人教A版高中学案数学必修第一册课件 第一章集合与常用逻辑用语 集合的基本运算-第2课时 补集及其应用
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×
（2）全集没有补集. ( )
×
（3）一个集合是无限集,那么它的补集是有限集. ( )
ACD
A.B.C.D.的真子集个数是7
[解析]集合,,,0,1,,所以,故选项A正确；,},故选项B错误；,所以,故选项C正确；由,则的真子集个数为,故选项D正确.故选.
（2）已知全集，,.
①求,;
解,.
②求,.
解,或,,或.
探究点三 补集性质的应用
【例4】已知全集为,集合,,且,则实数的取值范围是__________.
，
全集的补集为空集，空集的补集为全集
两个集合的交集的补集等于这两个集合的补集的并集
两个集合的并集的补集等于这两个集合的补集的交集
过关自诊
1.判断正误.（正确的画，错误的画）
（1）空集没有补集. ( )
过关自诊
1.一个确定集合的补集唯一吗？
提示 由于补集是相对于某一个全集的补集,因此对于一个确定的集合来说,全集不同,该集合的补集也不相同.
2.不同的集合在同一个全集中的补集一定相同吗？
提示 不一定相同.
3.一个集合的补集中的元素具有什么特征？
提示一个集合的补集包含两个方面：一是该集合是全集的子集,二是该集合中的元素属于全集,但是不属于集合.
变式训练5已知集合,或,,若,求的取值范围.
解由已知可得,若,则解得.令,则,或，所以当时,的取值范围是,或.
1.知识清单： （1）全集和补集的概念及运算. （2）交集、并集、补集的混合运算. （3）与补集有关的参数的求解. 2.方法归纳:正难则反的补集思想、数形结合. 3.常见误区:求补集时忽视全集,运算时易忽视端点值的取舍.
[解析],,或.又,且,利用如图所示的数轴可得.
规律方法由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.
变式训练4已知全集,集合和,满足,,求实数,的值.
解,,但.,,但.解得,的值分别为,.
探究点四 补集思想的综合应用
知识点1 全集
一般地，如果一个集合含有________问题中涉及的______元素，那么就称这个集合为全集（全集并不一定是），通常记作___.
所研究
所有
. .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画，错误的画）
（1）自然数集不可以作为全集. ( )
×
（2）实数集可以作为全集. ( )
√
2.全集一定包含任何元素吗？
提示 不一定.全集不是固定的，它是相对而言的.只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可.
B
A.是菱形}B.是内角都不是直角的菱形}C.ຫໍສະໝຸດ 正方形}D.是邻边都不相等的矩形}
[解析]由集合是菱形或矩形,是矩形},则是内角都不是直角的菱形}.
（2）若集合,当分别取下列集合时,求.
①；
解把集合表示在数轴上,如图所示,
由图知，或.
②；
解把集合和表示在数轴上,如图所示,
由图知，或.
③.
解把集合和表示在数轴上,如图所示,
【例5】已知集合,.
（1）若,求的取值范围;
解,,或.设,如图所示.
由图可知,,且,即,满足的实数的取值范围是,或.
（2）若,求的取值范围.
解若,则,又,得即,当时,的取值范围是集合的补集,即,或.
规律方法有些数学问题,若直接从正面解决,其解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多时,则可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用. 运用补集思想求参数范围的方法:（1）否定已知条件考虑反面问题;（2）求解反面问题对应的参数范围;（3）将反面问题对应的参数范围取补集.
4.若全集,集合,则__________.
[解析]由补集的定义,结合数轴可得.
5.已知全集,3,,集合,,则实数的值为_______.
1或
[解析]全集,3,,集合,,则,解得或,所以实数的值为1或.
知识点3 补集的性质
性质
说明
任何集合与其补集的并集为全集
任何集合与其补集的交集为空集
任何集合补集的补集为集合本身
解由已知得，,又,所以，或.
探究点二 交集、并集与补集的混合运算
【例2】已知全集,集合,,则集合为()
C
A.B.C.D.
[解析]由题意得，,全集,,.则,,, .故选C.
【例3】已知全集,,,求,,.
解将集合,,分别表示在数轴上,如图所示,
则,,或,.
规律方法 求集合交、并、补运算的方法
变式训练3（1）（多选题）已知全集,集合,,,0,1,,则()
×
（4）存在,,且. ()
×
2.［北师大版教材习题］设全集,,,求,.
解因为,,所以,.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 补集的基本运算
【例1】（1）已知集合是菱形或矩形,是矩形},则()
知识点2 补集
文字语言
对于一个集合,由全集中________集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集,简称为集合的补集,记作_____
符号语言
（符号中暗含“”）,且
图形语言
_
不属于
. .
名师点睛
1.表示集合为全集时，集合在全集中的补集，则.如果全集换成其他集合（如），那么符号中“”也必须换成相应的集合（如）.2.求的前提为集合是全集的子集.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及其应用
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
【课标要求】1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集.2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.3.能借助图,利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题.
01
基础落实·必备知识全过关
由图知，或.
规律方法 求集合的补集的方法
方法一
定义法
当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解
方法二
图法
借助图可直观地求出全集及补集
方法三
数轴法
当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点值的取舍问题
变式训练1设集合,,,则()
A
A.B.C.D.
[解析]由可知,而,故.故选A.
变式训练2已知集合,,,求.
（2）全集没有补集. ( )
×
（3）一个集合是无限集,那么它的补集是有限集. ( )
ACD
A.B.C.D.的真子集个数是7
[解析]集合,,,0,1,,所以,故选项A正确；,},故选项B错误；,所以,故选项C正确；由,则的真子集个数为,故选项D正确.故选.
（2）已知全集，,.
①求,;
解,.
②求,.
解,或,,或.
探究点三 补集性质的应用
【例4】已知全集为,集合,,且,则实数的取值范围是__________.
，
全集的补集为空集，空集的补集为全集
两个集合的交集的补集等于这两个集合的补集的并集
两个集合的并集的补集等于这两个集合的补集的交集
过关自诊
1.判断正误.（正确的画，错误的画）
（1）空集没有补集. ( )
过关自诊
1.一个确定集合的补集唯一吗？
提示 由于补集是相对于某一个全集的补集,因此对于一个确定的集合来说,全集不同,该集合的补集也不相同.
2.不同的集合在同一个全集中的补集一定相同吗？
提示 不一定相同.
3.一个集合的补集中的元素具有什么特征？
提示一个集合的补集包含两个方面：一是该集合是全集的子集,二是该集合中的元素属于全集,但是不属于集合.
变式训练5已知集合,或,,若,求的取值范围.
解由已知可得,若,则解得.令,则,或，所以当时,的取值范围是,或.
1.知识清单： （1）全集和补集的概念及运算. （2）交集、并集、补集的混合运算. （3）与补集有关的参数的求解. 2.方法归纳:正难则反的补集思想、数形结合. 3.常见误区:求补集时忽视全集,运算时易忽视端点值的取舍.
[解析],,或.又,且,利用如图所示的数轴可得.
规律方法由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.
变式训练4已知全集,集合和,满足,,求实数,的值.
解,,但.,,但.解得,的值分别为,.
探究点四 补集思想的综合应用
知识点1 全集
一般地，如果一个集合含有________问题中涉及的______元素，那么就称这个集合为全集（全集并不一定是），通常记作___.
所研究
所有
. .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画，错误的画）
（1）自然数集不可以作为全集. ( )
×
（2）实数集可以作为全集. ( )
√
2.全集一定包含任何元素吗？
提示 不一定.全集不是固定的，它是相对而言的.只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可.
B
A.是菱形}B.是内角都不是直角的菱形}C.ຫໍສະໝຸດ 正方形}D.是邻边都不相等的矩形}
[解析]由集合是菱形或矩形,是矩形},则是内角都不是直角的菱形}.
（2）若集合,当分别取下列集合时,求.
①；
解把集合表示在数轴上,如图所示,
由图知，或.
②；
解把集合和表示在数轴上,如图所示,
由图知，或.
③.
解把集合和表示在数轴上,如图所示,
【例5】已知集合,.
（1）若,求的取值范围;
解,,或.设,如图所示.
由图可知,,且,即,满足的实数的取值范围是,或.
（2）若,求的取值范围.
解若,则,又,得即,当时,的取值范围是集合的补集,即,或.
规律方法有些数学问题,若直接从正面解决,其解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多时,则可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用. 运用补集思想求参数范围的方法:（1）否定已知条件考虑反面问题;（2）求解反面问题对应的参数范围;（3）将反面问题对应的参数范围取补集.
4.若全集,集合,则__________.
[解析]由补集的定义,结合数轴可得.
5.已知全集,3,,集合,,则实数的值为_______.
1或
[解析]全集,3,,集合,,则,解得或,所以实数的值为1或.
知识点3 补集的性质
性质
说明
任何集合与其补集的并集为全集
任何集合与其补集的交集为空集
任何集合补集的补集为集合本身
解由已知得，,又,所以，或.
探究点二 交集、并集与补集的混合运算
【例2】已知全集,集合,,则集合为()
C
A.B.C.D.
[解析]由题意得，,全集,,.则,,, .故选C.
【例3】已知全集,,,求,,.
解将集合,,分别表示在数轴上,如图所示,
则,,或,.
规律方法 求集合交、并、补运算的方法
变式训练3（1）（多选题）已知全集,集合,,,0,1,,则()
×
（4）存在,,且. ()
×
2.［北师大版教材习题］设全集,,,求,.
解因为,,所以,.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 补集的基本运算
【例1】（1）已知集合是菱形或矩形,是矩形},则()
知识点2 补集
文字语言
对于一个集合,由全集中________集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集,简称为集合的补集,记作_____
符号语言
（符号中暗含“”）,且
图形语言
_
不属于
. .
名师点睛
1.表示集合为全集时，集合在全集中的补集，则.如果全集换成其他集合（如），那么符号中“”也必须换成相应的集合（如）.2.求的前提为集合是全集的子集.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及其应用
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
【课标要求】1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集.2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.3.能借助图,利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题.
01
基础落实·必备知识全过关
由图知，或.
规律方法 求集合的补集的方法
方法一
定义法
当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解
方法二
图法
借助图可直观地求出全集及补集
方法三
数轴法
当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点值的取舍问题
变式训练1设集合,,,则()
A
A.B.C.D.
[解析]由可知,而,故.故选A.
变式训练2已知集合,,,求.