
立体几何
高考定位高考对本内容的考查主要有:（1)空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求；(2）线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求。

真题感悟
1。

（2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
解析设新的底面半径为r，由题意得1
3
πr2·4＋πr2·8＝错误!π×52×4＋π×22×8，解得r
＝错误!。

答案错误!
2.（2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的
中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1。

求证：（1)直线DE∥平面A1C1F；
(2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明（1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1。

又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F。

（2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1。

因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1。

又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1＝A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D。

又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，
A 1C
1
∩A1F＝A1。

所以B1D⊥平面A1C1F，
因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F。

考点整合
1。

四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.
2.空间几何体的两组常用公式
（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式:
①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）;
②S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高）；
③S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′，c分别为上下底面的周长,h′为斜高）;
④S球表＝4πR2（R为球的半径）。

（2)柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；
②V锥体＝错误!Sh(S为底面面积,h为高)；
③V球＝错误!πR3.
3.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α,b⊂α，a∥b⇒a∥α。

（2）线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b。

(3）面面平行的判定定理:a⊂β，b⊂β,a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
(4）面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
4.直线、平面垂直的判定及其性质
（1)线面垂直的判定定理:m⊂α，n⊂α,m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α。

（2）线面垂直的性质定理：a⊥α,b⊥α⇒a∥b。

（3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β。

（4）面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β。

热点一空间几何体的有关计算问题
【例1】（1)(2016·连云港调研）如图,在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1
中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB,DE,BD则几
何体EFC1－DBC的体积为________.
（2)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1，B1C
上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.
（3)（2016·南京、盐城模拟）设一个正方体与底面边长为2错误!，侧棱长为
错误!的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________。

解析（1）如图,连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－
EFC
及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－BDC的体积为
1
V＝错误!×错误!×3×4×6＋错误!×错误!×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.
故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.
（2)VD1－EDF＝VF－DD1E＝错误!S△D1DE·AB＝错误!×错误!×1×1×1＝错误!。

另解（特殊点法)：让E点和A点重合，点F与点C重合,
则VD1－EDF＝错误!×S△ACD×D1D＝错误!×错误!×1×1×1＝错误!.
(3）由题意可得正四棱锥的高为2，体积为错误!×(2错误!)2×2＝8,则正方体的体积为8，所以棱长为2.
答案（1）66 （2）错误!(3）2
探究提高(1)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面）,再分析几何体的结构特征，从而进行解题。

(2)求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上。

(3）若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解。

【训练1】（1)（2014·江苏卷）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2，体积分别为V1,V2。

若它们的侧面积相等,且错误!＝错误!，则错误!的值是________。

（2)(2012·江苏卷)如图，在长方体ABCD。

A1B1C1D1中,AB＝AD＝3 cm,AA1＝2
cm,则四棱锥A .BB1D1D的体积为________cm3。

（3）（2016·苏州调研）将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个
扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1＋r2＋r3＝________.
解析(1）设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由错误!＝错误!,得错误!＝错误!，则错误!＝错误!.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2,即r1h1＝r2h2，则错误!＝错误!,所以V
1
＝错误!＝错误!.
V
2
(2)关键是求出四棱锥A­BB1D1D的高，
连接AC交BD于O，在长方体中，
∵AB＝AD＝3，∴BD＝3错误!且AC⊥BD.
又∵BB1⊥底面ABCD,∴BB1⊥AC。

又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，
∴AO为四棱锥A。

BB1D1D的高且AO＝错误!BD＝错误!。

∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝32×2＝62，
∴VA­BB1D1D＝错误!S矩形BB1D1D·AO＝错误!×6错误!×错误!＝6（cm3)。

(3）由题意可得三个扇形的弧长分别为错误!,错误!，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r
＝错误!，r2＝错误!,r3＝错误!，所以r1＋r2＋r3＝错误!＋错误!＋错误!＝5.
1
答案（1）错误!（2）6 (3)5
热点二空间中的平行和垂直的判断与证明问题
[微题型1] 空间线面位置关系的判断
【例2－1】（1）已知平面α、β,直线m，n，给出下列命题:
①若m∥α,n∥β，m∥n，则α∥β；
②若α∥β，m∥α，n∥β,则m∥n;
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若α⊥β,m⊥α，n⊥β，则m⊥n.
其中是真命题的是________（填写所有真命题的序号）。

（2）（2016·全国Ⅱ卷）α,β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题:
①如果m⊥n，m⊥α,n∥β，那么α⊥β。

②如果m⊥α,n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.（填写所有正确命题的编号)
解析（1）若m∥α,n∥β，m∥n,则α,β可能平行或相交，①是假命题;若α∥β，m∥α，
n∥β，则m，n可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系,②是假命题;由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知③④是真命题，故真命题序号是③④。

（2)当m⊥n，m⊥α，n∥β时,两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④。

答案（1）③④(2)②③④
探究提高长方体(或正方体）是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题,常构造长方体(或正方体），把点、线、面的位置关系转移到长方体（或正方体)中,对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解。

［微题型2] 平行、垂直关系的证明
【例2－2】(2015·江苏卷)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，
BC＝CC
.设AB1的中点为D,B1C∩BC1＝E。

1
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1.
证明（1）由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DE∥AC。

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2）因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC。

因为AC⊂平面ABC,
所以AC⊥CC1。

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1，
所以BC1⊥AC。

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
因此BC1⊥B1C。

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，
所以BC1⊥AB1.
【例2－3】(2016·昆明统考)如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD－
A 1B
1
C
1
D
1
中，AB∥CD，AB⊥BC，且AA1＝AB＝BC＝1，CD＝2。

(1）求证：AB1⊥平面A1BC；
（2）在线段CD上是否存在点N,使得D1N∥平面A1BC？
若存在，求出三棱锥N－AA1C的体积；若不存在,请说明理由。

(1)证明因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直底面,
所以A1A⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥AA1，
因为BC⊥AB,AB∩AA1＝A，AB⊂平面AA1B1B，
AA
1
⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B.
又AB1⊂平面AA1B1B,所以AB1⊥BC，
因为A1A⊥AB,A1A＝AB＝1，所以四边形AA1B1B为正方形，
所以AB1⊥A1B,
因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC。

(2)解法一在线段CD上存在点N,且当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC。

证明如下：
连接BN、D1N，因为AB∥CD，AB＝1,CD＝2，
所以AB∥DN且AB＝DN，所以四边形ABND为平行四边形,
所以BN∥AD且BN＝AD.
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥AD且A1D1＝AD，
所以A1D1∥BN且A1D1＝BN，
所以四边形A1BND1为平行四边形，所以D1N∥A1B。

又D1N⊄平面A1BC,A1B⊂平面A1BC，
所以D1N∥平面A1BC。

连接A1N、AN、AC,所以S△ACN＝S△BCN＝错误!×1×1＝错误!，
又A1A⊥平面ABCD，且A1A＝1，
所以VN－AA1C＝VA1－ACN＝错误!S△ACN×A1A＝错误!×错误!×1＝错误!，
即三棱锥N－AA1C的体积为错误!.
法二在线段CD上存在点N，且当N为CD的中点时,D1N∥平面A1BC,
证明如下:
取C1D1的中点M，连接AN、A1M、D1N、MC，
因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝1，CD＝2，所以A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1＝2，所以A1B1∥MC1且A1B1＝MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，
所以A1M∥B1C1且A1M＝B1C1.
又BC∥B1C1且BC＝B1C1，所以A1M∥BC且A1M＝BC，
所以四边形A1BCM为平行四边形,所以A1B∥CM，
又D1M＝NC＝1且D1M∥NC，
所以四边形D1MCN为平行四边形，
所以CM∥D1N，所以D1N∥A1B.
又D1N⊄平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，
所以D1N∥平面A1BC。

连接A1N、AC，所以S△ACN＝错误!×1×1＝错误!，
又A1A⊥平面ABCD，且A1A＝1，
所以VN－AA1C＝VA1－ACN＝1
3
S
△ACN
×A1A＝错误!×错误!×1＝错误!,
即三棱锥N－AA1C的体积为错误!。

探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型。

（1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行。

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直。

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直。

(4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.
【训练2】（2016·苏北四市模拟）如图,在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB ⊥PA,AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点。

求证:（1)CE∥平面PAD；
(2)平面EFG⊥平面EMN。

证明（1)法一如图1，取PA的中点H，连接EH，DH。

又因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，且EH＝错误!AB。

图1
又AB∥CD，CD＝错误!AB，
所以EH∥CD，且EH＝CD。

所以四边形DCEH是平行四边形.
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,
CE⊄平面PAD，
因此，CE∥平面PAD.
图2
法二如图2，连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝错误!AB.又CD＝错误!AB，
所以AF＝CD，又AF∥CD，
所以四边形AFCD为平行四边形。

因此CF∥AD。

又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以CF∥平面PAD。

因为E，F分别为PB，AB的中点，
所以EF∥PA。

又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，
故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF,
所以CE∥平面PAD。

(2)因为E，F分别为PB，AB的中点,
所以EF∥PA.
又AB⊥PA，所以AB⊥EF。

同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG,
因此AB⊥平面EFG。

又M，N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥DC,又AB∥DC，
所以MN∥AB,
所以MN⊥平面EFG。

又MN⊂平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN。

1.求解几何体的表面积或体积
（1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解;对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解。

（3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用。

(4)求解几何体的表面积时要注意S表＝S侧＋S底。

2。

锥体体积公式为V＝错误!Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉错误!.
3。

空间中点、线、面的位置关系的判定
（1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.
(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义.
4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换。

(2）证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.
一、填空题
1.（2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α,β交于直线l，且直线m,n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论：
①m∥l；②m∥n;③n⊥l；④m⊥n。

则上述结论正确的是________（填序号）.
解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，③正确。

答案③
2.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________.
解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π。

答案6π
3.（2016·徐州、宿迁、连云港模拟）已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60π cm2，则此圆锥的体积为________cm3。

解析设圆锥底面圆的半径为r,母线为l,则侧面积πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则高h＝错误!＝8，则此圆锥的体积为错误!πr2h＝错误!π×36×8＝96π.
答案96π
4。

如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E,F分别是AC，PC的中点,PA
＝2，AB＝1，求三棱锥C－PED的体积为________。

解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－CED的高，PA＝2。

∵ABCD是正方形，E是AC的中点,
∴△CED是等腰直角三角形.
AB＝1，故CE＝ED＝错误!，
S
＝错误!CE·ED＝错误!·错误!·错误!＝错误!.
△CED
故V C.PED＝V P。

CED＝错误!·S△CED·PA＝错误!·错误!·2＝错误!。

答案错误!
5。

如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中,AB＝2，点E为AD的中点,点F在CD上，
若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________。

解析∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，
又∵E是AD的中点，
∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，
∴EF＝错误!AC＝错误!×2错误!＝错误!.
答案错误!
6。

(2016·镇江高三期末)设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：
①若b⊂α，c∥α，则b∥c；
②若b⊂α，b∥c,则c∥α；
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；
④若c∥α，c⊥β,则α⊥β.
其中正确的命题是________（写出所有正确命题的序号)。

解析①中直线b，c平行或异面，则①错误；②中c∥α或c⊂α，则②错误；
③中c，β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则③错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确，故正确命题是④。

答案④
7.(2016·苏、锡、常、镇调研）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1,底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若错误!＝错误!，则错误!的值为________.解析棱长为a的正方体的体积V1＝a3，表面积S1＝6a2,底面半径和高均为r的圆锥的体积V2＝错误!πr3,侧面积S2＝错误!πr2，则错误!＝错误!＝错误!,则a＝r，所以错误!＝错误!＝错误!。

答案32π
8.(2016·无锡高三期末)如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________.
解析由题意可得三棱锥V－AOB的体积为V三棱锥V－AOB＝错误!S△AOB·VO＝错误!.
△VAB是边长为2的等边三角形,其面积为错误!×(错误!)2＝错误!,设点O到平面VAB的距离为h，则V
三棱锥O－VAB
＝
错误!S△VAB·h＝错误!×错误!h＝V三棱锥V－AOB＝错误!，
解得h＝错误!，
即点O到平面VAB的距离是错误!.
答案错误!
二、解答题
9.（2014·江苏卷）如图,在三棱锥P­ABC中，D，E,F分别为棱PC，AC,AB
的中点。

已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证:(1）直线PA∥平面DEF；
(2）平面BDE⊥平面ABC。

证明(1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA。

又因为PA⊄平面DEF，
DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF。

(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝错误!PA＝3，EF＝错误!BC＝4。

又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC,DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC。

10。

如图，在直三棱柱A1B1C1.ABC中,AB⊥BC,E，F分别是A1B，AC1的中点。

（1)求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；
（3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥F。

ABC的体积。

（1)证明如图连接A1C.
∵直三棱柱A1B1C1。

ABC中，AA1C1C是矩形。

∴点F在A1C上，且为A1C的中点.
在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC。

又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
所以EF∥平面ABC。

(2）证明∵直三棱柱A1B1C1­ABC中,B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC.
又∵EF∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥EF,B1B⊥EF.
∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1。

∵EF⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABB1A1。

(3)解V F。

ABC＝错误!VA1。

ABC＝错误!×错误!×S△ABC×AA1
＝错误!×错误!×错误!a2×2a＝错误!.
11.如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD,CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD。

E和F分别是CD和PC的中点。

求证：
（1)PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD。

证明（1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD。

所以PA⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以ABED为平行四边形.
所以BE∥AD。

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD。

（3)因为AB⊥AD，
且四边形ABED为平行四边形。

所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD。

又因为PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，
且CD⊂平面PCD，
又E，F分别是CD和CP的中点，
所以EF∥PD，故CD⊥EF。

由EF,BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF。

又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.。