§2–1 轴向拉压的概念及实例§2–2 轴力及轴力图§2–3.

12
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
5kN 5kN
8kN
3kN
+
8kN
–
3kN
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在
4. 应力集中（Stress Concentration）：
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。 Saint-Venant原理与应力集中示意图 P
变形示意图： a b c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
P
a

b

c
P
例题2-3-1：结构如图，已知材料的[]=2 M P a ，E=20 G P a,混凝土容重 =22k N/m³ ，是设计上下两段的面积并求A点的位移△ A。
p
N
N N>0 p N N N<0 p
N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N与外法线反向,为负轴力(压力) p
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 义 ②确定出最大轴力的数值 N 及其所在横截面的位置， P + x
即确定危险截面位置，为
强度计算提供依据。
第二章
轴向拉伸和压缩（Axial Tension）
§2–1 轴向拉压的概念及实例 §2–2 轴力及轴力图 §2–3 横截面上的应力 §2–4 斜截面上的应力 §2-5 §2-6 拉压杆的变形 材料在拉伸、压缩时的力学性能
§2-7 强度计算、容许应力、安全系数 §2-8 拉伸和压缩超静定问题 §2－9 拉压杆的弹性应变能
o o m T sin 60 0 . 8 1 . 2 P 1 . 6 T sin 60 0 A
刚索
A
800
B
T P/
3 11.55kN
P
A
B
T C P
T
2) 钢索的应力和伸长分别为：
D
T 11.55 109 151MPa A 76.36
L
TL 11.55 1.6 m 1.36mm EA 76.36 177
PL L EA
(一)、低碳钢拉伸的弹性阶段 (o e段)
1、op --比例段: p ---比例极限
E E t g
2、p e --曲线段:


P
二、
工 程 实 例
§ 2–2
一、内力
轴力及轴力图
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。
P
N
A
N A
P
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
P=100kN
解：由强度条件求面积
A1
12m
N max


P G1

A2
N max

P G1 G2

12m
dL
( P G1 ) L1 ( P G1 G2 ) L2 EA1 EA2
dL

L
(dx)

L
N ( x )dx EA( x )
q(x)
L x q O
自由端。 取左侧x 段为对象，内力N(x)为： q(x) x qL Nx
N – x
kL2 2
1 2 N ( x) kxdx kx 2 1 2 N ( x)max kL 2
x 0
O
§2–3 横截面上的应力
问题提出： P P 1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。 一、应力的概念 1. 定义：由外力引起的内力集度。 P P
A
L1
B L2 C P
△ L1
：变形图严格画法，图中弧线； ：变形图近似画法，图中弧之切线 △L1 L1 B A uB △L
2
△ L2
L2
vB
C " C ′
C
图2
2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系
B′
解：变形图如图2， B点位移至B´点，由图知：
uB L1
L2 v B L1ctg sin
§2–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛
其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图)
“ 胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之”
是什么意思 ? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓
的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
Õ ÷ ¸ Ë
3）变形图如左图 、C点的垂直位移为：
A
B B¡ ä
C
¡ ÷2
D
BB DD 1 si n60 2 si n60 LC 2 2
¡ ÷1 ¡ ÷c
D¡ ä
刚索
L 1.36 0.79mm o 2 sin60 2 sin60
60° 60° D
A
800
Δ N dN lim dA Δ A0 Δ A
p

M

与截面相切的应力（位于截面内的应力）称为“剪应力 ”(Shearing Stress)。
Δ T dT lim dA Δ A0 Δ A
二、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设： 变形前 a c P a´ c´ b d P
α α
p
N A
P
τα
式中Aα为斜截面面积，设横截面面积为A，则
22
A
则：
A cos
p
N cos cos A
σ为横截面的正应力。 对应于斜截面上的正应力和剪应力由pα分解为：
p cos ;
将pα =σcosα代入，则
p sin
二、结论：
α=0的截面，正应力取最大值σmax=σ α=π/4的截面，剪应力取最大值τmax=σ/2
cos
2
1 sin 2 2
23
§2 －5
拉压杆的变形
一、拉压杆的变形及应变 1、杆的纵向总变形：
L L1 L
a c x
b d
d L L1
d1
杆的横向变形：
§2–4 斜截面上的应力
本节研究其它方位的截面上的应力，既斜截面上的应力，从中找出哪一 截面上的应力达到最大，以作为强度计算的依据。 m 一、公式推导 n P a图示杆件受轴向荷载P的作 P α 用。 设杆件沿n-n斜截面截开， 截面轴力N=P（图b、c）。 则斜截面应力pα为： m P
n
N σα α pα
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
例如： 截面法求N。 P 截开： A A 简图 P 代替： N A P N P
P
P
A
平衡：
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
3. 轴力的正负规定:
真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般 地加以描述的知识王国”。
“
例 2-5-2 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？ ：求各杆的变形量△ L i ，如图；
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定
义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示：
①平均应力：
P
M
A
ΔP pM ΔA
②全应力（总应力）：
Δ P dP pM lim dA Δ A0 Δ A
③全应力分解为： 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
A
L1
L2
B
△L 2
△L1
uB vB
C
图2
B′
例 2-5-3 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm²的钢索绕 过为摩擦的滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直 位移。设刚索的 E=177GPa。 解：方法1：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABD为对象：
60° 60° D 400 C 400
或 :
弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般 认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通 常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于
力和变形成正比关系的记载。
东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记· 弓人》中“量其力，
d d1 d
2、线应变：单位长 度的线变形。
横向线应变：
3、平均线应变：
轴向线应变：

dL L

'
d d
P
a′ c′
b′ d′
P
x +d x LL+d 1 L
4、x点处的纵向线应变：
6、x点处的横向线应变：
dx lim x 0 x
5、杆的横向变形：

横截面
受载后
b´ d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
2. 拉伸应力： 由平截面假定，变形均匀，内力分布均匀。 轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布分布。 P

N(x)
N ( x) A
规定：N为拉力，则σ为拉应力；N为压力，则σ为压应力 ；拉应力为正，压应力为负 3. Saint-Venant（圣维南）原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作 用方式的影响。

L
N ( x )dx EA( x )
内力在n段中分别为常量时
L

i 1
n
N i Li E i Ai
3、单向应力状态下的弹性定律
(dx) 1 N ( x) 1 dx E A( x ) E
1 即: E
4、泊松比（或横向变形系数）

三、是谁首先提出弹性定律
N1 5P 8P 4P P 0
N1 2P
同理，求得AB、 BC、CD段内力分
N2
B
PB
C
PC C PC
D
PD
别为：
N2= –3P N3= 5P N4= P
轴力图如右图
N 2P +
N3
D
PD D PD
N4
5P
+ P x
– 3P
轴力图作法：
以杆的左端为坐标原点，取x轴为横坐标，称 为基线，其值代表截面位置，取N轴为纵坐标， 其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上 方，负值绘在基线下方。
B
400 C 400
P
一、试验条件及试验仪器
§2－6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
2、试验仪器：万能材料试验机； 变形仪（常用引伸仪）。
1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）；标准试件。
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
L P L EA E
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(--图)
ac ac
ห้องสมุดไป่ตู้
ac ac ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律
L PL A
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
N （x） x dx
PL NL L EA EA
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
(dx) dL N ( x )dx EA( x )

L
(dx)
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA N1 A PA B PB B PB C PC C PC
D
PD D PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA P B P C P D 0
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以 一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 其中 “ 两萧” 就是指弓的两端。 尺。
胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起，